Unidad 6 Anexo 1. Capítulo IV. Ecuación de Bessel de orden cero.

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1 Unidad 6 Anexo 1. Capítulo IV. Ecuación de Bessel de orden cero.

2 Determine la solución general de la ecuación de Bessel de orden cero:
U-6.A-1. Cap. IV Ecuación de Bessel de orden cero. Determine la solución general de la ecuación de Bessel de orden cero: alrededor del punto x0 = 0, para x > 0, usando el método de Frobenius. Solución: En este caso, n = 0, por lo que las raíces de la ecuación indicial son reales e iguales r1 = r2 = r = 0. Entonces, de acuerdo con el teorema, esta ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes; la 2ª contendrá un término logarítmico, y la 1ª es de la forma:

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ya que r = 0. Derivando dos veces la solución propuesta y sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene: Se corre en 2 el índice de la última suma reemplazando k por k  2 y se desarrolla el 1er término de la 2ª suma (para k = 1) de modo que el exponente de x y los límites de todas las sumas son iguales. Entonces se pueden combinar las sumas en una sola, lo que resulta en:

4 Entonces, la relación de recurrencia es:
U-6.A-1. Cap. IV Ecuación de Bessel de orden cero. Esta ecuación se satisface para toda x si y sólo cada uno de los coeficientes es cero. Por tanto, a1 = 0 y: Entonces, la relación de recurrencia es: y expresa cada coeficiente en términos de su 2° anterior. Así, los coeficientes de índice par se expresan en términos de a0 y los de índice impar de a1, que se determinó cero. De esta manera:

5 Haciendo a0 = 1 y sustituyendo, la 1ª solución resulta:
U-6.A-1. Cap. IV Ecuación de Bessel de orden cero. y Generalizando: Haciendo a0 = 1 y sustituyendo, la 1ª solución resulta: Solución conocida como función Bessel de 1ª clase de orden cero y expresada como J0(x):

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Con base en que el radio de convergencia de la ecuación de Bessel alrededor del origen es infinito, J0(x) converge para toda x −incluyendo el origen− porque es analítica en x = 0. Por sustitución directa, J0(0) = 1. La 2ª solución linealmente independiente, de acuerdo con el teorema, se determina como: Al derivar dos veces, sustituir en la ecuación diferencial y combinar los términos logarítmicos, se obtiene:

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Como se esperaba, el término logarítmico se anula ya que y1 es una solución, mientras que el 2° término puede expresarse como: Ahora, trabajando algebraicamente las sumas, eliminando los primeros términos y sustituyendo, se tiene: Ecuación que se satisface para toda x si y sólo si cada coeficiente es cero.

8 Pero b1 = 0, por tanto, b1 = b3 = b5 = ··· = 0.
U-6.A-1. Cap. IV Ecuación de Bessel de orden cero. Aplicando esta condición a las primeras dos potencias de x se obtiene b1 = 0 y b2 = ¼. Los términos con potencia impar provienen sólo de la 2ª suma y que corresponden a los valores impares de k, por lo que se debe tener k2bk + bk−2 = 0 para k impar. Pero b1 = 0, por tanto, b1 = b3 = b5 = ··· = 0. Entonces la modificación de la 2ª suma (que excluye los términos de potencia impar y reemplaza k por 2k) permite obtener:

9 y recordando que b2 = ¼, se tiene:
U-6.A-1. Cap. IV Ecuación de Bessel de orden cero. o Al anular los términos entre corchetes para toda k ≥ 2 se obtiene la siguiente relación de recurrencia: y recordando que b2 = ¼, se tiene:

10 en donde la función Sk se define en la forma:
U-6.A-1. Cap. IV Ecuación de Bessel de orden cero. y generalizando: en donde la función Sk se define en la forma: por tanto:

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Esta 2ª solución converge para toda x, excepto para x = 0, debido al término logarítmico. La forma más común de expresarla es: o por las características requeridas para Y0(x) cuando x → ∞. Aquí g es la constante de Euler, cuyo valor se determina en la forma:

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La función Y0(x) se conoce como función de Bessel de 2ª clase de orden cero y la solución general de la ecuación de Bessel de orden cero para x > 0 puede expresarse como: en donde el valor de las constantes C1 y C2 se determina a partir de las condiciones iniciales o de frontera. La figura siguiente muestra una gráfica de J0(x) y Y0(x), las cuales oscilan con amplitud decreciente al aumentar x, y tienen un número infinito de ceros. A diferencia de J0(x), la función Y0(x) → −∞ cuando x → 0. Si la solución es finita en x = 0, se debe descartar Y0(x) de la solución.

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