¿Porqué el área de un circulo es

Presentación del tema: "¿Porqué el área de un circulo es "— Transcripción de la presentación:

1 ¿Porqué el área de un circulo es 𝜋 𝑅 2 ? 𝜋= 𝐿 𝐷 =3,14151.
Montoya.

2 Ai= 𝑛 2 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 360 𝑛 Ae= n 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 180 𝑛

3 Ai= 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 360 4 Ai= 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 360 5 Ai= 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 360 6 Ai= 2 𝑅 2 Ai= 2,37 𝑅 2 Ai= 2,59𝑅 2 Ae= 5 𝑅 2 𝑡𝑔 180 5 Ae= 4 𝑅 2 𝑡𝑔 180 4 Ae= 6 𝑅 2 𝑡𝑔 180 6 Ae= 3,63 𝑅 2 Ae=3,46 𝑅 2 Ae= 4 𝑅 2 𝐴 =3,18 𝑅 2 𝐴 =3 𝑅 2 𝐴 =3,02 𝑅 2

4 Para un polígono de 100 lados
Ai= 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 Ae= 100 𝑅 2 𝑡𝑔 Ai= 3,13 𝑅 2 Ae= 3,14 𝑅 2 𝐴 =3,14 𝑅 2

5 Para un polígono de 1000 lados
Ai= 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛 Ae= 1000 𝑅 2 𝑡𝑔 Ai= 3,14 𝑅 2 Ae= 3,14 𝑅 2 𝐴 =3,14 𝑅 2 𝐴 =𝜋 𝑅 ¡Fantástico!

6 Integral de Riemann

7 Serie de Riemann Área por aproximación
𝐴 𝑡 = 0.5𝑥1 +(0.5𝑥2)+(0.5𝑥3) +(0.5𝑥4) 𝐴 𝑡 =5 𝑢 2 0,5 f(x)=2x

8 Serie de Riemann Área por aproximación
𝐴 𝑡 = 0.25𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥4 𝐴 𝑡 = 4,5𝑢 2 0,25 f(x)=2x Área Real: 4𝑢 2

9 Serie de Riemann Los límites de la función 𝑎 , 𝑏 son: 0 , 2 ∆𝑥= 𝑏−𝑎 𝑛
∆𝑥 𝑖=1 𝑛=8 𝑓( 𝑥 𝑖 )= 2−0 8 𝑥 𝑖=1 𝑛=8 𝑓( 𝑥 𝑖 )= =0.25 𝑥 𝑓 𝑓 0.5 +𝑓 𝑓 1 +𝑓 𝑓 1.5 +𝑓 𝑓(2) =0.25 𝑥 ( ) 𝐴 𝑡 = 4,5𝑢 2

10 ∆𝑥 𝑖=1 𝑛 𝑓( 𝑥 𝑖 )= 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Pero si ∆𝑥 0 , ∆𝑥=dx 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑓 𝑥 𝑏 𝑎 =𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎)

11 Deducción del Área del Círculo
𝜋 𝑟 2 ¿Área? 𝑥 2 + 𝑦 2 =r

12 Ecuación estándar de un círculo: 𝑥 2 + 𝑦 2 =R
f(x) =y= 𝑅 2 − 𝑥 2 d 𝐴 1 =y∙dx 𝐴 1 = 0 𝑅 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐴 𝑇 =4∙ 𝐴 1 =4 0 𝑅 ( 𝑅 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 dx 𝐴 1 R x 𝛼 𝑅 2 − 𝑥 2

13 𝐴 𝑇 = 4 0 𝑅 ( 𝑅 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 =4 0 𝜋 2 𝑅 2 − 𝑅∙𝑠𝑖𝑛 𝛼 2 R∙ cos 𝛼 ∙𝑑𝛼
sin 𝛼 = 𝑥 𝑅 R sin 𝛼 =𝑥 R∙ cos 𝛼 ∙𝑑𝛼=𝑑𝑥 =4 0 𝜋 𝑅 2 (1− sin 𝛼 2 ) R∙ cos 𝛼 ∙𝑑𝛼 𝐴 𝑇 =4∙ 𝐴 1 =4 0 𝑅 ( 𝑅 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 =4 0 𝜋 𝑅 2 ∙ cos 𝛼 R∙ cos 𝛼 ∙𝑑𝛼 sin 𝛼 = 0 𝑅 =0 Si x=0 𝛼=0 =4 0 𝜋 2 𝑅∙ cos 𝛼 ∙ R∙ cos 𝛼 ∙𝑑𝛼 sin 𝛼 = 𝑅 𝑅 =1 Si x=R 𝛼= 𝜋 2

14 𝑨 𝑻 = 𝟒 𝟎 𝑹 ( 𝑹 𝟐 − 𝒙 𝟐 )𝒅𝒙 =𝝅 𝑹 𝟐 =4∙ 𝑅 2 0 𝜋 2 cos 𝛼 2 𝑑𝛼
=4 𝑅 𝛼+ sin 2𝛼 𝜋 2 0 =4 𝑅 𝜋 2 + sin 2 𝜋 −4 𝑅 ∙0+ sin 2∙0 4 =4 𝑅 2 𝜋 4 + sin 𝜋 4 −4 𝑅 2 ∙0 𝑨 𝑻 = 𝟒 𝟎 𝑹 ( 𝑹 𝟐 − 𝒙 𝟐 )𝒅𝒙 =𝝅 𝑹 𝟐 =4 𝑅 2 𝜋 4 =𝜋 𝑅 2

15 Ecuación estándar de un círculo: 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1
𝑥 2 𝑎 𝑦 2 𝑏 2 =1 f(x) =y= 𝑏 𝑎 𝑎 2 − 𝑥 2 𝐴=𝑎𝑏𝜋