Unidad 6. Capítulo II. Revisión de Series de Potencias.

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1 Unidad 6. Capítulo II. Revisión de Series de Potencias.

2 U-6. Cap. II. Revisión de series de potencias.
Esta discusión inicia con una breve revisión de las series de potencias, dado que éstas son la columna vertebral del método. Después de demostrar el método, se aplicará a ecuaciones cuyos coeficientes P y Q no presenten singularidades en la región de interés. Posteriormente, el análisis se extenderá a ecuaciones cuyos coeficientes sí presenten este tipo de singularidades. Finalmente, el método se aplicará en algunas ecuaciones diferenciales de segundo orden conocidas, como las ecuaciones de Bessel y de Legendre.

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Las series de potencias son la base de esta discusión, por lo que resulta esencial entender adecuadamente sus propiedades y terminología. En esta sección se revisarán las series de potencias en la medida apropiada para poder entender el método de solución por series. Una serie es una función matemática expresada como la suma de varios términos y cuando el número de ellos es infinito la función se llama serie infinita. Una serie infinita cuyos términos incluyan potencias de la forma xk o (x  x0)k, donde k es un entero no negativo, se llama serie de potencias, y se expresa en la forma:

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x0 es un valor fijo; las constantes an se llaman coeficientes de la serie de potencias y el punto x = x0 se llama punto de aproximación, punto de prueba o centro. La primera ecuación se describe como una serie de potencias alrededor del punto x = 0, y la segunda como una serie de potencias alrededor del punto x = x0.

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Por simplicidad en la notación, usualmente se consideran series de potencias en x, dando por hecho que pueden transformarse en series en (x  x0) usando un cambio de variable. Algunas funciones elementales tienen representaciones en forma de series de potencias, entre las que están:

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en donde con y

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La representación de una serie se dice que converge a la función que representa si el valor de la serie para un valor específico de x tiende al valor de la función cuando se incluyen más términos. Las series de potencias listadas, así como las de otras funciones, se pueden obtener a partir de su expansión en serie de Taylor alrededor del punto x = 0. La serie de Taylor de cualquier función f (x) alrededor del punto x0 se expresa como la serie de potencias:

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Es decir: siempre que las derivadas f ´, f ´´, ... , f (n) existan, en otras palabras, que la función f sea infinitamente derivable. En la notación de las series de potencias la letra griega  (sigma) significa suma y k, el índice de suma, es un parámetro ficticio que sirve como contador (se representa igualmente como k, i, j, n o m), por ejemplo:

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Dos series de potencias son idénticas si representan la misma función, por tanto, si: para toda x en algún intervalo, entonces ak = bk para toda k = 0, 1, 2, 3,... En especial, si la serie es igual a cero para toda x en algún intervalo, entonces ak = 0 para toda k = 0, 1, 2, 3,... Los límites de una serie pueden manipularse análogamente a los de una integral definida, por ejemplo:

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Nótese que, análogamente al proceso de integración, toda expresión que no dependa del índice puede entrar o salir de la suma. En ocasiones es conveniente escribir en forma individual algunos términos de una suma y expresar el resto de ellos en forma de suma. Por ejemplo:

11 Cambio de índice

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Con frecuencia se requiere desplazar el índice de suma, en especial cuando se combinan series cuyo término general no tiene la misma potencia. El cambio de índice permite expresar una serie en formas diversas, sin afectar su desarrollo. Por ejemplo, la función: Puede expresarse, mediante el cambio de índice j = k + 1, (en donde k = j  1) en la función análoga:

13 Luego, el subíndice k se sustituye por k = n  2.
U-6. Cap. II Revisión de series de potencias. ¿Cómo se hace? Primero defina la potencia a cambiar de acuerdo con un nuevo índice, por ejemplo, en la suma: se requiere simplificar la potencia de x. Así, se propone el índice n = k + 2, mismo que se sustituye en la potencia así como en los límites de la suma. Luego, el subíndice k se sustituye por k = n  2. Así:

14 Ejemplo: Cambie el índice de suma de la serie:
U-6. Cap. II Revisión de series de potencias. Ejemplo: Cambie el índice de suma de la serie: de modo que la potencia de (x  x0) sea k. Solución: el cambio requerido implica el reemplazo de las apariciones de k por k  3, de modo que: que es el resultado deseado.

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La equivalencia de las series puede verificarse escribiendo los términos individuales de ambas series y observando que los términos correspondientes son iguales. 

16 Convergencia de las series de potencias

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Uno de los aspectos más importantes de las series es la convergencia. Una representación en serie de una función es poco útil si la serie no converge hacia la función. Por ejemplo, las representaciones en serie de funciones elementales (ex, sen x, ) convergen hacia la función que representan, para todos los valores de x. Pero la expansión de serie de potencias de: converge sólo para | x | < 1. Por ejemplo, para x = 3, la serie diverge (se vuelve infinita) en lugar de converger hacia el valor correcto de  ½.

18 La convergencia de las series de potencias puede definirse así:
U-6. Cap. II Revisión de series de potencias. Por tanto, a menudo es necesario hablar de convergencia en un intervalo de valores de x, en lugar de todo el eje x. La convergencia de las series de potencias puede definirse así: Se dice que una serie de potencias de la forma: converge en un intervalo I si el límite: existe para todas las x en ese intervalo.

19 disminuye al aumentar el índice k.
U-6. Cap. II Revisión de series de potencias. Es decir, una serie de potencias converge en una x dada si la suma de todos sus términos es un número finito para ese valor de x. La gráfica muestra una serie que converge en un valor especifico de x conforme aumenta el número de términos, cuyo valor absoluto disminuye al aumentar el índice k.

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Una manera simple de verificar la convergencia de una serie de potencias es aplicar la prueba del cociente, basada en la comparación de los términos k y (k + 1) de la serie y el cálculo del limite cuando k → ∞. La serie es convergente para un valor de x dado si r < 1 y es divergente si r >1. Esta prueba falla si r = 1. En otras palabras, una serie de potencias convergerá para una x dada si su término k tiende a cero cuando k → ∞.

21 Solución: Aplicando la prueba del cociente, se tiene:
U-6. Cap. II Revisión de series de potencias. Ejemplo: Convergencia de series de potencias. Determine si la siguiente serie converge en x = 0.4 y x = −2. Solución: Aplicando la prueba del cociente, se tiene: De manera que esta serie de potencias es convergente para | x | < 1; por lo que la serie converge para x = 0.4 y diverge para x = −2.

22 Solución: Al aplicar la prueba del cociente, se tiene:
U-6. Cap. II Revisión de series de potencias. Ejemplo: Determine el intervalo de valores de x en que la siguiente serie de potencias es convergente. Solución: Al aplicar la prueba del cociente, se tiene: Así que esta serie convergerá para −4 < x < −2 y divergerá para x < −4 y x > −2.

23 U-6. Cap. II. Revisión de series de potencias.
En el eje x, el intervalo abierto en el que la serie de potencias: converge se llama intervalo de convergencia y se puede determinar por la prueba del cociente. Este intervalo se describe a menudo en términos del radio de convergencia r, es decir, la distancia entre el centro de la serie x0 y el punto mas cercano en el que la serie diverge. la serie diverge intervalo de convergencia x x0 + r x0 − r x0 radio de convergencia

24 Para r = 0, la serie diverge para toda x excepto x = x0.
U-6. Cap. II Revisión de series de potencias. El intervalo de convergencia de una serie de potencias con centro en x0 se describe usualmente en términos del radio de convergencia en la forma: Para r = 0, la serie diverge para toda x excepto x = x0. Para r = ∞, la serie converge para toda x  R. En los puntos finales x = x0 − r y x = x0 + r, la serie puede converger o diverger. La convergencia en estos puntos se puede verificar por separado sustituyendo estos valores en la serie y tomando el limite en cada caso.

25 Solución: Aplicando la prueba del cociente, se tiene:
U-6. Cap. II Revisión de series de potencias. Ejemplo: Determine el radio e intervalo de convergencia de la serie de potencias: Solución: Aplicando la prueba del cociente, se tiene: Por tanto, el intervalo de convergencia es 1 < x < 5, y el radio de convergencia es r = 2, que es la mitad de la longitud del intervalo de convergencia.

26 Si dos series de potencias dadas:
U-6. Cap. II Revisión de series de potencias. Si dos series de potencias dadas: convergen en el intervalo I, entonces su suma, diferencia y producto también convergerán en ese intervalo.

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También, para g(x) ≠ 0, las dos series de potencias pueden dividirse para dar: donde los nuevos coeficientes ck se determinan dividiendo formalmente las formas expandidas de las dos series, un proceso que es bastante laborioso y problemático. Asimismo, la serie resultante puede tener un radio de convergencia más pequeño que f (x) o g(x), ya que el cociente puede ser divergente en los ceros de g(x).

28 Derivadas de las series de potencias

29 U-6. Cap. II. Revisión de series de potencias.
Una serie de potencias es esencialmente un polinomio con un numero infinito de términos, por tanto, es infinitamente derivable en su intervalo de convergencia. Las derivadas f’, f’’,..., f (n) pueden efectuarse término a término y son también series de potencias que convergen en el intervalo de convergencia de f (x). El primer termino de una serie (correspondiente a k = 0) es la constante a0, que se elimina durante la derivación, por lo que la suma de la primera derivada comienza con k = 1 en lugar de k = 0.

30 El valor de k aumenta en 1 con cada derivación. Si:
U-6. Cap. II Revisión de series de potencias. El valor de k aumenta en 1 con cada derivación. Si: entonces: y así sucesivamente. En x = x0 se tiene:

31 Al sustituir esto en la serie de potencias, se obtiene:
U-6. Cap. II Revisión de series de potencias. Así: Al sustituir esto en la serie de potencias, se obtiene: que es la fórmula para la expansión en serie de Taylor de la función f (x). Por tanto, si una función es infinitamente derivable en el punto x0, su serie de Taylor existe en ese punto. Si ésta existe también en su vecindad inmediata, se dice que esa función es analítica en ese punto.

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Así, cualquier función analítica en x0 puede expresarse como una serie de potencias de centro x0 con un radio de convergencia diferente de cero. De esta manera, se puede decir que, si las funciones f (x) y g(x) son analíticas en x0, su suma, resta, producto e incluso cociente (salvo cuando g(x0) = 0) también lo son. Por ejemplo, las funciones polinomiales, ex, sen x, cos x, senh x y cosh x son analíticas en x  R, por lo que sus sumas, diferencias, productos y cocientes (salvo en los ceros del denominador) también son analíticos en x  R.