Movimiento armónico simple. Ecuaciones del movimiento armónico simple Características de un movimiento armónico simple Vibración u oscilación: Distancia.

Presentación del tema: "Movimiento armónico simple. Ecuaciones del movimiento armónico simple Características de un movimiento armónico simple Vibración u oscilación: Distancia."— Transcripción de la presentación:

1 Movimiento armónico simple

2 Ecuaciones del movimiento armónico simple Características de un movimiento armónico simple Vibración u oscilación: Distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de vaivén. Centro de oscilación, O: Pto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas alcanzadas por la partícula móvil Elongación, y. Distancia que en cada instante separa la partícula móvil del centro de oscilación O, tomado como origen de las elongaciones. Coordenada de la posición de la partícula en un momento dado. Consideramos positivos las valores de esta coordenada a la derecha del pto O y negativos a la izquierda. Amplitud A, valor máximo de la elongación. Periodo T, tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa. Frecuencia, f o n, número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo. Inversa del periodo f = 1/T (Hz) Pulsación o frecuencia angular o velocidad angular, w, Nº de periodos comprendidos entre 2π unidades de tiempo. ω = 2.π/T = 2.π.f.rard/s.

3 x = A cos(wt + j)j A es la amplitud. w la frecuencia angular o pulsación. w t + j la fase. j o j o la fase inicial.

4 Ecuación fundamental del movimiento armónico simple En la figura se ha representado la posición x de un péndulo que oscila después de haber sido desplazado un pequeño ángulo en función del tiempo. Se han representado dos oscilaciones completas. Si lo hacemos oscilar desde su posición vertical con un pequeño impulso obtendremos una gráfica similar solo que para t = 0, x = 0. la primera gráfica corresponde a un coseno y la segunda a un seno. Ambas gráficas representan el mismo movimiento con la única diferencia de la posición inicial de oscilación.

5 Si comparamos el movimiento del péndulo con el de una partícula que describe un movimiento circular, con radio igual a la de la amplitud de la oscilación y el mismo periodo (es decir, ajustamos la w de la partícula para que coincida el T). Para un punto cualquiera de la trayectoria tenemos que su posición es x = A cos (w.t). Puesto que A y w son iguales para los dos movimientos y las posiciones respecto del origen van coincidiendo. La ecuación describe los dos movimientos. En general, si la elongación no es A, basta con introducir una fase que ajuste la posición inicial x = A cos (w.t + d). Para t = 0 x = A cos d

6 Si hablamos de un muelle ocurre exactamente lo mismo. En general, la ecuación del movimiento armónico simple la escribiremos Resorte x = A.cos (w.t + d) w.t + d: fase del movimiento Al cabo de una oscilación completa la fase aumenta en 2.π rad y vuelve a la misma posición cos (w.y + d) = cos (w.t + d + 2.π) d: cte de fase o fase inicial. Si t = 0 se obtiene la posición inicial x o = A.cos d La ecuación puede escribirse indistintamente en función del seno o del coseno x = A.sen (w.t + d) A veces conviene usar una u otra: 1- Si hacemos oscilar un muelle o péndulo desde su máxima elongación, debe cumplirse que: x o = A en t = 0 ® Ecuación más sencilla es x = A.cos w.t ya que cos 0 = 1. También se podría escribir: x = A.sen (w.t + π/2) ya que en t = 0 x = A.sen π/2 = A. - Si la oscilación comienza en la posición de equilibrio se debe cumplir que: x 0 = 0 en t= 0. Lo más sencillo es x = A.sen w.t pero también x = A cos (w.t ± π/2)

7 Ecuación de la velocidad en el Movimiento armónico simple x = A cos (wt + d) v = -w.a.sen (w.t + δ) sen² (w.t + δ) + cos² (w.t + δ) = 1 v = La velocidad es cero cuando x = ±A (extremos) La velocidad es máxima cuando x = 0 (centro) v = ±w.A Las gráficas de x y v están desfasadas π/2 ® cos (w.t + π/2) = - sen w.t V = x = A.cos w.t = A.cos (2.π/T).t v = -A.w.sen w.t = -w.A.sen (2.π/T).t

8 Ecuación de la aceleración en el Movimiento armónico simple V = -w.A sen (w.t +d) a = -w².A.cos (w.t + δ) Sabemos que v = a.cos (w.t + δ) a = -w².x La aceleración en un MAS es una función armónica que depende sinusoidalmente de tiempo. La aceleración es nula en la posición de equilibrio (x = 0) Es máxima en los extremos en cuyo caso vale –w².A Sentido opuesto a x x = a.cos (2.π/T).t v = -w.A.sen (2.π/T).t a = -w².A.cos (2.π/T).t

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12 Dinámica de un M.A.S. F = m a = - m w 2 x F = -K x K = m w 2 w = 2p / T Para x>0, F=-kx Para x<0, F=kx

13 Trabajo /Energía cinética/Energía Potencial Trabajo Mecánico: La unidad de trabajo en el Sistema Internacional de Unidades es el julio se define como el trabajo realizado por una fuerza de 1 newton a lo largo de un metro. El trabajo realizado por unidad de tiempo se conoce como potencia La potencia correspondiente a un julio por segundo es un vatio (watt)" N. m = J "

14 Ejemplo: Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º. Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.

15 Energía Cinética: fuerza exterior sobre un cuerpo F = m. a (1) La aceleración produce variación de velocidad:(2) (3) Al variar la velocidad la "cantidad" de espacio recorrido (Dx) en función del tiempo aumenta (si el movimiento es acelerado) o disminuye (si es desacelerado) : Si analizamos el trabajo mecánico (máximo) que realiza una fuerza sobre un cuerpo tendremos: suplantamos por (1) L = m a Dx suplantamos por (2) y por (3)

16 L = De esta manera se puede afirmar que si en el trabajo mecánico hay variación de velocidad también habrá variación de energía cinética: Teorema de la variación de energía: L = D E C Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g. El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J La velocidad final v es

17 Energía Potencial: Tomemos dos posiciones cualesquiera a diferente altitud, y 1 más bajo que y 2. Si llamamos v 1 a la velocidad del objeto en la posición y 1 y v 2 a la velocidad eny 2 ; tenemos que v 1 > v 2. Como la energía cinética es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad podemos indicar que E C1 > E C 2. Una fuerza es conservativa si el trabajo efectuado por ella (en el viaje de ida y vuelta) es cero. Una fuerza es no conservativa si el trabajo efectuado por ella (en el viaje de ida y vuelta) es distinto de cero. ¿dónde está la energía faltante?. "principio de conservación de la energía" que nos indica que la energía no se crea ni se destruye. A medida que la energía cinética va disminuyendo otra clase de energía tiene que aparecer para que la energía del sistema se mantenga constante, a esa energía se la denomina energía de configuración, más conocida con el nombre de energía potencial; designaremos a la energía potencial con la letra U.

18 e esta manera podemos afirmar que la energía mecánica en la posición es y 1 es E C1 + U y en la posición y 2 tenemos que E C2 + U Como el sistema es conservativo asumimos que: E C1 + U = E C2 + U Como v 1 > v 2 tenemos que DE C < 0. teniendo en cuenta que Además DE C = L. Þ DU = - L. Recordemos que:

19 El desplazamiento, lógicamente, será la diferencia entre las dos posiciones: La fuerza empleada depende de la masa del cuerpo y de la aceleración de la gravedad, así que podemos utilizar: m. g = P. Tenemos que la fuerza actuante sobre el cuerpo es su propio peso. L p = P. Cos 180º (y 2 – y 1 ) Þ L P = - P. (y 2 – y 1 ) Como tenemos que DU = - L p y L p = - P. (y 2 – y 1 )Entonces DU = - [- P.(y 2 – y 1 )] DU = P. (y 2 – y 1 ) DU = P y 2 – P y 1. De esa manera podemos expresar a la energía potencial como: U = P. y

20 Comprobación del principio de conservación de la energía Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente aceleradomovimiento rectilíneo uniformemente acelerado La energía cinética potencial y total en dichas posiciones Tomar g=10 m/s 2

21 Posición inicial x=3 m, v=0. E p =2·10·3=60 J, E k =0, E A =E k +E p =60 J Cuando x=1 m E p =2·10·1=20 J, E k =40, E B =E k +E p =60 J Cuando x=0 m E p =2·10·0=0 J, E k =60, E C =E k +E p =60 J La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía cinética aumenta.

22 Fuerzas no conservativas Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a compararla con la fuerza conservativa peso. El peso es una fuerza conservativa. Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada de A hacia B, y a continuación cuando se traslada de B hacia A. W AB =mg xW BA =-mg x El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A, W ABA es cero.

23 La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo por que la fuerza es de signo contrario al desplazamiento W AB =-F r xW BA =-F r x El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, W ABA es distinto de cero W ABA =-2F r x El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y la final El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica (cinética más potencial) de la partícula.

24 Ejemplo : Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar: La longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado La energía del cuerpo en A es E A =½0.2·12 2 =14.4 J La energía del cuerpo en B es E B =0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x J El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a B es W=-F r ·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·x=-0.272·x J De la ecuación del balance energético W=E B -E A, despejamos x=11.5 m, h=x·sen30º=5.75 m

25 Cuando el cuerpo desciende La energía del cuerpo en B es E B =0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x=0.98·11.5=11.28 J La energía del cuerpo en la base del plano E A ==½0.2·v 2 El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a A es W=-F r ·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 J De la ecuación del balance energético W=E A - E B, despejamos v=9.03 m/s.

26 PROBLEMAS DE TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIATRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA 1)Indicar el trabajo mecánico realizado, en cada caso, por una fuerza de 15 N para recorrer 3 m si forman un ángulo de : 0º ; 60º ; 90º ; 120º ; 180º ; 240º; 300º. Explique físicamente lo que indican estos resultados. Rta: 45 J; 22,5 J; 0 J; - 22,5 J; – 45 J; – 22,5 J; 22,5 J 2)Indicar la fuerza aplicada sobre un cuerpo que, generando un trabajo mecánico de 5000 J, recorrió 250 m. Rta: 20 N 3)Dos personas tiran de un carro con dos sogas que forman un ángulo de 60º haciéndolo recorrer 25 m. en 4,5" partiendo del reposo. Hallar la fuerza resultante, el peso del carro y el trabajo que realizan, si cada uno hace una fuerza de 450 N y 490N respectivamente. Rta: 814,31 N; 329,8 kg.; 20357,74 J.

27 4)Analizar las siguientes figuras e indicar, de acuerdo a los datos, el trabajo realizado por cada cuerpo. Rta: a) 82,4 J; b) 5596,09 J

28 Como se origina un m.a.s. Siempre que sobre una partícula, desplazada una longitud xde su posición de equilibrio, actúe una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a éste, tal como se muestra en el ejemplo de la figura Energía de un M.A.S. En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa. En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la partícula que realiza el m.a.s. es la suma de su energía potencial más su energía cinética. Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía mecánica que podemos descomponer en: Energía Cinética (debida a que la partícula está en movimiento) y Energía Potencial (debida a que el movimiento armónico es producido por una fuerza conservativa).

29 Ec = 1/2 m v 2 v = -A w Sen(w t + j o ) Ec = 1/2 m v 2 = 1/2 m A 2 w 2 Sen 2 (w t + j o ) Ec = 1/2 k A 2 Sen 2 (w t + j o ) Ecuación fundamental de la trigonometría:sen 2 + cos 2 = 1 Ec = 1/2 k A 2 [ 1 - Cos 2 (w t + j o )] Ec = 1/2 k[ A 2 - A 2 Cos 2 (w t + j o )] Ec = 1/2 k [ A 2 - x 2 ]

30 La energía potencial en una posición y vendrá dada por el trabajo necesario para llevar la partícula desde la posición de equilibrio hasta el punto de elongación y. W =Ep = 1/2 k x 2 Teniendo en cuenta que la energía mecánica es la suma de la energía potencial más la energía cinética, nos encontramos que la energía mecánica de una partícula que describe un m.a.s. será: E total = 1/2 K x 2 + 1/2 K (A 2 -x 2 ) = 1/2 KA 2 E = 1/2 k A 2 En el m.a.s. la energía mecánica permanece constante si no hay rozamiento, por ello su amplitud permanece también constante.

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32 Una masa de 5kg comienza a caer, sin rozamiento, por el plano de la figura. R=1 Cuando llega al final, golpea el resorte, llegando a comprimirlo 5 cm. Calculen: -La cte elástica del muelle -Periodo

33 Los ángulos son (en radianes) el cociente de dos longitudes: Arco = φ·Radio => φ = Arco/Radio (adimensional) Cuando decimos rad/s deberíamos decir 1/s. Se suele poner los rad para no confundir a w y la frecuencia. Es decir, las dimensiones de w es 1/s. [Ke] = [F/x] = M·L·T -2 ·L -1 = M·T -2 [Ke/m] = M·T -2 ·M -1 = T -2 [√(Ke/m)] =√(T -2 ) = T -1 = 1/T ⇒⇒⇒ unidad 1/s (se suele escribir rad/s)

34 El sistema, tal como está en la figura, sólo tiene energía potencial gravitatoria de la bola: Al final, cuando el muelle está comprimido con la bola en el suelo y parada, la única energía que hay es la potencial elástica del muelle. Ambas estados deben tener la misma energía: M·g·R = ½·Ke·x² De aquí sacamos la Ke. w = 2π/T = √(Ke/M) De aquí sacamos el T. Frecuencia El tiempo que tarda la masa en ir y volver al punto A siempre es constante. Este tiempo recibe el nombre de período de oscilación (medido generalmente en segundos o milisegundos) y significa que el muelle completó un ciclo. El recíproco del período es la frecuencia (es decir F=1/P) la cual generalmente es dada en Hz (ciclos por segundo) o CPM (ciclos por minuto).

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36 Fase Es una medida de la diferencia de tiempo entre dos ondas sinusoidales. Aunque la fase es una diferencia de tiempo, siempre se mide en términos de ángulo, en grados o radianes. Eso es una normalización del tiempo que requiere un ciclo de la onda sin considerar su verdadero período de tiempo. La diferencia en fase entre dos formas de onda se llama desfase o desplazamiento de fase. Un desplazamiento de fase de 360 grados es un retraso de un ciclo o un período completo de la onda, lo que realmente no es ningún desplazamiento. Un desplazamiento de 90 grados es un desplazamiento de ¼ del periodo de la onda, etc. El desplazamiento de fase puede ser considerado positivo o negativo; eso quiere decir que una forma de onda puede estar retrasada respecto a otra o puede estar adelantada respecto a otra. Esos fenómenos se l laman retraso de fase y avance de fase respectivamente.

37 Fin…………………………………………………………….