Conceptos básicos de Geometría Analítica

Conceptos básicos de Geometría Analítica
Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

Conceptos básicos Distancia entre dos puntos.
Punto medio de un segmento. Pendiente de una recta. Paralelismo y perpendicularidad entre rectas. Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

Distancia entre dos puntos

Distancia entre dos puntos
Consideremos los puntos y del plano cartesiano. 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝑦 2 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝑦 1 𝑥 1 𝑥 2

Distancia entre dos puntos…
La distancia entre los puntos A y B, se considera la hipotenusa del triángulo rectángulo. 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝑦 2 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝑦 1 𝑥 1 𝑥 2

Dicha hipotenusa se calculará con en Teorema de Pitágoras. 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝑦 2 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝑦 1 𝑥 1 𝑥 2

Dicha hipotenusa se calculará con en Teorema de Pitágoras. ℎ𝑖𝑝 2 = 𝑐𝑎𝑡 2 + 𝑐𝑎𝑡 2 Tendremos que determinar los catetos. 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1

Dicha hipotenusa se calculará con en Teorema de Pitágoras. ℎ𝑖𝑝 2 = 𝑐𝑎𝑡 2 + 𝑐𝑎𝑡 2 ℎ𝑖𝑝 2 = 𝑥 2 − 𝑥 𝑦 2 − 𝑦 ℎ𝑖𝑝= 𝑥 2 − 𝑥 𝑦 2 − 𝑦 Por lo tanto la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos es: 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1

𝑑= 𝑥 2 − 𝑥 𝑦 2 − 𝑦 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1

𝑑= 𝑥 2 − 𝑥 𝑦 2 − 𝑦 Esta fórmula NO siempre se utilizará para calcular la distancia. En ella están involucradas “5 cantidades”, en los problemas te proporcionarán 4 de ellas y tu deberás calcular la faltante.

E j e m p l o s

Halla la distancia entre los puntos 𝐴 −3,−5 y 𝐵 −6,1 .
2. Halla el perímetro del triángulo cuyos vértices son 𝐴 −5,−4 , 𝐵 −2,3 y C 4,0 .

3. Verifica que el cuadrilátero con vértices 𝐴 1, 6 y 𝐵 −6,1 .
4. Determina las coordenadas de un punto 𝑀 del eje 𝒀 que equidista de los puntos 𝐴 −5,2 y 𝐵 3,−6 .

Ejercicios

Punto medio

Punto medio de un segmento
Consideremos el segmento cuyos extremos son: y 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝑦 2 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝑦 1 𝑥 1 𝑥 2

El punto medio 𝑃 𝑚 , divide al segmento en partes iguales.
Punto medio de un segmento… El punto medio 𝑃 𝑚 , divide al segmento en partes iguales. 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝑦 2 𝑃 𝑚 𝑥 𝑚 , 𝑦 𝑚 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝑦 1 𝑥 1 𝑥 2

Punto medio de un segmento…
Queremos expresar las coordenadas del punto medio en términos de los extremos. Es decir, dados los extremos de un segmento, cómo calcular las coordenadas de su punto medio. 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝑦 2 𝑃 𝑚 𝑥 𝑚 , 𝑦 𝑚 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝑦 1 𝑥 1 𝑥 2

𝑦 𝑚 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑚 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑥 𝑚 𝑥 𝑚

La abscisa del punto medio es:
Punto medio de un segmento… 𝑦 𝑚 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑚 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 𝑚 𝑥 2 − 𝑥 1 2 𝑥 𝑚 La abscisa del punto medio es: Simplifiquemos. 𝑥 𝑚 = 𝑥 1 + 𝑥 2 − 𝑥 1 2

𝑥 𝑚 = 𝑥 1 + 𝑥 2 − 𝑥 1 2 𝑦 𝑚 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑚 𝑥 𝑚 = 2 𝑥 1 + 𝑥 2 − 𝑥 1 2 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 𝑚 𝑥 2 − 𝑥 1 2 𝑥 𝑚 = 𝑥 1 + 𝑥 2 2 𝑥 𝑚 De igual forma se obtiene la expresión para 𝑦 𝑚 . 𝑦 𝑚 = 𝑦 1 + 𝑦 2 2

𝑦 𝑚 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑚 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 𝑚 𝑥 2 − 𝑥 1 2 𝑥 𝑚 Cada una de las fórmulas es independiente de la otra. Cada una involucra “3 cantidades”. En los problemas te darán dos de ellas y deberás calcular la tercera cantidad.

𝑦 𝑚 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑚 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 𝑚 𝑥 2 − 𝑥 1 2 𝑥 𝑚 No siempre te pedirán las coordenadas del punto medio. Te pueden dar las coordenadas de un extremo, el punto medio y deberás calcular las coordenadas del otro extremo.

Ejemplos Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

Determina las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son 𝑀 −2,1 y 𝐵 5,7 .
2. Los extremos de uno de los diámetros de una circunferencia son los puntos 𝑅 −7,−1 y 𝑄 −3,−5 . Halla las coordenadas del centro.

3. El punto medio del segmento 𝐴𝐵 es el punto
−2,−1 . Si las coordenadas del extremo 𝐴 son −3,−7 , determina las coordenadas del otro extremo 𝐵.

Tres de los vértices del paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 son
los puntos 𝐴 −2,−7 , 𝐵 1,−5 y 𝐶 −2,5 . Utiliza la propiedad “En todo paralelogramo, las diagonales se bisecan mutuamente”, para determinar las coordenadas del cuarto vértice 𝐷.

Ejercicios Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

Ángulo de inclinación de una recta

Una recta en el plano cartesiano pude tener diversas posiciones. Y Y Y Y X X X X Llamaremos ángulo de inclinación al ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje X. Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

Una recta en el plano cartesiano pude tener diversas posiciones. Y Y Y Y X X X X Ángulo agudo Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

Una recta en el plano cartesiano pude tener diversas posiciones. Y Y Y Y X X X X Ángulo obtuso Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

Una recta en el plano cartesiano pude tener diversas posiciones. Y Y Y Y X X X X Ángulo llano o perigonal Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

Una recta en el plano cartesiano pude tener diversas posiciones. Y Y Y Y X X X X Ángulo recto Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

Una recta en el plano cartesiano pude tener diversas posiciones. Y Y Y Y X X X X Por lo tanto, el ángulo de inclinación de una recta puede tomar cualquier valor entre 0º y 180º. Este ángulo determina la dirección de la recta. Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

Pendiente de una recta Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

Pendiente de una recta Definiremos la pendiente (𝑚) de una recta como la tangente del ángulo de inclinación de una recta. Es decir: 𝑚=𝑇𝑎𝑛 𝛼 Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

Pendiente de una recta Definiremos la pendiente (𝑚) de una recta como la tangente del ángulo de inclinación de una recta. Es decir: 𝑚=𝑇𝑎𝑛 𝛼 𝛼

Completa la siguiente tabla, utilizando tu calculadora.
Ángulo de inclinación Pendiente 𝛼=48° 12′ 𝑚=2 𝛼=137° 36′ 𝑚=0 𝑚=− 1 4 𝑚= 3 𝛼=90°

2. Concluye… Ángulo de inclinación Pendiente 0º Agudo 90º Obtuso 180º

pendiente de una recta Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

Pendiente de una recta Consideremos los puntos y
del plano cartesiano por donde pasa una recta. 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝛼

del plano cartesiano por donde pasa una recta. 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝑦 2 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝛼 𝑦 1 𝛼 𝑥 1 𝑥 2

del plano cartesiano por donde pasa una recta. 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝑦 2 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝛼 𝑦 1 𝑥 1 𝑥 2

Pendiente de una recta 𝑚= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1
Consideremos los puntos y del plano cartesiano por donde pasa una recta. 𝐴 𝑥 1 , 𝑦 1 𝐵 𝑥 2 , 𝑦 2 𝑚=Tan 𝛼 𝑚= 𝑐.𝑜 𝑐.𝑎 𝑚= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1

Determina la pendiente de una recta que pasa por los puntos 𝐴 2,3 y 𝐵 6,9 .
2. Determina el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos 𝑃 −4,6 y 𝑄 1,1 . 3. Una recta tiene pendiente 𝑚=− , y pasa los puntos 𝑅 −4,5 y 𝑆. Determina la ordenada del punto 𝑆 , si su abscisa es 1.

Paralelismo y perpendicularidad

Paralelismo 𝐿 1 𝛼 𝐿 2 𝛽 Consideremos al menos dos rectas paralelas.
Los ángulos 𝛼 y 𝛽 son correspondientes, por lo tanto: 𝛼=𝛽 𝐿 1 𝛼 𝐿 2 𝛽

Paralelismo Como los ángulos de inclinación tienen la misma medida, entonces el valor de la función “tangente”, es decir, la pendiente será igual para ambas rectas. 𝐿 1 𝛼 𝐿 2 𝛽

Paralelismo 𝐿 1 ∥ 𝐿 2 ↔ 𝑚 1 = 𝑚 2 𝐿 1 𝛼 𝐿 2 𝛽
Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Es decir: 𝐿 1 ∥ 𝐿 ↔ 𝑚 1 = 𝑚 2 𝐿 1 𝛼 𝐿 2 𝛽

Perpendicularidad 𝐿 2 𝐿 1 𝛽 𝛼
Considera dos rectas, 𝐿 1 y 𝐿 2 , perpendiculares. Una recta tiene un ángulo de inclinación agudo y la otra, obtuso. 𝛼 𝐿 2 𝐿 1 𝛽

La pendiente de la recta cuyo ángulo de inclinación es agudo, tiene signo positivo; y la pendiente de la recta con ángulo obtuso, tiene signo negativo. 𝛼 𝐿 2 𝐿 1 𝛽

Obviamente las pendientes no son iguales, pero tienen signos opuestos. Además, como 𝛽 es ángulo externo en el triángulo, se cumple que: 𝛽=𝛼+90°. 𝛼 𝐿 2 𝐿 1 𝛽

Demos valores a los ángulos de inclinación, de manera que 𝛽=𝛼+90°. Por ejemplo: 𝛼=35° y 𝛽=125° 𝛼 𝐿 2 𝐿 1 𝛽

La pendiente de la recta 𝐿 1 es 𝑚 1 =𝑇𝑎𝑛 35° ; y la pendiente de la recta 𝐿 2 es 𝑚 2 =𝑇𝑎𝑛 125° . 𝛼 𝐿 2 𝐿 1 𝛽

Comprueba, con tu calculadora, que los valores no son iguales y además tienen diferente signo. Pero esas pendientes tienen una relación, ya que las rectas son perpendiculares. 𝛼 𝐿 2 𝐿 1 𝛽

Perpendicularidad 𝐿 2 𝐿 1 𝛽 𝛼 La relación es que:
“el producto de las pendientes es igual a -1” Se dice que son “inversas recíprocas”. 𝛼 𝐿 2 𝐿 1 𝛽

Perpendicularidad 𝐿 1 ⊥ 𝐿 2 ↔ 𝑚 1 𝑚 2 =−1 𝐿 2 𝐿 1 𝛽 𝛼
Dos rectas son perpendiculares si y sólo si sus pendientes son inversas recíprocas. Es decir: 𝐿 1 ⊥ 𝐿 ↔ 𝑚 𝑚 2 =−1 𝛼 𝐿 2 𝐿 1 𝛽

Completa la siguiente tabla, con el valor de la pendiente de las rectas paralelas y perpendiculares.
Pendiente de una recta Pendiente de la recta paralela Pendiente de la recta perpendicular 2 – 5 3 5 - 3 5

2. Determina si la recta 𝐿 1 , que pasa por los puntos 𝐴 −5,3 y 𝐵 −1,−1 , y la recta 𝐿 2 , que pasa por los puntos 𝐶 3,−2 y 𝐵 5,−5 son paralelas. 3. La recta 𝐿 1 pasa por los puntos 𝐴 −3,2 y 𝐵 1,4 y otra recta 𝐿 2 pasa por el punto los puntos 𝐶 3,−1 y es perpendicular a la recta 𝐿 1 . Determina el punto donde la recta 𝐿 2 corta al eje Y.

¡ Gracias ! Elaborado por: María Eugenia Muñoz Castro.

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