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Publicada porEncarnación Victoria Redondo Ramos Modificado hace 6 años
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CUADERNO ELECTRONICO I EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
SEM 1- SEM6 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
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FUNDAMENTOS DE LA INGENIERIA ECONOMICA
SEM 1
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1 2 3 4 Presentación del sílabo Evaluación diagnostica
Ingeniería Económica Principios, depreciación Valor del dinero en el tiempo 3 Laboratorio: Ejercicios de Aplicación Trabajo 01 4
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Introducción La INGENIERÍA ECONÓMICA es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o matemática financiera.
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Introducción Las decisiones que toman ingenieros, gerentes, presidentes de corporaciones e individuos, por lo general son el resultado de elegir una alternativa sobre otra. La Ingeniería Económica es un punto medular en la toma de decisiones. Tales decisiones implican elementos básicos de flujo de efectivos, tiempo y tasas de Interés.
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Introducción Con frecuencia el monto para invertir (capital) es limitado y se espera que en un futuro tenga un valor agregado (Interés). En muchos casos los ingenieros, mejor que un contador, un economista, es quien lleva a cabo el análisis, síntesis y diseño de un proyecto ya que los detalles técnicos, son siempre conocidos por el ingeniero y es más fácil evaluar alternativas de solución con criterios técnicos-económicos para una eficiente toma de decisión.
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Ingeniería Económica Implica formular, estimar y evaluar los resultados económicos cuando existan alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito definido. Otra forma de definir la ingeniería económica consiste en describirla como un conjunto de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas. (BLANK y TARQUIN)
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Contabilidad de Costos
Ingeniería Económica Contabilidad Gerencial Derecho Economía Ciencias Políticas Contabilidad de Costos Finanzas
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TOMA DE DECISIONES QUE INVOLUCRAN DINERO
Elaboración de nuevos productos Remplazo de maquinaria obsoleta Adquisición de nueva maquinaria o rentarla por un tiempo. Financiar el crecimiento de la empresa con un préstamo bancario o con retención de utilidades. Elegir entre dos procesos alternativos, etc. OTRAS MAS ESPECIFICAS SOBRE LA ESPECIALIDAD Si se tiene limitado suministro de energía eléctrica en una zona rural. ¿Se debe comprar un grupo electrógeno o se debe alquilar un grupo electrógeno? ¿Deberá un proceso de fabricación automatizarse totalmente? O ¿deberá automatizarse por secciones? ¿Cuánto tiempo deberá permanecer en operación un activo que se ha comprado ahora, para que se pague y se recupere 20% de la inversión? ¿Qué central eléctrica se debe construir: térmica, hidráulica o eólica? ¿Cuál debe ser el costo de generación de energía de una mini central eléctrica?
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EJEMPLO DE REQUERIMIENTO DE INFORMACIÓN ECONOMICA PARA EVALUAR ALTERNATIVAS
Dos ingenieros directivos de una compañía de diseño mecánico y una empresa de análisis estructural a menudo laboran conjuntamente. Han decidido que, en virtud de que con frecuencia realizan viajes comerciales juntos por la región, deberían considerar la posibilidad de comprar un avión del cual sean copropietarias las dos compañías. ¿Cuáles son algunas de las preguntas de naturaleza económica que los ingenieros deberían responder al evaluar las alternativas de: poseer un avión en común o continuar realizando viajes en aviones comerciales?
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EJEMPLO DE REQUERIMIENTO DE INFORMACIÓN ECONOMICA PARA EVALUAR ALTERNATIVAS
¿Cuánto costará el avión cada año? (Se necesitan estimaciones de costos.) ¿Cuánto costará el avión? (Se requiere un plan de financiamiento.) ¿Reportan ventajas los impuestos? (Se necesita información sobre la ley fiscal y las tasas de impuestos.) ¿En qué se basa la elección de una alternativa? (Se requiere un criterio de selección.) ¿Qué se espera de la tasa de retorno? (Se necesitan ecuaciones.) ¿Qué sucederá si llegamos a volar más o menos de lo estimado? (Se requiere un análisis de sensibilidad.)
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PAPEL DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA EN LA TOMA DE DECISIONES
La gente toma decisiones; ni las computadoras, las matemáticas u otras herramientas lo hacen. Las técnicas y modelos de la ingeniería económica ayudan a la gente a tomar decisiones. Como las decisiones influyen en lo que se hará, el marco de referencia temporal de la ingeniería económica es básicamente el futuro. Por lo tanto, en un análisis de ingeniería económica los números constituyen las estimaciones de lo que se espera.
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PAPEL DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA EN LA TOMA DE DECISIONES
Dichas estimaciones a menudo implican los tres elementos esenciales ya mencionados: flujos de efectivo, su tiempo de ocurrencia y las tasas de interés, los cuales se estiman a futuro y serán de cierta manera diferentes a lo que realmente ocurra, como consecuencia de las circunstancias cambiantes y no planeadas de los eventos. La naturaleza estocástica de las estimaciones probablemente hará que el valor observado para el futuro difiera de la estimación actual.
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PAPEL DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA EN LA TOMA DE DECISIONES
Generalmente, el análisis de sensibilidad se lleva a cabo durante el estudio de ingeniería económica, para conocer cómo podría cambiar la decisión, de acuerdo al comportamiento de aquellas variables, que podrían variar de manera significativa. La ingeniería económica se aplica, asimismo, para analizar los resultados del pasado. Los datos observados se evalúan para determinar si los resultados satisficieron el criterio especificado, como, por ejemplo, la tasa de retorno requerida.
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PAPEL DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA EN LA TOMA DE DECISIONES
Existe un procedimiento importante para abordar el desarrollo y elección de alternativas, llamado enfoque de solución de problemas: 1. Comprensión del problema y definición del objetivo. 2. Recopilación de información relevante. 3. Definición de posibles soluciones alternativas y realización de estimaciones realistas. 4. Identificación de criterios para la toma de decisiones empleando uno o más atributos. 5. Evaluación de cada alternativa aplicando un análisis de sensibilidad para reforzar la evaluación. 6. Elección de la mejor alternativa. 7. Implantar la solución. 8. Vigilar los resultados.
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Realización de un estudio de Ingeniería económica:
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Alternativas Son opciones independientes de posibles soluciones a un problema de ingeniería que implican una descripción verbal y las mejores estimaciones de parámetros, tales como el costo inicial, vida útil, ingresos y egresos anuales, valor de salvamento, una tasa de interés, y posiblemente inflación y efectos del impuesto sobre la renta. Algunas alternativas serán viables y otras no.
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Análisis mediante un modelo de ingeniería económica
Flujo de Efectivos Las entradas (ingresos) y salidas (costos o egresos) estimadas de dinero reciben el nombre de flujos de efectivo. Dichas estimaciones se realizan para cada alternativa. Análisis mediante un modelo de ingeniería económica Los cálculos que consideran el “valor del dinero en el tiempo” se realizan sobre los flujos de efectivos de cada alternativa para obtener la medida de valor. Estos modelos pueden ser el VAN, CAUE, TIR, B/C, C-E y NPER.
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Elección de alternativa
Se comparan los valores de la medida de valor y se elige una alternativa. Esto es el resultado del análisis de ingeniería económica. Ejemplo: Por un análisis de tasa de rendimiento: se elige la alternativa 1, donde se estima su tasa en 18.4% anual, sobre la alternativa 2, cuya tasa de rendimiento anual esperada es de 10%. Se puede aplicar una combinación de criterios económicos utilizando la medida de valor, así como los factores no económicos e intangibles, para facilitar la elección de una alternativa.
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Factores intangibles (No cuantificables)
En la mayoría de los casos las alternativas involucran factores intangibles, tales como la moral, la voluntad, la amistad, etc., que no pueden expresarse en términos de dinero. Cuando las alternativas evaluadas tienen aproxim. el mismo costo equivalente, los factores no cuantificables o intangibles, pueden usarse como base para seleccionar la mejor alternativa.
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La evaluación económica es un método de análisis útil para adoptar decisiones racionales ante diferentes alternativas, tanto en términos de costos como de beneficios. La evaluación financiera, analiza el proyecto desde su retorno financiero, se enfoca en el análisis del grado en que el proyecto cumple sus objetivos de generar un retorno a los diferentes actores que participan en su ejecución o financiamiento.
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PRINCIPIO 1. EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES PRINCIPIO 1. EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Un nuevo sol de hoy vale más que un nuevo sol de mañana El dinero se valoriza a través del tiempo a una determinada tasa de interés. La variación de la cantidad del dinero en un periodo de tiempo dado recibe el nombre de valor del dinero en el tiempo
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Ejemplos: De las siguientes opciones ¿Cuál elegiría? 1) Tener S/. 100 hoy u 2) Obtener S/. 100 dentro de un año Ambas 100% seguras. Indudablemente, cualquier persona sensata elegirá la primera, S/. 100 valen más hoy que dentro de un año.
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1) Tener S/. 1000 hoy u 2) Obtener S/
1) Tener S/ hoy u 2) Obtener S/ dentro de un año Ambas 100% seguras. Elección más difícil, la mayoría elegiría la segunda. Contiene un «premio por esperar» llamada tasa de interés, del 50%. Generalmente en el mercado, esta tasa de interés lo determina el libre juego de la oferta y demanda.
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EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo, permite comprar o pagar a tasas de interés periódicas (diarias, semanales, mensuales, trimestrales, etc.). Encontramos los conceptos de valor del dinero en el tiempo agrupados en dos áreas: valor futuro y valor actual. El valor futuro (VF) describe el proceso de crecimiento de la inversión a futuro a un interés y períodos dados. El valor actual (VA) describe el proceso de flujos de dinero futuro que a un descuento y períodos dados representa valores actuales .
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D D + D Tiempo El prestatario después de un plazo pagará una cantidad de dinero mayor que lo prestado. Ello implica que el dinero del prestamista se incremento en una cantidad que llamaremos intereses (D). Por esto decimos que el dinero se valoriza a través del tiempo. ¿Pero que pasa cuando simultáneamente hay inflación?
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PRINCIPIO N°1 VS. LA INFLACIÓN
Valoración a una tasa de interés Desvalorización por inflación Valoración real Con la tasa de interés el dinero se valoriza, pero con la inflación se desvaloriza ¿entonces? Si partimos del supuesto que la tasa de interés es mayor que la tasa de inflación: Habrá aún una valorización real positiva
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INFLACION Elevación del nivel general de los precios, ello implica perdida del poder adquisitivo. Por lo tanto el dinero se desvaloriza debido a la inflación. Tasa de inflación: porcentaje promedio del alza de precios en un período.
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INFLACIÓN 2016 2017 PRECIO (Lt de XX) S/.2.50 S/ 3.00
PRECIO (Lt de XX) S/ S/ 3.00 Poder de compra sol = (1/2.5) lts 1 sol=(1/3.0) lts = 0.4 lts = 0.33 lts Se pude observar que el poder de compra disminuye de un año a otro debido a la inflación ( desvalorización del dinero).
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FIN DE PRESENTACIÓN
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TASAS DE INTERES Y RENDIMIENTO
FLUJOS DE CAJA SEM 2
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TASA DE INTERÉS Y DE RENDIMIENTO
Manifestación del valor del dinero en el tiempo. Diferencia entre una cantidad final de dinero y una cantidad original. El interés se paga cuando una persona u organización pide dinero prestado (obtiene un préstamo) y paga una cantidad mayor. (interés pagado) El interés se gana cuando una persona u organización ahorra, invierte o presta dinero y recibe una cantidad mayor. (rendimiento obtenido) En seguida se muestra que los cálculos y los valores numéricos para ambas variantes son, en esencia, los mismos, aunque las interpretaciones difieren.
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TASA DE INTERÉS Y DE RENDIMIENTO
El interés que se paga por fondos que se piden prestados (préstamo) se determina mediante la relación: Interés = cantidad que se debe ahora – cantidad original Desde la perspectiva de un ahorrador, un prestamista, o un inversionista, el interés ganado es la cantidad final menos la cantidad inicial, o principal: Interés generado = cantidad total actual – cantidad original «Ambos intereses pueden ser comparados con respecto a la cantidad original determinándose su tasa respectiva»
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TASA DE INTERÉS Y DE RENDIMIENTO
TASA DE INTERES Desde la perspectiva de un prestatario, el que obtiene un préstamo, la tasa de interés que tiene que pagar se define como: 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 % = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑥100% TASA DE RENDIMIENTO Desde la perspectiva de un ahorrador o un inversionista, la tasa de rendimiento o tasa generada que se obtiene por una inversión se define como: 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 % = 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑥100%
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Capital: (P) Suma prestada que permanece constante durante el plazo de un préstamo. También se le conoce como Principal. Es el valor presente o actual. Interés: Es una medida del incremento entre la suma originalmente prestada o invertida de dinero y la cantidad final debida o acumulada. Tasa de Interés: ( i ) Es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero". Se suele expresa en tanto por ciento % Tiempo: (n) Esta referido al plazo total de una operación. Puede estar dado en años, meses, días.
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PERIODO DE INTERES Unidad Días Número Símbolo
Es la unidad de tiempo usada para expresar la tasa de interés. El periodo de interés más común es de un año. También a menudo se expresa en periodos de tiempo más cortos que un año tal como se ve en cuadro: Unidad Días Número Símbolo Año 360 1 n Semestre 180 2 n/2 Cuatrimestre 120 3 n/3 Trimestre 90 4 n/4 Bimestre 60 6 n/6 Mes 30 12 n/12 Quincena 15 24 n/24 Día n/360
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Adriana pidió un préstamo a José de $5000
Adriana pidió un préstamo a José de $5000. devuelve este préstamo con 2 pagos: $2000 después de 2 años, y $5000 después de 6 años. Cuál es el interés pagado por ella? ($ $5000) − $5000 = $2000
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Fernando pide un préstamo de $20000 a su banco para comprar su BMW.
El va a devolver este préstamo con 50 pagos mensuales de $500 al fin de cada mes. Cuál es el interés pagado por Fernando? (50 × $500) − $ = $5 000
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Ejemplo 01: Una compañía petrolera invirtió $ y retiro un total de $ exactamente un año después. Calcular (a) el interés ganado y (b) la tasa de rendimiento. Solución: Interés = Cantidad final – Inversión original Interés = – = $ por año La tasa de rendimiento será: 𝑇𝑅= 𝑥100% TR = 10% anual
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Ejemplo 02: Una compañía Energética solicita un préstamo de $ hoy y paga en un año $ Calcular (a) el interés que se paga y (b) la tasa de interés del préstamo. Solución: Interés = Cantidad final – Préstamo original Interés = – = $ por año La tasa de interés será: 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠= 𝑥100% Tasa de interés = 20% anual
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Ejemplo 03: Una Empresa planea solicitar un préstamo de $ a un año, al 14% de interés. Calcular (a) el interés y (b) la cantidad total a pagar al cabo de un año. Solución: El Interés será: Interés = x 14% = $ 2 800 La cantidad total a pagar al cabo de un año es la suma del monto prestado más los intereses. Total a pagar = = $
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Ejemplo 4: se invirtieron $10´000
Ejemplo 4: se invirtieron $10´ el 18 de julio y se retiro un total de $10´ exactamente un año después. Calcular el interés ganado sobre la inversión inicial y la tasa de interés ganado sobre la inversión. Solución: interés = 10´ ´ = $ x 100% = 6 % anual por año 10´ tasa de interés =
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PRINCIPIO 2: LA EQUIVALENCIA
El termino equivalencia se utiliza muy a menudo para pasar de una escala a otra o de valores de un sistema de unidades a otro. Se presenta a continuación algunas equivalencias comunes: Longitud: 100 cm = 1m; 1000 m = 1 Km; 12 pulg = 1 pie. Presión: 1 atm = psi = 760 mm Hg. = KPa En ingeniería Económica el valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utilizada conjuntamente generan el concepto de equivalencia. Esto significa que diferentes sumas de dinero en diferentes tiempos pueden tener igual valor económico.
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EQUIVALENCIA Dos cantidades de dinero ubicadas en diferentes puntos del tiempo son equivalentes si al trasladarlas al mismo punto, se hacen iguales en magnitud. $Q0 $Q1 Interés: i 1
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EQUIVALENCIA Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero hoy (VA-valor actual) y recibir otra diferente (VF-valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período. EJEMPLO: $100 HOY SON EQUIVALENTES A $120 DENTRO DE UN AÑO CON RELACIÓN A UNA TASA DEL 20% ANUAL. $100 $120 20% 1 =
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EQUIVALENCIA Hoy invierto 100$ a una tasa de interés 9%. ¿Cual es el valor equivalente dentro de un año? ¿Cuánto fue el valor equivalente hace un año? $100 $? 9% 1 $100 + ($100 * 0.09) = $109 $X+ ($X * 0.09) = $100
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EQUIVALENCIA Ejemplo 5: Si la tasa de interés es de 12% por año. $ 100 hoy puede ser equivalentes a $ 112 un año después, ya que: Cantidad acumulada = Original + (Original)(tasa de interés) Cantidad acumulada = Original (1 + tasa de interés) Cantidad acumulada = x 0.12 = 100( ) = $ 112 Así, si alguien le ofrece darle $ 100 hoy o $ 112 un año después, no habría diferencia en la oferta, ya que en ambos casos se tendrían los $ 112 dentro de un año. Las dos cantidades de dinero son equivalentes si las tasas de interés para cada uno son iguales. Si las tasas de interés son diferentes, hace que $100 hoy no sea equivalente a $112 dentro de un año.
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EQUIVALENCIA También se puede determinar equivalencias previas. Así, $ 100 pueden ser equivalencias a un año anterior: $100 / (1+0.12) = $ (Un a año anterior) Tabla 1: Equivalencia del dinero al 12% anual Un año atrás Hoy Dentro de un después $ 89.29 $ 100 $ 112 i = 12 %
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INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
Los intereses no se capitalizan. Se calcula con base a la inversión o préstamo original. INTERÉS COMPUESTO: Se calcula con base en el saldo al principio del periodo. Los intereses generan intereses, es decir, se capitalizan.
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INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
Ejemplo 6: se prestan $1000 al 15 % anual. ¿Cuánto dinero se deberá al cabo de tres años si se utiliza interés simple y cuánto si se utiliza interés compuesto? Solución: Interés simple: interés por año = x 0.15 = $ 150 total de intereses = x 3 x 0.15 = $ 450 total de deuda = = $ 1 450 Interés compuesto: interés 1er año = 1000 x 0.15 = $ interés 2do año = x 0.15 = $ interés 3er año = x 0.15 = $ Total intereses = $ total de deuda = = $
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INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
Ejemplo 7: Se deposita $ en una cuenta de ahorros que paga 30% anual capitalizado anualmente. ¿Cuánto dinero tendrá después de 10 años. Compare con interés simple. Solución: Interés compuesto Interés simple F = (1+0.30) F = (1+10(0.30)) $ $ 10
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INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
Ejercicio 8: ¿Cuál de las 2 Alternativas tiene mejor tasa de interés : $ 200 invertidos durante un año con $ 6.25 pagados en interés o $ 500 invertidos durante un año con $ 16 pagados en interés Solución : Interés : Tasa de interés * monto de la inversión = ( i*p*n) Tasa de Interés = Intereses/ monto de la inversión Opción 1 : $ 200 con un interés de $ 6.25 Tasa de Interés = ($ 6.25/$ 200)* 100 = % anual Opción 2 : $ 500 con un interés de $ 16 Tasa de Interés = ($ 16/$ 500)*100 = 3.20 % anual Por lo tanto la opción que mejor tasa de interés presenta es la segunda, es decir la de $ 500 con un interés de $ 16
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INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
Ejemplo 9: Calcular la suma de dinero que debe haber sido depositada hace un año para tener ahora $ 100 a una tasa de interés del 5% anual. Además calcular los intereses ganados durante el periodo de tiempo señalado. F = P ( 1 + i * n ) P = F / (1+i*n) P = $100/(1+0.05*1) P = $ 95.24 Intereses = F - P Intereses = $100 - $ 95.24 Intereses = $ 4.76 Solución: F = $ 100 i= 5% n = 1 año
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COMPARACIÓN ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica, y su gráfica corresponde a la de una función exponencial. Por su parte, el monto a interés simple crece en progresión aritmética, y su gráfica es una línea recta.
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COMPARACIÓN ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
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TR proy ≥ TMAR > costo del capital
TASA MINIMA ATRACTIVA DE RENDIMIENTO: TMAR La TMAR constituye una tasa de rendimiento razonable establecida como tasa base para determinar si una alternativa es económicamente viable. Para una corporación, la TMAR establecida utilizada como criterio para aceptar o rechazar una alternativa siempre será superior al costo promedio ponderado del capital con el que la corporación debe cargar para obtener los fondos de capital necesarios. Para que un proyecto sea aceptado, se debe cumplir: TR proy ≥ TMAR > costo del capital La TMAR siempre es superior al rendimiento de una inversión segura.
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TERMINOLOGIA Y SIMBOLOS
La ingeniería económica usa los siguientes términos y símbolos: P = Valor o cantidad de dinero en un tiempo denominado presente, expresado en Nuevos Soles, dólares, etc. Ocurre una vez en el tiempo. F = Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro, expresado en Nuevos Soles, dólares, etc. Ocurre una vez en el tiempo. A = Serie de cantidades de dinero consecutivas e iguales, se expresa en Nuevos soles por año, Dólares por año, etc. Ocurre en cada periodo por un número específico de periodos con el mismo valor uniforme.
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TERMINOLOGIA Y SIMBOLOS n = numero de periodos del interés, expresado en años, meses, días, etc. i = Tasa de interés o tasa de retorno por periodo, se expresa en porcentaje anual, porcentaje mensual, etc. La tasa i corresponde a una tasa de interés compuesto, a menos que específicamente se indique que se trata de una tasa de interés simple. La tasa i se expresa como porcentaje por periodo de interés. t = Tiempo expresado en periodos, expresado en años, meses, días, etc.
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Ejemplo de identificación de símbolos Una recién graduada de la UNS
Ejemplo de identificación de símbolos Una recién graduada de la UNS. Tiene planes de solicita un préstamo de $ ahora para adquirir un camioneta. Decide que reembolsará todo el principal más 8% de intereses anuales después de 5 años. Identifique los símbolos de ingeniería económica necesarios para resolver el problema, así como los valores que tienen para el adeudo total después de 5 años. Solución P = $ i = 8% anual n = 5 años F = ?
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DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA
“Representación grafica del flujo de caja en una escala de tiempo”. Análisis de las entradas y salidas de dinero que se producen (en empresas, en productos financieros, etc.), y considerando su importe, y el momento en el que se producen. La flecha en cero (0) se considera el presente, y en uno (1) es el final del periodo uno. Sobre la dirección de la flecha en el flujo de caja: Una flecha hacia arriba: flujo de caja positivo (Ingresos de dinero). Una flecha hacia abajo: flujo de caja negativo (Egresos de dinero).
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Flujo de caja neto = Ingresos – Egresos
DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA Flujo de Caja: Cada persona o compañía tiene INGRESOS (entradas de dinero, se considera flujo de caja positivo) y EGRESOS (salidas de dinero, se considera flujo de caja negativo) que ocurren particularmente cada lapso de tiempo y se denomina flujos de caja. Flujo de Caja Neto: En cualquier instante de tiempo, el flujo de caja neto podría representarse como: Flujo de caja neto = Ingresos – Egresos
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DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA
Ejemplos de entradas de efectivo Ingresos (incrementales provenientes de una alternativa). Reducciones en los costos de operación (atribuibles a una alternativa). Valor de salvamento de activos. Recepción del principal de un préstamo. Ahorros en impuesto sobre la renta. Ingresos provenientes de la venta de acciones y bonos. Ahorros en costos de construcción e instalaciones. Ahorros o rendimiento de los fondos de capital corporativo. Ejemplos de salidas de efectivo) Costo de adquisición de activos. Costos de diseño de ingeniería. Costos de operación (anual e incremental). Costos de mantenimiento periódico y de remodelación. Pagos del interés y del principal de un préstamo. Costo de actualización (esperados o no esperados). Impuestos sobre la renta. Gasto de fondos de capital corporativos.
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Fin de Periodo: Un flujo de caja normalmente toma lugar en diferentes intervalos de tiempo dentro de un periodo de interés. La convención de final de periodo implica la suposición de que todos los flujos de efectivo ocurren al final de periodo. Si varios ingresos y egresos ocurren en un periodo dado, el flujo de caja neto se asume que ocurre al final de cada periodo de interés. Esto significa que el periodo termina cada fin de mes o cada fin de año.
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Ejemplo: Se obtiene un préstamo por $1,000 para pagar cuotas de $231 anuales al final de cada uno de los 5 años siguientes. Diseñar el diagrama de flujo. 1 2 3 4 5 $231 $1,000
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Ejemplo: Una compañía está planeando una inversión de $500,000 para fabricar un nuevo producto. Se espera que la venta de este producto proporcione un ingreso neto de $70,000 al año durante 5 años a partir del final del primer año. Diseñar el diagrama de flujo. 1 2 3 4 5 $500,000 $70,000
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INTRODUCCIÓN A LAS SOLUCIONES POR COMPUTADORA:
Las funciones en una hoja de cálculo de computadora llegan a reducir considerablemente el trabajo a mano o por calculadora de los cálculos equivalentes del interés compuesto y los términos P, F, A, i y n. El poder de la hoja de cálculo electrónica a menudo permite introducir una función predefinida de la hoja de cálculo en una celda y obtener de inmediato la respuesta final. Se puede utilizar cualquier sistema de hoja de cálculo: uno disponible, como Microsoft Excel©, o cualquier sistema diseñado especialmente con funciones y operadores financieros incorporados. A lo largo del curso utilizaremos Excel por su disponibilidad y facilidad de uso.
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INTRODUCCIÓN A LAS SOLUCIONES POR COMPUTADORA:
Para el calculo de las variables P, F, A, i y n, las funciones Excel utilizadas se formulan de la siguiente manera: Para valor presente P: VA (i%, n, A, F) Para el valor futuro F: VF (i%, n, A, P) Para el valor periódico igual A: PAGO (i%, n, P, F) Para el número de periodos n: NPER (i%, A, P, F) Para la tasa de interés compuesto i: TASA (n, A, P, F) Para la tasa de interés compuesto i: TIR (primera_celda : última_celda) Para el valor presente P de cualquier serie: VPN (i%, segunda_celda : última_celda) + primera_celda.
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INTRODUCCIÓN A LAS SOLUCIONES POR COMPUTADORA:
Ejemplo de Interés Compuesto: Si una persona solicita un préstamo de $ 1000 por tres años al 14 % anual de interés compuesto. ¿Cuánto dinero pagara en tres años? Solución: Interés del primer año = 1000 x 0.14 = $ Deuda total después del primer año = = $ Interés del segundo año = x 0.14 = $ Deuda total después del segundo año = = $ Interés del tercer año = x 0.14 = $ Deuda total después del tercer año = = $
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INTRODUCCIÓN A LAS SOLUCIONES POR COMPUTADORA:
El plan de pagos es el mismo que el ejemplo de interés simple, es decir se paga al final del año 3. El valor del dinero en el tiempo es especialmente reconocido en el interés compuesto. SE OBSERVA EL INTERÉS SOBRE EL INTERÉS.
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FIN DE PRESENTACION
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FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA Y SU EMPLEO
SEM 3
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FACTORES DE INGENIERIA ECONOMICA Y SU EMPLEO
1. FACTORES DE PAGO UNICO (F/P Y P/F) A. Deducción Factor Cantidad Compuesta Pago Único (FCCPU) o (F/P) Factor fundamental en la ingeniería económica, que determina la cantidad de dinero Futuro F acumulado después de n años (o periodos), a partir de una única inversión P, con tasa de interés compuesto i por ciento anual (o por periodo): Ojo: el interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés. Por consiguiente, si una cantidad P se invierte en el momento t = 0, la cantidad de dinero futura F1 que se ha acumulado en un año es: 𝐹 1 =𝑃+𝑃.𝑖 = 𝑃(1+𝑖) 𝐹 1 =𝑃(1+𝑖) Al final del segundo año la cantidad F2 es: 𝐹 2 = 𝐹 1 + 𝐹 1 .𝑖= 𝐹 1 1+𝑖 =𝑃 1+𝑖 (1+𝑖) 𝐹 2 =𝑃(1+𝑖) 2
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FACTORES DE INGENIERIA ECONOMICA Y SU EMPLEO
1. FACTORES DE PAGO UNICO (F/P Y P/F) A. Deducción Factor Cantidad Compuesta Pago Único (FCCPU) o (F/P) Igualmente para el tercer año la cantidad F3 es: 𝐹 3 = 𝐹 2 + 𝐹 2 .𝑖= 𝐹 2 1+𝑖 =𝑃 1+𝑖 1+𝑖 2 𝐹 3 =𝑃(1+𝑖) 3 Por inducción matemática es evidente que la formula generalizada de la cantidad acumulada F para n años es: 𝐹=𝑃(1+𝑖) 𝑛 Esta expresión permitirá determinar el valor Futuro F de una cantidad presente P, después de n años a una tasa de interés i porcentual anual. El Factor Cantidad Compuesta Pago Único (FCCPU) es, (𝟏+𝒊) 𝒏 En ingeniería económica se dice el factor (F/P). Pasar de Valor Presente, (VP) a valor futuro (VF) recibe el nombre de capitalización.
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Ejemplo 1 ¿Con cuánto dinero terminará usted si deposita hoy $100 por un periodo de 5 años, asumiendo una tasa de interés de 10% anual? VF = ? 1 3 2 4 5 VP = 100
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Ejemplo VF = ? VF1 = 100 x (1 + 10%) = 110 1 2 3 4 5 VP = 100
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Ejemplo VF = ? VF2 = 110 x (1 + 10%) = 121 1 2 3 4 5 VP = 100
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Ejemplo VF = ? VF3 = 121 x (1 + 10%) = 1 2 3 4 5 VP = 100
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Ejemplo VF = ? VF4 = x (1 + 10%) = 1 2 3 4 5 VP = 100
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Ejemplo VF = ? VF5 = x (1 + 10%) = 3 1 2 4 5 VP = 100
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Intereses Simple = 100 x 10% x 5 = 50
Ejemplo VP = 100 i = 10% anual n = 5 años VF = ? VF = VP x (1 + i)n = 100 x ( )5 VF = 100 x = Intereses Simple = 100 x 10% x 5 = 50 Interés compuesto =
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Ejemplo 2 ¿Con cuánto dinero terminará usted si deposita hoy los $100 por un periodo de 50 años, asumiendo una tasa de interés de 10% anual? VF = ? 1 2 49 50 ………………… VP = 100
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Ejemplo 2 Solución: VP = 100 i = 10% anual n = 50 años VF = ?
VF = VP x (1 + i)n = 100 x ( )50 VF= 100x = 11, (a Interés compuesto) Intereses Simple = 100 x 10% x 50 = 500 Interés compuesto = 11,
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FACTORES DE INGENIERIA ECONOMICA Y SU EMPLEO
1. FACTORES DE PAGO UNICO (F/P Y P/F) B. Deducción Factor Valor Presente Pago Único (FVPPU) o (P/F) Despejando P en términos de F de la ecuación (F/P) se obtiene: 𝑠𝑖 𝐹=𝑃(1+𝑖) 𝑛 Esta ecuación permitirá determinar el valor presente P de una cantidad futura F, después de n años a una tasa de interés i porcentual anual. El Factor Valor Presente Pago Único (FVPPU) es: 1 1+𝑖 𝑛 En ingeniería económica se dice el factor (P/F). Pasar de Valor Futuro (VF) a Valor Presente (VP) se conoce como descuento de flujos. 𝑃=𝐹 𝑖 𝑛
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Ejemplo 3 ¿A cuanto equivale hoy $200 en 5 años, asumiendo una tasa de interés de 10% anual? F=$ 200 i = 10% P=? La fórmula para calcular el VP es la siguiente: VP = VF / (1 + i)n VP = 200 / ( )5 VP =
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Deducción Factor Valor Presente Serie Uniforme (FVPSU) o (P/A)
2. FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACION DE CAPITAL EN SERIES UNIFORMES (P/A Y A/P) Deducción Factor Valor Presente Serie Uniforme (FVPSU) o (P/A) El valor presente de la serie uniforme mostrada en la figura se puede determinar considerando cada valor de A como un valor futuro F en la formula de valor presente pago único y luego sumando los valores del valor presente. La formula general es: 𝑷=𝑨 𝟏 𝟏+𝒊 𝟏 +𝑨 𝟏 𝟏+𝒊 𝟐 +𝑨 𝟏 𝟏+𝒊 𝟑 +…+𝑨 𝟏 𝟏+𝒊 𝒏−𝟏 +𝑨 𝟏 𝟏+𝒊 𝒏 Donde los términos entre llaves representa (P/F) para los años 1 hasta n, respectivamente.
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𝑃=𝐴 1 1+𝑖 1 + 1 1+𝑖 2 + 1 1+𝑖 3 +…+ 1 1+𝑖 𝑛−1 + 1 1+𝑖 𝑛 …(α)
2. FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACION DE CAPITAL EN SERIES UNIFORMES (P/A Y A/P) Deducción Factor Valor Presente Serie Uniforme (FVPSU) o (P/A) 𝑷=𝑨 𝟏 𝟏+𝒊 𝟏 +𝑨 𝟏 𝟏+𝒊 𝟐 +𝑨 𝟏 𝟏+𝒊 𝟑 +…+𝑨 𝟏 𝟏+𝒊 𝒏−𝟏 +𝑨 𝟏 𝟏+𝒊 𝒏 Factorizando A: 𝑃=𝐴 𝑖 𝑖 𝑖 3 +… 𝑖 𝑛− 𝑖 𝑛 …(α) La ecuación (α) se puede simplificar multiplicando ambos lados por 1/(1+i): 𝑃 1+𝑖 =𝐴 𝑖 𝑖 𝑖 4 +… 𝑖 𝑛 𝑖 𝑛+1 … (β) Restando (β) menos (α), se obtiene: 𝑃 1+𝑖 −𝑃=𝐴 𝑖 𝑛+1 − 𝑖 1
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𝑃=𝐴 1+𝑖 𝑛 −1 𝑖 1+𝑖 𝑛 ; 𝑖≠0 𝑃 1+𝑖 −𝑃=𝐴 1 1+𝑖 𝑛+1 − 1 1+𝑖 1
2. FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACION DE CAPITAL EN SERIES UNIFORMES (P/A Y A/P) Deducción Factor Valor Presente Serie Uniforme (FVPSU) o (P/A) 𝑃 1+𝑖 −𝑃=𝐴 𝑖 𝑛+1 − 𝑖 1 Simplificando y ordenando la ecuación se obtiene: 𝑃=𝐴 1+𝑖 𝑛 −1 𝑖 1+𝑖 𝑛 ; 𝑖≠0 Esta ecuación permitirá determinar el valor presente P de una serie anual uniforme equivalente A, que comienza al final del año 1 y se extiende durante n años a una tasa de interés i porcentual anual. El Factor Valor Presente Serie Uniforme (FVPSU) es: 1+𝑖 𝑛 −1 𝑖 1+𝑖 𝑛 ; 𝑖≠0 En ingeniería económica se dice el factor (P/A) −𝑖𝑃 1+𝑖 =𝐴 − 1+𝑖 𝑛 𝑖 𝑛+1
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𝐴=𝑃 𝑖 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛 −1 𝑃=𝐴 1+𝑖 𝑛 −1 𝑖 1+𝑖 𝑛 𝑖 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛 −1
2. FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACION DE CAPITAL EN SERIES UNIFORMES (P/A Y A/P) B. Deducción Factor de Recuperación de Capital (FRC) o (A/P) Despejando P en términos de A de la ecuación FVPSU o (P/A) se obtiene: 𝐴=𝑃 𝑖 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛 −1 Esta ecuación permitirá obtener la serie anual uniforme equivalente A durante n años, de una inversión dada P, cuando la tasa de interés es i porcentual anual. El Factor de Recuperación de Capital (FRC) es: 𝑖 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛 −1 En ingeniería económica se dice el factor (A/P) Nótese en la figura, que el valor presente P y el primer valor de A de la serie uniforme están separadas por un periodo. 𝑃=𝐴 1+𝑖 𝑛 −1 𝑖 1+𝑖 𝑛
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Ejemplo 4 Suponga que obtiene un préstamo por $2,000 ahora al 7% anual durante 10 años y debe reembolsarlo en pagos anuales iguales. Trace el diagrama de flujo de efectivo y calcule la serie anual uniforme equivalente o la anualidad que debe pagar. A=P i 1+i n 1+i n −1 1 2 3 5 6 8 9 A = ? P = 2000 P = 7% 4 7 10 A = −1 =
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𝑃=𝐹 1 1+𝑖 𝑛 𝐴=𝑃 𝑖 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛 −1 𝐴=𝐹 1 1+𝑖 𝑛 𝑖 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛 −1
2. FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACION DE CAPITAL EN SERIES UNIFORMES (P/A Y A/P) C. Deducción Factor Fondo de Amortización (FFA) o (A/F) Reemplazando la formula FVPPU o (P/F) 𝑃=𝐹 𝑖 𝑛 En la formula FRC o (A/P) 𝐴=𝑃 𝑖 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛 −1 Se obtiene: 𝐴=𝐹 𝑖 𝑛 𝑖 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛 −1 Que reducida es: 𝐴=𝐹 𝑖 1+𝑖 𝑛 −1
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2. FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACION DE CAPITAL EN SERIES UNIFORMES (P/A Y A/P)
C. Deducción Factor Fondo de Amortización (FFA) o (A/F) Es una ecuación que se utiliza para determinar la serie anual uniforme A, que será equivalente a un valor futuro dado F. El Factor Fondo de Amortización (FFA) es: 𝑖 1+𝑖 𝑛 −1 En ingeniería económica se dice el factor (A/F) 𝐴=𝐹 𝑖 1+𝑖 𝑛 −1
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𝐹=𝐴 1+𝑖 𝑛 −1 𝑖 𝐴=𝐹 𝑖 1+𝑖 𝑛 −1 1+𝑖 𝑛 −1 𝑖
2. FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACION DE CAPITAL EN SERIES UNIFORMES (P/A Y A/P) D. Deducción Factor Cantidad Compuesta Serie Uniforme (FCCSU) o (F/A) Despejando F en términos de A de FFA se obtiene: 𝐹=𝐴 1+𝑖 𝑛 −1 𝑖 Esta ecuación se utiliza para determinar el valor futuro F que será equivalente a la serie uniforme A. Nótese que la serie uniforme A comienza al final del periodo 1 y continua hasta el año del valor futuro F dado. El Factor Cantidad Compuesta Serie Uniforme (FCCSU) es: 1+𝑖 𝑛 −1 𝑖 En ingeniería económica es el factor (F/A) 𝐴=𝐹 𝑖 1+𝑖 𝑛 −1
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3. NOTACION ESTANDAR DE LOS FACTORES DE INGENIERIA ECONOMICA
A fin de NO escribir las formulas cada vez que se use cualquiera de los factores, se ha estandarizado su representación de la forma general como: (X/Y, i%, n) Donde: X : representa lo que se quiere encontrar Y : representa lo que se tiene i% : representa la tasa de interés en porcentaje n : representa el numero de periodos involucrados Luego X/Y significa “hallar X dado Y” Ejemplo 01: Interprete el factor de ingeniería (F/P, 10%, 15) Solución: Hallar F dado P: El valor P es conocido y el valor F es desconocido. Significa obtener el factor de ingeniería que al ser multiplicado por un valor presente P dado, permitirá encontrar la cantidad futura F que se acumulará en 15 periodos con una tasa de interés de 10% por periodo.
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Ejemplo 02: Encontrar el Factor (P/A, 8%, 12) Solución:
4. USO DE TABLAS PARA ENCONTRAR LOS FACTORES DE INGENIERIA ECONOMICA Para simplificar los cálculos rutinarios de Ingeniería económica que involucra estos factores anteriores, existen tablas con tasas de interés desde 0.5% hasta 50% y periodos de pago desde 1 hasta 100 periodos. Ejemplo 02: Encontrar el Factor (P/A, 8%, 12) Solución: De tablas de I.E. se tiene: (P/A, 8%, 12) =
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5. USO DE CALCULADORAS PARA ENCONTRAR LOS FACTORES DE INGENIERIA ECONOMICA
Estos factores pueden encontrarse mediante el uso de calculadoras, ejecutando los factores económicos en función a sus ecuaciones determinadas. Ejemplo 03: Calcular el Factor (P/A, 8%, 12) Solución: 𝑃 𝐴 , 𝑖%, 𝑛 = 1+𝑖 𝑛 −1 𝑖 1+𝑖 𝑛 = − ∗ (P/A, 8%, 12) = ≈
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P → VA(Tasa, Nper, Pago, Vf) → VA(i%, n, A, F)
6. USO DE EXCEL PARA ENCONTRAR LOS VALORES DE: P, F, A, i%, n La hoja de cálculo Excel es una herramienta electrónica que permite encontrar: el valor presente P, las series uniformes A, la tasa de interés i% y el número de periodos n. Las funciones de Excel más utilizadas para su calculo, son las siguientes: valor presente: P → VA(Tasa, Nper, Pago, Vf) → VA(i%, n, A, F) valor futuro: F → VF(Tasa, Nper, Pago, Va) → VF(i%, n, A, P) serie uniforme: A → PAGO(Tasa, Nper, Va, Vf) → PAGO(i%, n, P, F) tasa de interés compuesta: i → TASA(Nper, Pago, Va, Vf) → TASA(n, A, P, F) número de periodos: n → NPER(Tasa, Pago, Va, Vf) → NPER(i%, A, P, F)
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7. FACTORES DE GRADIENTE ARITMETICO (P/G Y G/P)
A Deducción de Factor Valor Presente Gradiente Uniforme (P/G) Un gradiente uniforme es una serie de flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme de forma aritmética. El flujo de caja, ya sea ingreso o egreso, cambia en la misma cantidad cada año o periodo. La cantidad de aumento o disminución es el gradiente (G). No se incluye el “pago base” que ocurre al final del año 1, porque en aplicaciones reales esta cantidad base es indistinta al aumento o disminución del gradiente G. Por ejemplo, una persona compra un auto usado con garantía de un año, se espera que en el primer año de operación solo se debe pagar combustible y seguro. Luego el año 2 se tendría que pagar los costos de mantenimiento G y que se incremente aritméticamente cada año.
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7. FACTORES DE GRADIENTE ARITMETICO (P/G Y G/P)
A Deducción de Factor Valor Presente Gradiente Uniforme (P/G) El valor presente en el tiempo 0 de los pagos de gradientes seria igual a la suma de los valores presentes de los pagos individuales: P =G(P/G, i%, 2)+2G(P/G, i%, 3)+ 3G(P/G, i%, 4)+… ….+ (n-2)G(P/G, i%, n-2)+(n-1)G(P/G, i%, n-1) Aplicando la fórmula P/F y factorizando G, se tiene:
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7. FACTORES DE GRADIENTE ARITMETICO (P/G Y G/P)
A Deducción de Factor Valor Presente Gradiente Uniforme (P/G) [α] Al multiplicar ambos lados de la ecuación a por (1 + i)1 se obtiene la ecuac. [β]: Restando la ecuación [α] de la ecuación [β] y simplificando se tiene: La expresión entre corchetes que se encuentra a la izquierda es la misma que la que se planteó para se determinar el factor P/A, por lo que reemplazando: 𝑃=𝐺 (1+𝑖) 𝑛 −𝑖𝑛−1 𝑖 2 (1+𝑖) 𝑛 𝑃= 𝐺 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 − 𝑛 (1+𝑖) 𝑛
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𝐴=𝐺 1 𝑖 − 𝑛 (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑃/𝐺= (1+𝑖) 𝑛 −𝑖𝑛−1 𝑖 2 (1+𝑖) 𝑛
7. FACTORES DE GRADIENTE ARITMETICO (P/G Y G/P) B Deducción de Factor Serie Anual Gradiente (A/G) Esta deducción puede obtenerse mediante la multiplicación de los factores: A = G (P/G, i%, n) (A/P, i%, n) Reemplazando y simplificando: Esta ecuación convierte una serie gradiente uniforme G en una serie uniforme constante A. 𝑃/𝐺= (1+𝑖) 𝑛 −𝑖𝑛−1 𝑖 2 (1+𝑖) 𝑛 𝐴/𝑃= 𝑖 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛 −1 𝐴=𝐺 (1+𝑖) 𝑛 −𝑖𝑛−1 𝑖 2 (1+𝑖) 𝑛 𝑖 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛 −1 𝐴=𝐺 (1+𝑖) 𝑛 −𝑖𝑛−1 𝑖 𝑖 𝑛 −1 𝐴=𝐺 (1+𝑖) 𝑛 −𝑖𝑛−1 𝑖[ 1+𝑖 𝑛 −1] 𝐴=𝐺 (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖[ 1+𝑖 𝑛 −1] − −𝑖𝑛 𝑖[ 1+𝑖 𝑛 −1] 𝐴=𝐺 1 𝑖 − 𝑛 (1+𝑖) 𝑛 −1
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𝐹/𝑃= (1+𝑖) 𝑛 𝐹= 𝐺 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 −𝑛 𝑃/𝐺= (1+𝑖) 𝑛 −𝑖𝑛−1 𝑖 2 (1+𝑖) 𝑛
7. FACTORES DE GRADIENTE ARITMETICO (P/G Y G/P) C Deducción de Factor Valor Futuro Gradiente Uniforme (F/G) Esta ecuación se puede obtener mediante la multiplicación de los factores: F = G (P/G, i%, n) (F/P, i%, n) Reemplazando y simplificando: 𝐹= 𝐺 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 −𝑛 Esta ecuación convierte una serie gradiente uniforme G en un valor a futuro F. 𝑃/𝐺= (1+𝑖) 𝑛 −𝑖𝑛−1 𝑖 2 (1+𝑖) 𝑛 𝐹/𝑃= (1+𝑖) 𝑛
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8. CÁLCULO DE TASAS DE INTERÉS DESCONOCIDAS
En algunos casos se conocen la cantidad de dinero depositado (P) y la cantidad de dinero recibido (F), luego de un número especificado de años (n), pero se desconoce la tasa de interés o la tasa de rendimiento. Cuando hay involucrados una cantidad única, una serie uniforme, o un gradiente convencional uniforme, la tasa desconocida puede determinarse para (i) por una solución directa de la ecuación del valor del dinero en el tiempo. Cuando hay pagos no uniformes o muchos factores, el problema debe resolverse empleando un método de ensayo y error. Las fórmulas de pago único se reordenan con facilidad en términos de i, pero para las ecuaciones de serie uniforme y de gradientes, es necesario resolver para determinar el calcular del factor y determinar la tasa de interés a partir de las tablas de factores de interés. Haciendo uso del Excel se pueden usar las siguientes funciones: Para la tasa de interés compuesto i: TASA (n, A, P, F) Para la tasa de interés compuesto i: TIR (primera_celda : última_celda)
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9. CÁLCULO DEL NÚMERO DE AÑOS DESCONOCIDOS
Para que una serie de flujos de efectivo proporcione una tasa de rendimiento establecida, algunas veces es necesario determinar el número de años (periodos) requeridos. Otras veces se desea saber cuándo determinadas cantidades de dinero estarán disponibles a partir de una inversión propuesta. En ambos casos, la incógnita es n. Para encontrar esta variable n basta con la manipulación de las fórmulas de pago único y de serie uniforme. En otros casos, n se calcula usando interpolación en las tablas de interés. La función NPER de la hoja de cálculo es útil para encontrar rápidamente el número de años (periodos) n para valores dados de A, P y/o F. El formato es NPER(i%,A,P,F)
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Ecuación en Notac- estándar
RESUMEN DE FORMULAS FACTOR Notación Nombre Enc./ dado Formula del factor Ecuación en Notac- estándar Funciones de Excel (F/P,i,n) Capitalización F/P 𝐅=𝐏(𝟏+𝐢) 𝐧 F = P(F/P,i,n) VF(Tasa, Nper, , Va) (P/F,i,n) Descuento de flujos P/F 𝐏=𝐅/ 𝟏+𝐢 𝐧 P = F(P/F,i,n) VA(Tasa, Nper, , Vf) (P/A,i,n) Valor Presente de Serie Uniforme P/A 𝐏=𝐀 𝟏+𝐢 𝐧 −𝟏 𝐢 𝟏+𝐢 𝐧 P = A(P/A,i,n) VA(Tasa, Nper, Pago, ) (A/P,i,n) Recuperación de Capital A/P 𝐀=𝐏 𝐢 𝟏+𝐢 𝐧 𝟏+𝐢 𝐧 −𝟏 A = P(A/P,i,n) PAGO(Tasa, Nper, Va, ) (F/A,i,n) Cantidad Compuesta serie uniforme F/A 𝐅=𝐀 𝟏+𝐢 𝐧 −𝟏 𝐢 F = A (F/A,i,n) VF(Tasa, Nper, Pago, ) (A/F,i,n) Fondo de Amortización A/F 𝐀=𝐅 𝐢 𝟏+𝐢 𝐧 −𝟏 A = F (A/F,i,n) PAGO(Tasa, Nper, , Vf) Tasa de Interés i = ( F/ P) 1/n – 1 TASA(Nper,Pago,Va,Vf) Número de Periodos n = log(F/P)/log(1+i) NPER(Tasa,Pago,Va,Vf) (P/G,i,n) Valor Presente Gradiente Uniforme P/G 𝑷=𝑮 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝒊𝒏−𝟏 𝒊 𝟐 (𝟏+𝒊) 𝒏 G(P/G, i, n) (A/G,i,n) Serie Anual Gradiente A/G 𝑨=𝑮 𝟏 𝒊 − 𝒏 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝟏 G(A/G, i, n) (F/G,i,n) Valor Futuro Gradiente Uniforme F/G 𝑭= 𝑮 𝒊 (𝟏+𝒊) 𝒏 −𝟏 𝒊 −𝒏 G(F/G, i, n)
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VF(tasa, nper, pago, va) USO DE FACTORES, FORMULA-CALCULADORA Y EXCEL
Ejemplo 04: Una persona desea invertir $ 6000 ahora y desea retirar su dinero ahorrado por 8 años a una tasa de ahorros de 5% anual. ¿Cuál es la cantidad ahorrada? (a) utilice factores de ingeniería, (b) utilice fórmula para el cálculo y c) usando excel. Solución: Datos del problema: P = $ 6000; i = 5% anual; n = 8 años; F = ¿? a. Con factores de ingeniería. De tablas obtenemos el factor de ingeniería: (F/P, 5%, 8) = Luego: F = P *(F/P, 5%, 8) = 6000* = $ b. Con formulas y calculadora: 𝐹=𝑃 1+𝑖 𝑛 =6000∗ =$ 𝟗𝟓𝟔𝟑.1 F ≈ $ b. Con uso de Excel: VF(tasa, nper, pago, va)
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COMBINACIÓN DE FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA
SEM 4
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1. CÁLCULOS PARA SERIES UNIFORMES QUE SON DIFERIDAS
Cuando una serie uniforme se inicia en un momento diferente del final del periodo 1, se dice que se trata de una serie diferida. En este caso, para calcular el valor presente equivalente P. Por ejemplo, P de la serie uniforme que se muestra podría determinarse por cualquiera de los siguientes métodos: a. Utilice el factor P/F para encontrar el valor presente de cada desembolso en el año 0 y súmelos. b. Aplique el factor F/P para determinar el valor futuro de cada desembolso en el año 10, súmelos y luego calcule el valor presente del total mediante P = F(P/ F,i,10).
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1. CÁLCULOS PARA SERIES UNIFORMES QUE SON DIFERIDAS
P=F(P/F,9%,4)+F(P/F,9%,5)+F(P/F,9%,6)+F(P/F,9%,7)+F(P/F,9%,8)+F(P/F,9%,9)+F(P/F,9%,10) P=[P(F/P,9%,4)+P(F/P,9%,5)+P(F/P,9%,6)+P(F/P,9%,7)+P(F/P,9%,8)+P(F/P,9%,9)+P(F/P,9%,10)] (P/F,9%,10)
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1. CÁLCULOS PARA SERIES UNIFORMES QUE SON DIFERIDAS
c. Emplee el factor F/A para encontrar la cantidad futura en el año 10 (renumerando el periodo de años de 0 a 7) mediante la ecuación F = A(F/A,i,7) y luego calcule el valor presente mediante P = F(P/F,i,10). d. Use el factor P/A para calcular el “valor presente” (que estará situado en el año 3, no en el año 0) y luego encuentre el valor presente en el año 0 mediante el factor (P/F,i,3). (El valor presente se encierra entre comillas sólo aquí para representar el valor presente como está determinado por el factor P/A en el año 3 y para diferenciarlo del valor presente en el año 0.) P’
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1. CÁLCULOS PARA SERIES UNIFORMES QUE SON DIFERIDAS
P= A(F/A,9%,7) (P/F,9%,10) P’ P= A(P/A,9%,7) (P/F,9%,3)
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2. CÁLCULOS QUE INVOLUCRAN SERIES UNIFORMES Y CANTIDADES ÚNICAS COLOCADAS ALEATORIAMENTE
Cuando el flujo de efectivo incluye tanto una serie uniforme como cantidades únicas colocadas aleatoriamente, los procedimientos vistos anteriormente se aplican a la serie uniforme y las fórmulas de cantidad única se aplican a los flujos de efectivo que se realizan aleatoriamente. Se determina el valor presente P mediante una combinación de procedimientos. Para la serie A (se uso los factores P/A seguido del P/F) y para las cantidades aleatorias se usó (P/F). Para soluciones con hoja de cálculo, es necesario ingresar los flujos de efectivo netos antes de usar la función VA o alguna otra. P’ A’ Cuando usted calcula el valor A para series de flujo de efectivo que incluyen cantidades únicas colocadas aleatoriamente y series uniformes, primero convierta todo a un valor presente o a un valor futuro. Luego obtenga el valor A al multiplicar P o F por el factor apropiado A/P o A/F.
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P= A(P/A,9%,7)(P/F,9%,3) + F(P/F,9%,5) + F(P/F,9%,8)
2. CÁLCULOS QUE INVOLUCRAN SERIES UNIFORMES Y CANTIDADES ÚNICAS COLOCADAS ALEATORIAMENTE P’ P= A(P/A,9%,7)(P/F,9%,3) + F(P/F,9%,5) + F(P/F,9%,8) A’= P(A/P,9%,10) A’
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3. CÁLCULOS PARA GRADIENTE DIFERIDO
Una serie gradiente convencional inicia entre los periodos 1 y 2. El valor presente de un gradiente aritmético siempre estará ubicado dos periodos antes de que el gradiente empiece. En periodo 2 aparece por primera vez el gradiente. Un gradiente que inicia en algún otro momento se denomina gradiente diferido. Fraccionarla en una serie gradiente aritmético y en una serie uniforme (Cantidad base) modela el método y el valor n del gradiente. El valor n en los factores P/G y A/G para un gradiente diferido se renumerar la escala de tiempo. Luego de usar el factor P/G sobre la gradiente se aplicará un factor P/F sobre el año cero actual; este valor se sumará con el obtenido del P/A usado sobre la serie uniforme. G A G PG 1 2 3 4 5 6 7 G Para encontrar la serie equivalente A de un gradiente diferido, a lo largo de todos los periodos, primero encuentre el valor presente del gradiente en el momento actual 0, y luego aplique el factor (A/P,i,n).
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PA= A(P/A,9%,7) P= G(P/G,9%,10) PG= G(P/G,9%,7) (P/F,9%,3)
3. CÁLCULOS PARA GRADIENTE DIFERIDO G P= G(P/G,9%,10) PA= A(P/A,9%,7) A PG= G(P/G,9%,7) (P/F,9%,3) G PG 1 2 3 4 5 6 7 Gradiente Creciente Diferido: G PT= A(P/A,9%,7) + G(P/G,9%,7) (P/F,9%,3)
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? 4. GRADIENTES ARITMÉTICOS DIFERIDOS DECRECIENTES
El empleo de los factores de gradiente aritmético es el mismo para los gradientes que crecen y para los que decrecen, excepto que en este último caso se cumplen las siguientes aseveraciones: 1. La cantidad base es igual a la cantidad mayor en la serie gradiente, es decir, la cantidad en el periodo 1 de la serie. 2. La cantidad gradiente se resta de la cantidad base en lugar de sumarse. 3. Los términos -G(P/G,i,n) o -G(A/G,i,n) se utilizan en los cálculos para PT y AT, respectivamente. A= G= $100 PT = $800(P/F,i,1) + 800(P/A,i,5)(P/F,i,1) – 100(P/G,i,5)(P/F,i,1) ?
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P0= VNA(Tasa,V1:Vn)+V0 5. APLICACIÓN DE HOJAS DE CÁLCULO:
P= A(P/A,9%,7) (P/F,9%,3) P= 600(5.0330) (0.7722) = $ En programa EXCEL: P0= VNA(Tasa,V1:Vn)+V0 =VNA(9%,0,0,0,600,600,600,600,600,600,600)+0 =
119
5. APLICACIÓN DE HOJAS DE CÁLCULO:
P= A(P/A,9%,3) (P/F,9%,3)+ A(P/A,9%,3) (P/F,9%,7) P= 600(2.5313) (0.7722)+ 600(2.5313) (0.547) P= En programa EXCEL: =VNA(9%,0,0,0,600,600,600,0,600,600,600)+0 =
120
6. EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
6.1 Una persona compra un terreno en $6000 al contado y pagos anuales diferidos de $ 600 durante 6 años, empezando dentro de cuatro años. ¿Cuál sería el valor presente de la inversión si la tasa de interés es de 15% anual?
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6.2 Calcular la serie anual uniforme equivalente a 10 años al 15% de interés anual para un desembolso anual de $700 durante 7 años que habría empezado dentro 3 años.
122
6.3 Por la venta de una propiedad a una compañía minera se realiza el siguiente contrato comercial: Cobrar $ anuales durante 20 años empezando de aquí a un año, mas $12000 dentro de siete años y $18000 dentro de 18 años. Si la compañía deseara pagar la propiedad inmediatamente, ¿Cuánto tendría que pagar ahora si la tasa de interés es de 15% anual?
123
6. 4 Si los pagos uniformes descritos en el problema 6
6.4 Si los pagos uniformes descritos en el problema 6.3 no se inician sino hasta 3 años después de la fecha en que se firmo el contrato. ¿Cuál seria el valor presente? y ¿Cuál sería su valor futuro usando una tasa del 15%?
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6.5 Calcule la serie anual equivalente para los pagos siguientes: dentro de un año $100, dentro de dos años $100, dentro de tres años $100, dentro de cuatro años $150, dentro de cinco años $200, dentro de seis años $250 y dentro de siete años $300. Si la tasa de interés es de 5% anual.
125
CAPITALIZACIÓN Y OPERACIONES
TASAS DE INTERÉS CAPITALIZACIÓN Y OPERACIONES SEM 5
126
La comprensión y el empleo correcto de las tasas de interés efectivas es importante para la práctica de la ingeniería y de las finanzas personales. Los proyectos de ingeniería se financian a través de deudas y de capital propio, debiéndose tomar en cuenta sus efectos. Los intereses por préstamos, hipotecas, bonos y acciones se basan en tasas de interés compuesto para periodos más frecuentes que un año. En nuestras finanzas personales, administramos la mayoría de nuestros desembolsos e ingresos de efectivo para periodos distintos a un año.
127
1. TASA DE INTERES NOMINAL
Es una tasa aparente, irreal, que debe ser convertida a una tasa de interés efectiva con la finalidad de revelar su valor real del dinero en el tiempo. No considera la capitalización de intereses. Por definición: 𝑟=𝑖∗𝑚 Donde: r = tasa de interés nominal i = tasa de interés efectivo por periodo m = número de periodos de capitalización por año Ejemplo: Tasa de intereses nominal (o aparente) para periodos más largos que el original: Sea i=2% mensual (tasa de interés efectiva capitalizable mensualmente)
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1. TASA DE INTERES NOMINAL
Sea i = 2 % mensual (tasa de interés efectiva capitalizable mensualmente) Calculo de tasa de interés nominal trimestral r=2% mensual∗3 meses por trimestre r=6% nominal trimestral (capitalizable mensualmente) Calculo de tasa de interés nominal semestral r=2% mensual∗6 meses por semestre r=12% nominal semestral (capitalizable mensualmente) Calculo de tasa de interés nominal anual r=2% mensual∗12 meses por año r=24% nominal anual (capitalizable mensualmente) Calculo de tasa de interés nominal bianual r=2% mensual∗24 meses por 2 años r=48% nominal bianual (capitalizable mensualmente)
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2. TASA DE INTERES EFECTIVA
Mide realmente el interés otorgado o cobrado. Por lo general, se expresa como “Tasa Efectiva Anual (T.E.A)” o simplemente “Tasa Efectiva” pero se puede utilizar cualquier periodo como base. Se denota generalmente por el símbolo ia Por definición: 𝑖𝑎=𝑟/𝑚 Por ejemplo: ia = 15 % anual Para tasas efectivas capitalizables por periodos menores a un año y se denotan generalmente con el símbolo im por ejemplo: im = 2% mensual Nota: La tasa de interés efectiva considera el interés sobre el interés.
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3. TASA DE INTERES EQUIVALENTE
Las tasas de intereses con diferentes periodos de capitalización (o periodo de interés) son equivalentes si producen el mismo monto compuesto al cabo de un año. 1+ 𝑖 𝑎 1 = 1+ 𝑖 𝑚 𝑚 Donde: ia = tasa de interés anual (ia= % anual) im = tasa de interés por periodo (ejemplo: im = % mensual). m = número de periodos al año (ejemplo: m =12 meses por año). Por lo tanto ia y im son tasas de interés equivalentes (además son tasas de interés efectivas porque se aplica el interés compuesto).
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Calculo de tasa de interés efectiva anual
Usando el concepto de tasa de interés equivalente: Sea: 𝑖 𝑎 1 = 1+ 𝑖 𝑚 𝑚 , entonces 𝑖 𝑎 = 1+ 𝑖 𝑚 𝑚 −1 Ejemplo, si: ia = tasa de interés efectiva anual, capitalizable anualmente. im = 2% mensual (tasa de interés efectiva mensual, capitalizable mensualmente) m = 12 meses (numero de periodos de capitalización mensual por año). Reemplazando: i a = (1+0,02) 12 −1=26,82% anual Luego i = 26,82% (tasa de interés efectivo anual) > r = 24% (tasa de interés nominal anual) Nota: Obsérvese que la tasa de interés nominal ignora el valor del dinero en el tiempo.
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Interés Nominal y Efectivo
Cuando el período de capitalización NO ESTÁ DADO, la tasa de interés es EFECTIVA. Conversión de tasas efectivas Donde: iA = Interés Anual Efectivo iS = Interés Semestral Efectivo iT = Interés Trimestral Efectivo iB = Interés Bimestral Efectivo iM = Interés Mensual Efectivo iD = Interés Diario Efectivo
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Ejercicio: En los siguientes enunciados, indique: Tipo de interés, y el período de capitalización, además calcule el interés efectivo en dicho período. Enunciado Tipo de Interés Periodo Cap. ief del período cap. 10% anual Cap. trimestral Nominal Trimestre 2,5% 5% Semestral Efectivo Semestre 5% 10% anual efectivo Cap. trimestral Efectivo Trimestre 2,411%
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Ejercicio: Determine en cada inciso la tasa efectiva considerando el periodo de capitalización.
a.- 9% anual capitalizado trimestralmente b.- 9% anual capitalizado mensualmente c.- 4.5% por 6 meses capitalizado semanalmente. Solución. r% nominal por t Periodo de Capitalización m Tasa Efectiva por PC 9% anual Trimestre 9 anual Mensual 4.5% Semana 4 2.25% 12 0.75% 26 0.173%
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4. INTERPRETACION DE ENUNCIADOS DE INTERES
A) El periodo de capitalización no esta especificado y no esta especificado el tipo de interés (nominal o efectivo) Enunciado Interpretación Comentario 15% anual i = 15% anual efectivo, capitalizable anualmente. Cuando el periodo de capitalización no esta dado, la tasa de interés es efectiva, con un periodo de tiempo enunciado. 2% mensual i = 2% mensual efectivo, capitalizable mensualmente 3% trimestral i=3% trimestral efectivo, Capitalizable trimestralmente
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4. INTERPRETACION DE ENUNCIADOS DE INTERES
B) El periodo de capitalización esta especificado y es más corto que el periodo de interés establecido y no está especificado el tipo de interés (nominal o efectivo) Enunciado Interpretación Comentario 9% anual, compuesto mensualmente r = 9% nominal anual, capitalizable mensualmente. Cuando el periodo de capitalización está dado sin expresar cual es el tipo de interés (nominal o efectivo), esta se asume como nominal. El periodo de capitalización es el expresado. 15% anual, compuesto semestralmente r = 15% nominal anual, capitalizable semestralmente 6% trimestral, compuesto mensualmente r=6% nominal trimestral, capitalizable mensualmente.
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5. EJEMPLOS DE TIPOS DE INTERES E INTERPRET.
Enunciado del interés Tipo de interés Periodo de capitalización 17% anual compuesto mensualmente Nominal mensualmente 17% anual Efectivo Anualmente 17% efectivo anual compuesto mensualmente Mensualmente 19% anual compuesto trimestralmente Trimestralmente 3% nominal mensual compuesto semanalmente Semanalmente 3% mensual compuesto mensualmente 7% efectivo trimestral 3% efectivo compuesto diariamente Diariamente 1% semanal compuesto continuamente Continuamente 0,2% diario compuesto continuamente 2% mensual
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6. PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN Y PERIODOS DE PAGO
Periodo de capitalización (PC): llamado también periodo de interés o de composición. Es el periodo de tiempo en la cual se aplica el interés. Periodo de pago (PP): Es la frecuencia de pagos o depósitos dentro del intervalo del flujo de caja. Ejemplo: Si una compañía deposita dinero cada mes en una cuenta que paga un interés nominal de 16% anual compuesto semestralmente: El periodo de pago (PP) será de un mes, mientras que el periodo de capitalización (PC) será de 6 meses.
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7. FORMULACIÓN DE LOS TIPOS DE INTERES
Calcule el valor futuro, de un valor presente de $1000, después de un año, utilizando una tasa de interés de 12% anual. Solución: i = 12% anual (tasa de interés efectiva anual, capitalizable anualmente) F = ? P = $1000 n = 1año Por lo tanto:
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7. FORMULACIÓN DE LOS TIPOS DE INTERES
B) Calcule el valor futuro, de un valor presente de $1000, después de un año, utilizando una tasa de interés 12% anual capitalizable semestralmente. Solución: r = 12% anual capitalizable semestralmente (Tasa de interés nominal anual, capitalizable semestralmente) Periodo de capitalización, PC: 01 semestre Frecuencia, m: 02 semestres por año Periodo de tiempo, n: 01año F = ? P = $1000 Por lo tanto: 𝑖= 𝑟 𝑚 = 12% 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜 2 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜 𝑖 𝑠 =6% 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙, 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 i s F=P(1+i)m
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𝑖 𝑎 =(1+ 𝑟 𝑚 )m −1 im= 𝑟 𝑚 1+ 𝑖 𝑎 1 = 1+ 𝑖 𝑚 𝑚
7. FORMULACIÓN DE LOS TIPOS DE INTERES C) Determinación de la Formula que relaciona el interés efectivo y el interés nominal: Por la relación de tasas equivalentes y del concepto de tasa nominal: Se tiene Usándolo para el caso anterior: im= 𝑟 𝑚 1+ 𝑖 𝑎 1 = 1+ 𝑖 𝑚 𝑚 𝑖 𝑎 =(1+ 𝑟 𝑚 )m −1 F = ? P = $1000 N= 1 año r = 12% m = 2 𝑖 𝑎 =( )2 −1 = F = P (1+ia)1 = 1000 ( )1 F = $ 1123,6
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8. TASA DE INTERES EFECTIVA PARA CAPITALIZACIONES CONTINUAS
Como el periodo de interés es demasiado corto, el valor de m (numero de periodos de capitalización por periodo de interés), se incrementa. En la situación donde el interés es compuesto continuamente, m se aproxima al infinito y la formula de tasa de interés efectiva, se debe de escribir de otra manera: Como m→∞ hacemos m = h.r donde h→∞, reemplazando en la ecuación anterior Como el Número neperiano, base del logaritmo natural Se tiene:
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8. TASA DE INTERES EFECTIVA PARA CAPITALIZACIONES CONTINUAS
Ejemplo 1: Determine la tasa de interés efectiva continua si r =17% nominal anual: Ejemplo 2: Calcule las tasas de interés anual y efectiva mensual, para una tasa de interés del 18% anual con composición continua. La tasa mensual nominal es: r = 18% / 12 = 1.5%; (0.015 mensual) la tasa mensual efectiva es: i % mensual = er – 1 = e0.015 – 1 = 1.511% Asimismo, la tasa anual efectiva, utilizando r = 0.18 anual, es: i% anual = er – 1 = e0.18 – 1 = 19.72%
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9. ANALISIS DEL LOS FACTORES DE PAGO UNICO
Requerimientos que deben de cumplir: 1) Debe usarse para i una tasa efectiva. 2) Las unidades de n de deben ser las mismas utilizadas para denominar i Las notación estándar de los factores deben de generalizarse como: P = F (P/F, i efectivo por periodo, numero de periodos) F = P (P/F, i efectivo por periodo, numero de periodos) Ejemplo: r = 12% anual, capitalizable mensualmente Tasa de interés efectivo, n Unidades de n 1% mensual meses 3,03% trimestral Trimestral 6,15% por 6 meses Semestral 12,68% anual Años 26,97% por 2 años Bianual
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EJEMPLOS DE VALORES DE i y n, (PP = PC O PP > PC)
Serie de flujo Tasa Qué encontrar; Notación de efectivo de interés qué está dado estándar $500 semestralmente 16% anual, Encontrar P, P =500(P/A,8%,10) durante 5 años compuesto dado A mensualmente $75 mensualmente 24% anual, Encontrar F, F = 75(F/A,2%,36) durante 3 años compuesto dado A semestralmente $180 trimestralmente 5% trimestral Encontrar F, F = 180(F/A,5%,60) durante 15 años dado A Incremento de 1% mensual Encontrar P, P = 25(P/G,1%,48) $25 mensualmente dado G durante 4 años $50 trimestralmente 1% mensual Encontrar A, A=50(A/P,3.03%,24) durante 6 años dado P
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Ejemplo: Un ingeniero planea pedir un préstamo de $30,000. Deberá pagarlo en 24 pagos mensuales iguales. El banco cobra 1% mensual. Cuánto dinero deberá pagar el ingeniero cada mes? Como el período de interés es igual al período de pago (mes), entonces aplicamos directamente: A = 30000(A/P, 1%, 24) A = $ mensual 93
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Ejemplo Qué es más deseable: 16% anual capitalizado anualmente
15% compuesto mensualmente a) i = r = 16% anual(efectivo) i = (1+0.15/12)^12 -1= % anual(efect) 93
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Ejercicio Un ingeniero deposita S/.10,000 al final de cada año en una cuenta que paga 6% anual capitalizado trimestralmente. Cuánto dinero tendrá dentro de 5 años? Período de pago: anual Período de interés: trimestral i = (1+0.06/4)^4 - 1= 6.136% anual efectiva VF = 10,000(F/A,6.136%,5) VF = S/. 56,524 93
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Ejercicio Si una persona deposita S/.4,200 hoy, S/.12,600 dentro de 4 años y S/.6,300 dentro de 6 años, a una tasa anual de 6% capitalizado semestralmente. Cuánto dinero tendrá dentro de 10 años? Período de pago: anual Período de interés: semestral i = (1+0.06/2)^2 - 1= 6.08% anual efectiva VF=4200(F/P,6.08%,10)+12600(F/P,6.08%,6)+6300(F/P,6.08%,4) VF = S/. 33,531.5 93
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Ejercicio Una persona depositaría cada 3 meses S/.2,250 durante 5 años. Si la tasa anual es de 60% capitalizado semestralmente. Cuál es el valor actual de estos depósitos? Período de pago: trimestral Período de interés: semestral i = 60%/2 = 30 % efectiva semestral A= 2,250 x 2 = 4,500 (pago semestral: 2 trimestres en c/semestre) n = 5 años = 10 semestres VP = 4500(P/A, 30%, 10) = S/. 13,911.75 93
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TASAS DE INTERÉS EN EXCEL
INTERES EFECTIVO: = INT.EFECTIVO(int.nominal;num. períodos al año) = TASA.NOMINAL(interés efectivo;num. períodos) interés efectivo = tasa de interés efectiva anual num. períodos = número de veces que se liquida durante el año. Esta tasa nominal anual, liquidada vencida. 96
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Ejemplo Una tarjeta de crédito con un banco nacional, tiene una tasa de 18% anual con capitalización mensual. Para un retiro en efectivo de $10,000 al principio del año, calcule la tasa anual efectiva y la deuda total al banco después de un año, tomando en cuenta que no se efectúa pago alguno durante el año. Solución: a) F = P x (1 + i)n = x ( )12 = $ 11,956.2 ia = (1 + im)m – 1 = ( )12 – 1 = F = P x (1 + i)n = x ( )1 = $ 11,956.2 F = (F/P,1.5%,12) = 10000(1.1956) = $ 11,956.0 Excel:= -VF(Tasa,Nper, , VA) =VF(1.5%,12, ,-10000) 152
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10. TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Las tasas de interés reales para una corporación varían año con año, dependiendo del estado financiero de la empresa, de su sector en el mercado, de las economías nacional e internacional, de las fuerzas de inflación y de muchos otros factores. Las tasas de préstamo pueden incrementarse de un año a otro, las hipotecas de bienes inmuebles financiadas mediante un interés de tasa ajustable, constituyen un buen ejemplo. La tasa de hipoteca se ajusta ligeramente cada año. Otro ejemplo de tasas de interés que se incrementan con el tiempo son los bonos protegidos contra la inflación, emitidos por el gobierno de Estados Unidos y otras agencias; en estas, la tasa de dividendos permanece constante a lo largo del periodo de vida; sin embargo, a la cantidad principal que se debe al propietario del bono se le aplica un ajuste acorde con el índice de inflación del índice de precios al consumidor (IPC). 96
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10. TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Los valores de P, F y A se calculan utilizando una tasa de interés constante o promedio, durante la vida de un proyecto, las alzas y bajas de i son despreciables. Si la variación de i es grande, los valores equivalentes variarán de manera considerable de aquellos que se calculan mediante la tasa constante, debiéndose ajustar matemáticamente los valores variables de i, y los cálculos resultan más complicados. 96
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10. TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Para definir el valor de P para los valores del flujo de efectivo futuro (Ft) con diferentes valores de i (it) para cada año t, supondremos una composición anual. Sea: it = tasa de interés efectiva anual para el año t (t = años 1 a n) Para determinar el valor presente, se calcula P para cada valor Ft, utilizando la it que aplique y sumando los resultados. De acuerdo con la notación estándar y el factor P/F, P = F1(P/F,i1,1) + F2(P/F,i1,1)(P/F,i2,1) + ··· + Fn(P/F,i1,1)(P/F,i2,1) · · · (P/F,In,1) 96
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10. TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Cuando sólo están involucradas cantidades únicas, es decir, una P y una F en el año final n, el último término de la ecuación es la expresión del valor presente del flujo de efectivo futuro. P = Fn(P/F,i1,1)(P/F,i2,1) · · · (P/F,in,1) Si se requiere la serie uniforme equivalente A durante todos los n años, primero se calcula P con cualquiera de las dos últimas ecuaciones; enseguida se sustituye el símbolo A por cada símbolo Ft. Ya que el valor equivalente P se determinó numéricamente utilizando las tasas variables, esta nueva ecuación sólo tendrá una incógnita, A. 96
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10. TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Se arrienda un equipo pesado para perforación de túneles. Las utilidades netas del equipo para cada uno de los últimos 4 años han ido disminuyendo, como lo indica la siguiente tabla. Ésta, además, incluye las tasas de rendimiento anuales sobre el capital invertido. La tasa de rendimiento se ha ido incrementando. Determine el valor presente P y la serie uniforme equivalente A de la serie de utilidades netas. Tome en cuenta la variación anual de las tasas de rendimiento. Año Utilidad neta $ $ $ $ Tasa anual 7% 7% 9% 10% 96
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10. TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Solución La figura muestra los flujos de efectivo, las tasas de cada año y los valores equivalentes de P y A. Ya que para los años 1 y 2 el rendimiento neto es $70,000 y la tasa anual es 7%, el factor P/A se aplica exclusivamente para estos dos años. Para los años 3 y 4 se usará el facto P/F consecutivamente. 96
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10. TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Solución P = [70(P/A,7%,2) + 35(P/F,7%,2)(P/F,9%,1) + 25(P/F,7%,2)(P/F,9%,1)(P/F, 10%,1)](1 000) P = [70(1.8080) + 35(0.8013) + 25(0.7284)](1 000) = $ 96
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10. TASAS DE INTERÉS QUE VARÍAN CON EL TIEMPO
Solución Para determinar una serie anual equivalente, se sustituye el símbolo A por los valores de utilidad neta en la parte derecha de la ecuación (P) que se iguala a P = $ y se despeja A. Esta ecuación toma en cuenta los valores variables i de cada año. La figura muestra la transformación del diagrama de flujo de efectivo. [70(1.8080) + 35(0.8013) + 25(0.7284)](1 000) = $ = A(1.8080) + A(0.8013) + A(0.7284) = A (3.3377) A = $ anuales 96
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FIN DE LA PRIMERA UNIDAD
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