LA ESTIMACIÓN CON CAMBIO DE SOPORTE

LA ESTIMACIÓN CON CAMBIO DE SOPORTE
Índice Introducción Modelo multigaussiano; integración de Monte Carlo Modelo gaussiano discreto Estimación global Estimación local

INTRODUCCIÓN

MODELOS DE INCERTIDUMBRE LOCAL
El kriging busca estimar el valor de una variable regionalizada en un sitio no muestreado del espacio. Los modelos de incertidumbre buscan caracterizar el valor desconocido por una distribución de probabilidad, lo cual constituye una información más completa que una estimación. Se debe distinguir: un marco global: describe la distribución a priori de los valores de la variable regionalizada, sin tomar en cuenta la existencia de datos cercanos un marco local (a posteriori o condicional): describe el conocimiento o la incertidumbre que tenemos sobre la variable lejos de los datos: distribución a posteriori = distribución a priori en un sitio con dato: no hay incertidumbre en un sitio cercano a un dato: la distribución a posteriori tiene menos dispersión que la distribución a priori

EJEMPLO: MODELO MULTIGAUSSIANO
En este modelo, la distribución a priori de los datos (una vez transformados) es una Gaussiana estandarizada, i.e. de media 0 y varianza 1. La distribución a posteriori en un sitio dado del espacio sigue siendo Gaussiana, de media igual al kriging simple a partir de los datos Gaussianos y de varianza igual a la varianza de kriging simple  modelo muy sencillo y matemáticamente consistente  verificar que los datos se conforman con la hipótesis multigaussiana, o al menos bigaussiana (ej.: estudio de las nubes de correlación diferida, del madograma, de los variogramas de indicadores)  tal como se definió más arriba, el modelo multigaussiano caracteriza la incertidumbre en cada punto del espacio por separado: ¿cómo extenderlo para modelar la incertidumbre conjunta de todos los puntos de un mismo bloque? (en vista de tomar en cuenta un cambio de soporte)

CAMBIO DE SOPORTE (1) Consideramos el valor regularizado de una variable regionalizada (ej: ley de cobre) sobre un bloque particular v, la cual se define como: donde |v| representa el volumen del bloque v Nos interesa estimar una función de Zv, por ejemplo la probabilidad que supere una ley de corte económica dada o la cantidad esperada de metal sobre esta ley de corte (funciones de “transfer” o de “recuperación”)  estimar la distribución de probabilidad de Zv condicional a los datos

CAMBIO DE SOPORTE (2) La distribución de una variable regionalizada depende del soporte en el cual se mide: este efecto de soporte tiene que ser tomado en cuenta al momento de estimar funciones de recuperación de las unidades de selección minera, puesto que los datos disponibles (testigos de sondajes, pozos de tronadura) están definidos en un soporte “puntual”  la media no depende del soporte  la varianza disminuye al aumentar el soporte  el histograma cambia de forma (se simetriza)

MODELO MULTIGAUSSIANO

HIPÓTESIS 1) La variable original Zx se puede transformar en una variable Gaussiana Yx: donde f es la función de transformación o función de anamorfosis Gaussiana 2) La variable transformada Yx tiene una distribución multigaussiana (es decir, toda combinación lineal de sus valores sigue una distribución normal). 3) Yx es estacionaria, de media 0, varianza 1 y correlograma r(x,y) = r(x – y) 4) Los valores de Yx se conocen en los sitios de muestreo {xa, a = 1... n}

DISCRETIZACIÓN DEL BLOQUE
Se aproxima el valor del bloque v por el promedio aritmético de M puntos {u1,… uM} que discretizan este bloque: Cualquier función del valor de bloque es entonces una función de un vector aleatorio Gaussiano con M componentes correlacionadas. El problema del cambio de soporte equivale en estimar una función multivariable j(Y), donde

ESPERANZA CONDICIONAL DE UN VECTOR GAUSSIANO (1)
Bajo la hipótesis multigaussiana para {Yx, x  Rd}, la distribución del vector Y conditional a los datos en los sitios {xa, a = 1… n} sigue siendo Gaussiana, luego se caracteriza por sus momentos de orden 1 y 2: la media es el kriging simple YKS de Y, cuyas componentes son: Los ponderadores de kriging se calculan via el siguiente sistema:

la matriz de varianza-covarianza es aquella de los errores de kriging simple SKS; el término genérico de esta matriz es (i = 1… M, j = 1… M): Esta matriz es definida y de tipo positivo, por ende se puede escribir como el cuadrado de otra matriz definida y de tipo positivo (caso particular de la descomposición de Cholewski):

Finalmente, uno tiene: donde T es un vector Gaussiano, con componentes independientes entre sí e independientes de YSK. La esperanza condicional de una función j(Y) se define como el valor esperado de la distribución condicional de j(Y): donde g(.) es la densidad de probabilidad a priori de T

INTEGRACIÓN DE MONTE-CARLO
En la práctica, la integral se calcula numéricamente al sortear numerosas realizaciones independientes de T, {t1,… tN}, y promediar los resultados obtenidos en cada realización:

APLICACIÓN: DATOS DE ANDINA (1)

Se busca estimar la cantidad de metal sobre una ley de corte de 0.5% Cu, con unidades de selección de tamaño 10m × 10m × 12m:

VENTAJAS E INCONVENIENTES
Pros modelo teóricamente coherente (salvo por la discretización del bloque en varios puntos) requiere pocas hipótesis y es fácil de aplicar se puede extender al análisis de variables no aditivas el principio de la integración de Monte-Carlo es el que rige la teoría de las simulaciones geoestadísticas Contras los tiempos de cálculo son importantes se basa en una hipótesis de estacionaridad estricta no se tiene una varianza de estimación

REFERENCIAS Verly G (1983) The multigaussian approach and its application to the estimation of local reserves. Mathematical Geology, vol. 15, no. 2, p Verly G (1984) The block distribution given a point multivariate normal distribution. In: Verly G, David M, Journel AG, Maréchal A (eds) Geostatistics for Natural Resources Characterization. Reidel, Dordrecht, p Verly G (1986) Multigaussian kriging – a complete case study. In: Ramani RV (ed) Proceedings of the 19th APCOM International Symposium. Society of Mining Engineers, Littleton, Colorado, p

MODELO GAUSSIANO DISCRETO (ESTIMACIÓN GLOBAL)

HIPÓTESIS (1) El espacio se considera como la reunión de bloques que no traslapan y que son idénticos salvo por una traslación. La posición de cada muestra puntual se considera como aleatoria uniforme dentro del bloque al cual pertenece. Esta aleatorización pierde la información sobre la posición exacta de las muestras dentro de los bloques, por lo cual el modelo debe usarse para bloques no demasiado grandes. En adelante, se denota con x las posiciones aleatorias en los bloques.

muestras aleatorizadas dentro de los bloques
HIPÓTESIS (2) dominio muestras aleatorizadas dentro de los bloques bloques

HIPÓTESIS (3) 1) La variable puntual Zx se puede transformar en una variable Gaussiana Yx: donde f es la función de transformación puntual 2) La variable regularizada Zv también se puede transformar en una variable Gaussiana Yv: donde fv es la función de transformación de bloques

HIPÓTESIS (4) 3) Si x pertenece al bloque v, el par {Yx,Yv} es bigaussiano, con coeficiente de correlación r (coeficiente de cambio de soporte). Esto implica: donde T es una variable aleatoria Gaussiana independiente de Yv

HIPÓTESIS (5)

RELACIÓN ENTRE LAS FUNCIONES DE TRANSFORMACIÓN PUNTUAL Y DE BLOQUES (1)
El modelo Gaussiano discreto se construye de modo de satisfacer la relación de Cartier, que estipula que el valor esperado de una muestra tomada al azar dentro de un bloque cuyo valor es conocido, es igual al valor del bloque:

En base a lo anterior, la relación de Cartier se escribe Esta formula relaciona las funciones de transformación de las muestras y de los bloques, o sea, las distribuciones marginales de las variables originales en ambos soportes. También demuestra que el coeficiente de correlación r debe ser positivo, para que ambas funciones de transformación sean crecientes

En la práctica, se usa una familia de polinomios conocidos como polinomios de Hermite En particular, se tiene:

Los polinomios de Hermite son ortonormales para las distribuciones Gaussiana y bigaussiana: si Y es una variable Gaussiana estandarizada si {Y,Y′} es un par bigaussiano de coeficiente de correlación r

Se desarrolla la función de transformación puntual en polinomios de Hermite Se demuestra que la función de transformación de bloques se escribe: Falta especificar el coeficiente de cambio de soporte (r) para determinar por completo la distribución de los bloques.

Ejemplo: distribución lognormal La función de transformación puntual es una exponencial: Se demuestra que la función de transformación de los bloques también es una exponencial, de misma media aritmética y menor varianza logarítmica: En este caso, el modelo Gaussiano discreto coincide con la corrección lognormal, que postula la conservación de la lognormalidad al cambiar el soporte.

CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CAMBIO DE SOPORTE (1)
La varianza de los bloques se puede calcular de dos maneras: por medio del desarrollo de la función de transformación en polinomios de Hermite por medio del modelo variográfico de la variable original:

CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CAMBIO DE SOPORTE (2)
Determinación gráfica del coeficiente de cambio de soporte

APLICACIÓN A LOS DATOS DE ANDINA (1)
paso 1: modelar la función de transformación en polinomios de Hermite modelo con 40 polinomios

paso 2: modelar el variograma de las leyes de cobre

paso 3: asegurar la coherencia entre la función de transformación y el modelo de variograma varianza puntual: meseta del variograma: g() = 0.46  se estandariza el variograma en torno a una meseta de 0.35

paso 4: calcular la varianza de bloques gracias al variograma corregido varianza de bloques: paso 5: deducir el valor del coeficiente de cambio de soporte r = 0.86

Se puede determinar la distribución de probabilidad de los valores de bloques, luego las curvas tonelaje-ley y calcular parámetros tales como el tonelaje, la ley media o la cantidad de metal sobre una ley de corte.

ley de corte = 0.5% Cu tonelaje ley media muestras 74.8% 1.06 %Cu bloques 81.3% 1.01 %Cu

PROS Y CONTRAS DEL MODELO
Ventajas del modelo Gaussiano discreto modelo sencillo modelo matemáticamente coherente (respeta la conservación de la media, la disminución de la varianza y la relación de Cartier) compatible con el teorema del límite central las hipótesis en las cuales se basa son poco restrictivas Inconvenientes el modelo carece de flexibilidad

REFERENCIAS Chilès JP, Delfiner P (1999) Geostatistics: modeling spatial uncertainty. Wiley, New York, 696 p Demange C, Lajaunie C, Lantuéjoul C, Rivoirard J (1987) Global recoverable reserves: testing various change of support models on uranium data. In: Armstrong M, Matheron G (eds) Geostatistical Case Studies. Reidel, Dordrecht, p Maréchal A Gaussian anamorphosis models. Unpublished note, 22 p Rivoirard J (1994) Introduction to disjunctive kriging and non-linear geostatistics. Clarendon Press, Oxford, 181 p

MODELO GAUSSIANO DISCRETO (ESTIMACIÓN LOCAL)

HIPÓTESIS Se hace la hipótesis más fuerte de que todo conjunto de valores de {Yx, x  Rd} e Yv tiene una distribución multigaussiana

PARÁMETROS DEL MODELO (1)
El modelo local se caracteriza por la función de transformación puntual f el coeficiente de cambio de soporte r los correlogramas simples y cruzados de las variables Gaussianas:

Debido a la aleatorización de las muestras dentro de los bloques, se establece las siguientes relaciones: Con respecto al modelo global, sólo falta especificar uno de los correlogramas de las variables Gaussianas, por ejemplo el correlograma de la Gaussiana de los bloques r(v,v′)

En la práctica, se trabaja de la siguiente manera: análisis variográfico de los datos originales (Zx) regularización y obtención del variograma de Zv paso al espacio Gaussiano, obtención del variograma de Yv (calculado de manera discreta a lo largo de algunas direcciones del espacio). La fórmula que relaciona los variogramas de Zv e Yv se obtiene al desarrollar Zv en polinomios de Hermite modelamiento de este último variograma, como si fuera un variograma “experimental”

ESPERANZA CONDICIONAL (1)
Dado un conjunto de datos puntuales en los sitios {xa, a = 1… n}, la distribución condicional de Yv es Gaussiana, con media igual a su kriging simple (YvKS) a partir de los datos y varianza la varianza de kriging simple (svKS)2 La distribución a posteriori de Yv es: La esperanza condicional de una función j(Yv) se define como:

El sistema de kriging simple es el siguiente: con

La fórmula de la esperanza condicional se puede expresar bajo la forma de una serie, utilizando al desarrollo de la función j en polinomios de Hermite: También se obtiene la varianza de estimación:

EJEMPLO: KRIGING LOGNORMAL (1)
Supongamos que la función j a estimar sea una exponencial (estimación de una variable lognormal): En este caso, la esperanza condicional se simplifica en: Tal estimador ha sido llamado “kriging lognormal simple”. No se trata de un kriging clásico (combinación lineal de los datos), sino que de una función más compleja de los datos.

EJEMPLO: KRIGING LOGNORMAL (2)
Una generalización consiste en utilizar un kriging ordinario en lugar de uno simple, lo cual da más robustez al estimador frente a cambios en el valor de la media local: donde es la varianza del kriging ordinario de ln(Zv) m es el multiplicador de Lagrange introducido en el sistema de kriging Este estimador no tiene sesgo cualquiera sea la media (desconocida) de mZ. Sin embargo, es sensible a la hipótesis de lognormalidad.

Primera etapa: análisis variográfico Las direcciones principales de anisotropía son la vertical y el plano horizontal variograma de los datos iniciales (Zx: leyes de cobre) normalizado en torno a la varianza calculada por la función de transformación

variograma de los datos regularizados (Zv: leyes de cobre) en los bloques de 10m × 10m × 12m

variograma de los datos transformados (Yv: Gaussiana de bloques) covarianza de los datos regularizados coeficientes de Hermite de la función de transformación f covarianza de los datos transformados

variograma modelado de los datos transformados (Yv: Gaussiana de bloques)

Segunda etapa: estimación de la cantidad de metal sobre una ley de corte de 0.5% Cu, con unidades de selección de tamaño 10m × 10m × 12m:

PROS Y CONTRAS DEL MODELO GAUSSIANO DISCRETO LOCAL
1) Modelo fácil de aplicar, consistente, que requiere pocos tiempos de cálculo 2) Existen varias extensiones: simulación de los valores de bloques otros métodos de estimación: kriging disyuntivo, condicionamiento uniforme se adapta al modelamiento del efecto de información 3) No se debe utilizar cuando la variable transformada Yx tiene una distribución espacial muy distinta a la distribución multigaussiana 4) Tampoco funciona muy bien cuando el cambio de soporte es muy importante o cuando la variable original tiene un “efecto cero” (i.e. histograma con una alta proporción de valores nulos)

REFERENCIAS Chilès JP, Delfiner P (1999) Geostatistics: modeling spatial uncertainty. Wiley, New York, 696 p Guibal D, Remacre AZ (1984) Local estimation of the recoverable reserves: comparing various methods with the reality on a porphyry copper deposit. In: Verly G, David M, Journel AG, Maréchal A (eds) Geostatistics for Natural Resources Characterization. Reidel, Dordrecht, p Maréchal A (1976) The practice of transfer functions: numerical methods and their application. In: Guarascio M, David M, Huijbregts CJ (eds) Advanced Geostatistics in the Mining Industry. Reidel, Dordrecht, p Rivoirard J (1994) Introduction to disjunctive kriging and non-linear geostatistics. Clarendon Press, Oxford, 181 p

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