Lógica Proposicional.

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1 Lógica Proposicional

2 El objetivo de la lógica es estudiar la validez de los razonamientos.
Es probable que en el siglo IV antes de la Era Común, se iniciara con Aristóteles el estudio de la Lógica; pero no fue hasta a mediados del siglo XIX cuando George Boole ( ) inicia el estudio de lo que hoy se conoce como Lógica Matemática. Uno de los fines de la enseñanza matemática es disciplinar la inteligencia, de ahí el valor formativo de esta ciencia ya que necesita de exactitud y precisión en sus razonamientos. La inteligencia se disciplina a través de un tipo especial de pensamiento que es el razonamiento. El objetivo de la lógica es estudiar la validez de los razonamientos.

3 La validez de la lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una serie de símbolos matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados. Por medio de un enunciado con sentido podemos emitir un juicio (actividad mental por medio de lo cual pensamos algo) o un razonamiento (evaluación mental por medio de lo cual obtenemos conclusiones).

4 Concepto de la Lógica: La lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una serie de símbolos matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados. Para su estudio, se divide en: Lógica Formal, Lógica Aplicada y Lógica Simbólica. Lógica Formal: es la parte de la filosofía que estudia las formas y leyes generales del pensamiento tendiente al conocimiento de la verdad y el error.

5 Lógica Aplicada: es la que estudia las formas o estructura del pensamiento adaptándose al objeto de su estudio de las distintas ciencias. Lógica Simbólica: es la que estudia sistemáticamente las proposiciones, los razonamientos y las demostraciones para lo cual utiliza un lenguaje constituido por símbolos convencionales que representan estructuras. La lógica simbólica es aquella que se refiere a las proposiciones y que también se conoce con el nombre de CALCULO PROPOSICIONAL.

6 Sistemas de Deducción Natural
Introducidos por Gentzen en 1935, estos sistemas deductivos se refieren al hecho de moldear de manera tan cercana como sea posible el razonamiento humano, o al menos al razonamiento matemático hecho por personas mediante distintos juicios. Un enunciado: es un conjunto de símbolos por medio de los cuales expresamos lo pensado en un juicio, ya sea en forma oral o escrita. Un enunciado es una proposición.

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8 Proposición: Son aquellos enunciados afirmativos del cual se sabe que tiene dos valores de la verdad: verdadero o falso. Por ejemplo: 3 es un numero par, su valor de verdad es F 45 – 8 = 8, su valor de verdad es F 45 x 2 = 90, se valor de verdad es V

9 Proposiciones Ambiguas
Son aquellas proposiciones en las que su verdad o falsedad no puede ser establecida. Ejemplos: ¿Qué es la lógica? Debemos honrar a nuestros héroes. Sea en hora buena. ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería

10 Enunciados NO proposiciones:
Se llama así a aquellas expresiones o enunciados exclamativos, interrogativos y desiderativos. De estos no se puede saber si son verdaderos o falsos, porque no afirman ni niegan nada. Por ejemplo: • ¡Uff, que calor! • ¿están cansados? • Escriban rápido

11 Proposiciones abiertas
Se llama así a aquellos enunciados que contienen una o más variables. Estas no pueden ser ni verdaderos ni falsos, ya que no afirman nada. Ejemplos: • X es la capital de Uruguay • X es un planeta del sistema solar • x -13 = 28 • 2x-7 > 25 • X es una vocal Sin embargo estos enunciados abiertos se pueden convertir en proposiciones verdaderas o falsas - ¿cómo? – reemplazando la variable o variables por un nombre, palabra, número, letra o cualquier símbolo, según sea el caso.

12 Así del primer ejemplo tenemos:
• X es la capital de Uruguay Si X=Buenos Aires entonces la expresión se lee: “Buenos Aires es la capital de Uruguay” Se observa el enunciado abierto se convirtió en una proposición falsa. Proposiciones Simples también llamadas atómicas o elementales: Es el que no tiene otro enunciado como parte componente. Ejemplo: “dos al cubo es igual a 8”.

13  Proposiciones compuestos también llamadas proposiciones moleculares o coligativas:
Un enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente. son las que constan de dos o más proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades lógicas llamadas conectivas lógicas.  Las proposiciones se representan por las letras minúsculas: p, q, r, s, t, .... Pero también se usa la notación: p1, p2, p3, p4, p5

14 Conectivas Lógicas Las Conectivas Lógicas son aquellas que sirven para formar proposiciones compuestas. Simbólicamente las conectivas lógicas se representan del modo siguiente:

15 Clasificación de las proposiciones compuestas
La negación: la conectiva “no” es la que se antepone a una proposición para cambiar su valor de verdad y se representa por el símbolo “” o bien “” o bien “’”. La conjunción: es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos proposiciones simples unidas o entrelazadas mediante el conectivo “y”, y se representa con el símbolo: “” La disyunción Inclusiva: es una proposición compuesta de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógico “o”, que se representa de la manera siguiente “”.

16 La disyunción Exclusiva: es una proposición compuesta por dos proposiciones simples entrelazadas por el conectivo “O…o” y se representa así: “V”. La condicional o Implicación: es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva “si…entonces”, que se representa de la siguiente forma: “”. La proposición que aparece entre las palabras “Si y Entonces”, se denomina antecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra “Entonces”, se le llama consecuente o conclusión. La Bicondicional o Doble implicación: es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo “si y solo si” y se representa así: “”.

17 Reglas de simbolización
Reglas de simbolización 1) Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se sustituirá por variables proposicionales simbolizadas por letras minúsculas: p, q, r, s, t, … z 2) Las expresiones de lenguaje natural tales como: No No es cierto No es el caso que Es falso Es imposible Y todas aquellas que sean equivalentes, se sustituirán por el símbolo: ,  , ‘ ,

18 3) Las expresiones del lenguaje natural tales como:
Y Ni Pero Que Mas Y todas las que sean equivalentes, se sustituyen por el símbolo  (conjunción). 4) Las expresiones de lenguaje natural tales como: o …o bien …bien ya … ya y sus equivalentes se sustituyen por el símbolo  (disyunción). 

19 Y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo  (condicional).
5) Las expresiones naturales tales como: Si … entonces Luego… Por tanto Por consiguiente Con tal que Se infiere Se deduce No … a menos que … Y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo  (condicional).

20 Y sus equivalencias se sustituirán por el símbolo  (Bicondicional).
6) Las expresiones del lenguaje natural tales como: …. Si y solo si…. …. Equivale a …. …. Es igual a …. …. Es lo mismo que …. Y sus equivalencias se sustituirán por el símbolo  (Bicondicional).

21 Otras formas gramaticales de una disyunción serán:
p a menos que q p salvo que q p excepto q p o de lo contrario q p o en tal sentido q p y/o q

22 Otras formas gramaticales de la conjunción serán:
p y q p no obstante q p además q p sin embargo q p cada vez que q p pero q No solo p también q p del mismo modo q p pero, aunque q p así como q p incluso, inclusive, tal como, al igual que q p así mismo q p ambos a la vez p y q Sin p tampoco puede haber q Tanto p como q Cierto es que p lo mismo que q Es compatible p con q Siempre ambos p con q p simultáneamente q p más, al mismo tiempo q 

23 Otras formas gramaticales a la condicional serán:
Siempre…… Por consiguiente … Con tal de que…… Es obvio … Cuando …. Así pues … Cada vez que … En consecuencia … Cada vez… Consiguientemente Con que … En este caso … En el caso de que … Esto trae consigo … A condición de que … Por eso… Dado que… Según lo cual … Como quiera que … Por lo cual … En la medida en que … De allí que … En cuanto … Por tanto …

24 Uso de paréntesis 1) No se utilizan paréntesis en aquellos casos en que los conectores afecten a enunciados simples o atómicos. 2) Se utiliza paréntesis cuando el conector afecte a toda una conjunción, disyunción condicional o bicondicional. 3) Se utiliza el paréntesis en las expresiones conjuntivas y disyuntivas precedidas o seguidas de un condicionador o bicondicionador. bicondicionador que son las conectivas fuertes.

25 4) Se utiliza el paréntesis en las expresiones que nos interese precisar la dominancia del conector, o bien porque los conectores posean la misma dominancia –como es el caso del conjuntador y el disyuntor que son idempotentes –o bien porque el sentido de la expresión exige la alteración de la dominancia de las conectivas fuentes –el condicionador y el el bicondicionador que son las conectivas fuertes.

26 Valor de verdad de las proposiciones compuestas y su tabla de verdad

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29 Concepto de Tautología
Una proposición compuesta es lógicamente verdadera o tautológica cuando es verdadera siempre, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman. Ejemplo:

30 Concepto de Contradicción
La contradicción: es una proposición compuesta que es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la formen. Ejemplo:

31 Concepto de contingencia
La contingencia: es la combinación de la tautología y la contradicción. Ejemplo: