LA COVARIANZA Y EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE PEARSON

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1 LA COVARIANZA Y EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE PEARSON

2 Introducción Hasta ahora nos hemos centrado en medidas de tendencia central, variabilidad, asimetría y curtosis de una única variable. No obstante, en la práctica es común examinar dos o más variables conjuntamente (v.g., relación entre inteligencia y rendimiento) En este particular nos centraremos en la relación entre dos variables (a partir de n observaciones apareadas) y calcularemos (en especial) un índice que nos dará el grado de relación/asociación entre ambas variables: el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

3 Representación gráfica de una relación
rendimiento rendimiento rendimiento inteligencia inteligencia inteligencia Relación lineal negativa Sin relación Relación lineal positiva El coeficiente de correlación de Pearson mide relación LINEAL.

4 Representación gráfica de una relación
rendimiento rendimiento inteligencia inteligencia Relación no lineal Relación lineal El coeficiente de correlación de Pearson mide relación LINEAL.

5 Representación gráfica de una relación
rendimiento rendimiento rendimiento inteligencia inteligencia inteligencia Relación lineal casi perfecta Relación lineal moderada a fuerte Relación lineal débil Ahora necesitamos un coeficiente que nos informe tanto del grado en que X e Y están relacionadas así como si la relación es positiva o negativa

6 Covarianza y coeficiente de correlación lineal de Pearson
Observa que cuando la relación lineal es positiva, las puntuaciones diferenciales de X son positivas, las puntuaciones diferenciales de Y suelen ser positivas. rendimiento Caso 1 inteligencia Observa que cuando la relación lineal es negativa, las puntuaciones diferenciales de X son positivas, las puntuaciones diferenciales de Y suelen ser negativas. rendimiento Caso 2 inteligencia

7 Covarianza La covarianza aprovecha esta característica señalada en la lámina anterior al emplear el producto de las puntuaciones diferencias de X e Y. He aquí la fórmula: En el caso 1, la covarianza será un valor positivo, y en el caso 2, la covarianza será un valor negativo. Por tanto la covarianza nos da una idea de si la relación entre X e Y es positiva o negativa,es decir directa o inversa. Problema: La covarianza no es un índice acotado (v.g., cómo interpretar una covarianza de 6 en términos del grado de asociación) y no tiene en cuenta la variabilidad de las variables. Por eso se emplea el siguiente índice.

8 Coeficiente de correlación lineal de Pearson
El coeficiente de correlación lineal de Pearson parte de la covarianza: Ahora veremos varias propiedades del índice.

9 Coeficiente de correlación lineal de Pearson
Propiedad 1. El coeficiente de correlación lineal de Pearson no puede valer menos de -1 ni más de +1. Un valor de correlación de Pearson de -1 indica una relación lineal negativa perfecta Un valor de correlación de Pearson de +1 indica una relación lineal positiva perfecta. Un valor de correlación de Pearson de 0 indica ausencia de relación lineal. Observa que un valor cercano a 0 no implica que no haya algún tipo de relación no lineal: el coeficiente de Pearson mide relación lineal.

10 Coeficiente de correlación lineal de Pearson
Propiedad 2. El coeficiente de correlación lineal de Pearson (en valor absoluto) no varía cuando se transforman linealmente las variables. Por ejemplo, la correlación de Pearson entre la temperatura en grados Celsius y el nivel de depresión, es la misma que la correlación entre la temperatura en grados Fahrenheit y el nivel de depresión. Evidentemente, el coeficiente de correlación lineal de Pearson es el mismo entre las puntaciones directas de X e Y o entre las puntuaciones diferenciales de X e Y o entre las puntuaciones típicas de X e Y. Recuerda que las puntuaciones diferenciales y las puntuaciones típicas son transformaciones lineales de las puntuaciones directas.

11 Coeficiente de correlación lineal de Pearson
Interpretación Hemos de tener en cuenta qué es lo que estamos midiendo para poder interpretar cuán fuerte es la relación entre las variables involucradas. En muchos casos, depende del área en estudio. En todo caso, es muy importante efectuar el diagrama de dispersión. Por ejemplo, en el caso de la izquierda, es claro que no hay relación entre inteligencia y rendimiento. Sin embargo, si calculamos el coeficiente de correlación lineal de Pearson nos dará un valor muy elevado, causado por la puntuación atípica en la esquina superior derecha. rendimiento inteligencia

12 Coeficiente de correlación lineal de Pearson
Interpretación Es importante indicar que “CORRELACIÓN NO IMPLICA RELACIÓN CAUSAL”. El que dos variables estén altamente correlaciones no implica que X causa Y ni que Y causa X. Esa es una de las razones empleadas por las tabaqueras en el tema de la correlación entre cáncer de pulmón y el hecho de fumar.

13 Coeficiente de correlación lineal de Pearson
Interpretación Es importante indicar que el coeficiente de correlación LINEAL de Pearson puede verse afectado por la influencia de terceras variables. Por ejemplo, si fuésemos a un colegio y medimos la estatura y pasamos una prueba de habilidad verbal, saldrá que los más altos también tienen más habilidad verbal.Claro, eso puede ser debido simplemente a que en el colegio los niños más altos serán mayores en edad que los más bajos. Si se parcializa esta “tercera” variable mediante “correlación parcial”, difícilmente habrá una relación de importancia entre estatura y habilidad numérica. Hay muchos casos en que es la tercera variable la causante de una alta relación entre X e Y y ello muchas veces es difícil de identificar.Relación concomitante. 14 a Habilidad numérica 12 a 10 a 8 a 6 años Estatura

14 Coeficiente de correlación lineal de Pearson
Interpretación Por otra parte, el valor del coeficiente de correlación lineal de Pearson depende en parte de la variabilidad del grupo. Si calculamos el coeficiente de correlación lineal de Pearson entre inteligencia y rendimiento con todos los sujetos, el valor del coeficiente de Pearson será bastante elevado.Sin embargo, si empleamos únicamente los individuos con C I bajo (o C I alto) y calculamos la correlación con rendimiendo, el valor del coeficiente de Pearson será claramente menor. Rendimiento Un grupo heterogéneo daría un mayor grado de relación entre variables que un grupo homogéneo. CI bajo CI alto inteligencia

15 Otros coeficientes: variables cualitativas
Claro está, es posible obtener medidas del grado de relación de variables cuando éstas no sean cuantitativas. El caso en que las variables X e Y sean ordinales Recuerda, cuando tenemos variables con escala ordinal, podemos establecer el orden entre los valores, pero no sabemos las distancias entre los valores. Si supiéramos la distancia entre los valores ya estaríamos al menos en una escala de intervalo. Podemos calcular el coeficiente de correlación por rango de Spearman

16 Coeficiente de correlación por rango de Spearman
Lo que tenemos ahora son dos sucesiones de valores ordinales. El coeficiente de Spearman es un caso especial del coeficiente de correlación lineal de Pearson aplicado a dos series de los n primeros números naturales es la diferencia entre el valor ordinal en X y el valor ordinal en Y del sujeto i

17 Coeficiente de correlación por rango de Spearman: propiedades
Primera. Se encuentra acotado, como el coeficiente de correlación lineal de Pearson entre -1 y +1. Un coeficiente de Spearman de +1 quiere decir que el que es primero en X es primero en Y, el que es segundo en X es segundo en Y, etc. Un coeficiente de Sperman de -1 quiere decir que el que es primero en X es último en Y, el segundo en X es el penúltimo en Y, etc. Segunda. Su cálculo es muy sencillo, más que el coeficiente de correlación lineal de Pearson. No obstante, con los ordenadores y un programa estadístico, esto es irrelevante en estos días.

18 Variables cualitativas
Variables cualitativas. Prueba c2 como medida de asociación y como prueba de contraste La prueba chi-cuadrado es una prueba no paramétrica que se emplea para medir la asociación entre dos variables cuando tenemos tablas de contingencia. También es empleada, de manera general, para evaluar la divergencia entre unas puntuaciones observadas (empíricas) y unas puntuaciones esperadas (teóricas). De manera general, el estadístico chi-cuadrado se obtiene así: Donde fe representa las frecuencias observadas o empíricas y ft representa las frecuencias esperadas o teóricas

19 Prueba c2 como medida de asociación: El caso de independencia de dos variables cualitativas
Las frecuencias observadas o empíricas son las que tenemos en la tabla de contingencia. Ahora bien, ¿cómo determinar las frecuencias esperadas o teóricas?. Tal proceso es simple: Si ambas variables son independientes, la frecuencia esperada o teórica de cada casilla será el resultado de multiplicar la suma de frecuencias de la fila por la suma de frecuencia de la columna respectivas y ese resultado se divide por N.

20 Prueba c2 como medida de asociación
Prueba c2 como medida de asociación. Coeficientes derivados e interpretación A partir de la prueba chi-cuadrado, se han propuesto ciertas medidas de asociación entre variables cuando tenemos frecuencias en tablas de contingencia. Se busca por lo tanto cuantificar la fuerza de la relación entre dos variables. En caso de tener tablas 2x2: Coeficiente phi Este índice se interpreta de manera análoga al coeficiente de correlación lineal de Pearson (observa que phi no puede ser negativo,sólo de 0 a 1)

21 Prueba c2 como medida de asociación: Coeficientes derivados e interpretación
En caso de tener más de dos filas o columnas: Prueba de Cramer m es el número menor entre el número de filas - 1 y columnas - 1 Este coeficiente se interpreta análogamente al de correlación lineal de Pearson (excepto por el tema del signo). Observa que si la tabla es 2x2 este coeficiente coincide con el phi