CONTINUIDAD Y DERIVADAS

Presentación del tema: "CONTINUIDAD Y DERIVADAS"— Transcripción de la presentación:

1 CONTINUIDAD Y DERIVADAS
U.D * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. 1 1

2 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
U.D * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS. 2 2

3 Incremento de una función
Sea la función f(x) = x  Verde Sea la función g(x) = x2  Rojo Ambas funciones presentan el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 4 Δy = g(2) – g(0) = 22 – 0 = 4 Sin embargo g(x) ha crecido mucho más deprisa que f(x), su crecimiento medio es mayor: En f(x): Δy / Δx = 4 / 4 = 1 En g(x): Δy / Δx = 4 / 2 = 2 Su crecimiento medio es el doble. y 4 g(x) f(x) x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

4 TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Dada una función f definida en un intervalo [a,b], se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA de la función f en [ a,b ] al cociente: f (b) - f(a) TVM = b - a Como se observa en el valor de la TVM no influye el comportamiento de la función a lo largo del intervalo. Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. b – a es la variación o incremento de x, Δx. f(b) – f(a) es la variación o incremento de f(x), Δf(x) o Δy. TVM = Δy / Δx = m , pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (b, f(b)). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

5 Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.
EJEMPLO 1 Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la TVM de la función en: [-4,-2], [0,2] y [-1, 1] En [-4,-2] f (- 4) - f(-2) TVM = = = 24 - 4 – (-2) En [0, 2] f (2) – f (0) TVM = = = 0 2 – En [-1, 1] f (1) – f (-1) TVM = = = - 3 1 – (-1) y=f(x) x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

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EJEMPLO 2 La distancia recorrida por un móvil en los 7 primeros segundos tras ponerse en marcha viene dada por la función: f(t) = t2 + 2.t Halla la TVM de la función en el intervalo [2, 5]. ¿ Qué significado físico tiene?. En [2 , 5] f (5) – f(2) ( ) – (4+4) – TVM = = = = = 9 5 – Significa la velocidad media en dicho intervalo: 9 m/s. En [6, 7] f (7) – f (6) (49+14) – (36+12) – 48 TVM = = = = 15 7 – En el último segundo su velocidad media es de 15 m/s @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

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PUNTUALIZACIONES PRÁCTICAS Hemos dicho que la TASA DE VARIACIÓN MEDIA es: f (b) – f (a) TVM = b - a Cuando el intervalo [a, b] es reducido, se suele indicar de esta manera: f (a + h) – f (a) TVM = h Ahora b = a + h b – a = h es la variación o incremento de x, Δx. f (a + h) – f (a) es la variación o incremento de f (x), Δ f (x) o Δy. TVM = Δy / h = m , pendiente del segmento que une los extremos de la función, o sea (a, f(a)) con (a+h, f(a+h)). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

8 Incremento de una función
Sea la función f(x) = x / 2  Verde Sea la función g(x) = x2/ 8  Rojo Sea la función h(x) = √x  Azul Ambas funciones presentan en el intervalo cerrado [0, 4] la misma TVM al tener el mismo incremento de la función: Δy = f(4) – f(0) = 2 Δy = g(4) – g(0) = 2 Δy = h(4) – h(0) = 2 TVM = 2 / 4 = 0’50 Sin embargo está muy claro que su comportamiento en dicho intervalo es muy diferente. y 2 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

9 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA
Pueden existir diversas funciones que tengan la misma TVM en el mismo intervalo. Es necesario distinguir unas de otras funciones. Dada una función f definida en un entorno del punto a, se llama: Tasa de variación INSTANTÁNEA de la función f en x = a al límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados son cada vez más pequeños: f (a + ▲x) – f (a) TVI = lím ▲x  ▲x Nota: Es indiferente poner h o ▲x y 2 h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

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EJEMPLO 1 Sea la función f(x) = x3 – 4x Hallar la TVI de la función en: x = – 2 y en x = 1 ¿Qué significado físico tienen? Se dibuja la función. Se dibuja la recta tangente en x = – 2 Se halla la pendiente de dicha tangente. 16 m = TVI = = 8 2 Al ser m positiva, es creciente la función. Se dibuja la recta tangente en x = 1 – 1 m = TVI = = – 1 1 Al ser m negativa, es decreciente. y=f(x) x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

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EJEMPLO 2 Sean las tres funciones dibujadas. Hallar la TVI de ambas en x=1 Se dibuja la recta tangente en x = 1 Se halla la pendiente de la recta. 1 m = TVI = = 0,5 2 0,5 0,125 m = TVI = = 0,25 y 2 h(x) = √x f(x) = x / 2 g(x) = x2/ 8 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

12 DERIVADA EN UN PUNTO DE UNA FUNCIÓN
Sea la función y = f(x) que se muestra en el gráfico mediante una curva. Si tomamos los puntos Po y P1 y los unimos mediante una recta, dicha recta será secante a la función que representa la curva trazada. La pendiente m de dicha recta será: Δ y y1 - yo m1 = = , Δ x x1 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa Imaginemos que el punto P1 se traslada hasta el punto P2. P1 y1 P2 Po yo xo x1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

13 DERIVADA ….. ( Continuación)
Tanto la abscisa como la ordenada han cambiado, han disminuido de valor, y la recta secante también ha variado de posición. La pendiente m de la nueva secante será: Δ y y2 - yo m2 = = , Δ x x2 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa. Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. P1 P2 y2 P0 yo xo x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

14 DERIVADA ….. ( Continuación)
Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. La recta secante terminará convertida en una RECTA TANGENTE, pues será tangente a la función en el punto estudiado Po = (xo, yo) La pendiente de esa recta tangente será: yn - yo m = lím = [----] xxo xn - xo m = resultado de la indeterminación, si lo hay. P1 P2 P3 P4 P0 yo xo @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

15 Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.
DERIVADA … ( Final). La pendiente de esa recta tangente será: yn – yo m = lím = ---- xxo xn - xo A ese límite concreto es lo que llamamos DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( en Po ) FUNCIÓN DERIVADA No es lo mismo la derivada de una función en un punto ( que es un número), que la función derivada (que es una función). y1 y2 yo xo x2 x1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

16 Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.
DERIVADAS LATERALES Se llama derivada por la izquierda de f(x) en xo a: f (xo + ▲x) – f(xo) f ´ (xo-) = lím ▲x  ▲x Se llama derivada por la derecha de f(x) en xo a: f ´ (xo+) = lím ▲x  ▲x Sólo existirá la derivada en un punto si los límites laterales coinciden. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

17 Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.
EJEMPLO_1 Estudiar la derivabilidad de la función: x2 – 9 , si x ≤  Función cuadrática Sea f(x) = x , si x >  Función lineal A la izquierda de x=3 ( función cuadrática ) es continua y derivable. A la derecha de x=3 ( función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=3 (3 + h)2 – 9 – (32 – 9) h + h2 – 9 – Lím = lim = 6 h h h h (3 + h) – 3 – (3 – 3) h – 3 – 3 + 3 Lím = lim = h / h = 1 h h h h Las derivadas laterales no coinciden. No es derivable en x=3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

18 Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.
EJEMPLO_2 Estudiar la derivabilidad de la función: x2 – 4 , si x ≤  Función cuadrática Sea f(x) = 4.x – 8 , si x >  Función lineal A la izquierda de x=2 ( función cuadrática ) es continua y derivable. A la derecha de x=2 ( función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=2 (2 + h)2 – 4 – (22 – 4) h + h2 – 4 – Lím = lim = 4 h h h h 4(2 + h) – 8 – (4.2 – 8) h – 8 – 8 + 8 Lím = lim = 4.h / h = 4 h h h h Las derivadas laterales coinciden. La función es derivable en x=2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

19 Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.
EJEMPLO_3 Estudiar la derivabilidad de la función: x2 – 4 , si x ≤  Función cuadrática Sea f(x) = x – a , si x >  Función lineal A la izquierda de x=2 ( función cuadrática ) es continua y derivable. A la derecha de x=2 ( función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=2 (2 + h)2 – 4 – (22 – 4) h + h2 – 4 – Lím = lim = 4 h h h h (2 + h) – a – (2 – a) h – a – 2 + a Lím = lim = h / h = 1 h h h h Las derivadas laterales no coinciden. La función no es derivable en x=2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

20 Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.
EJEMPLO_4 Estudiar la derivabilidad de la función: x2 – 4 , si x ≤  Función cuadrática Sea f(x) = a·x – 2 , si x >  Función lineal A la izquierda de x=2 (función cuadrática) es continua y derivable. A la derecha de x=2 (función lineal) es continua y derivable. Miramos si es derivable en el punto x=1 (1 + h)2 – 4 – (12 – 4) h + h2 – 4 – 1 + 4 Lím = lim = 2 + h = = 2 h h h h (a + a·h) – 2 – (a – 2) a + a·h – 2 – a + 2 Lím = lim = a·h / h = a h h h h Las derivadas laterales sólo coinciden si a = 2. La función no es derivable en x=1 si a <> 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.

21 DERIVABILIDAD GRÁFICA
Se llama derivada por la izquierda de f(x) en xo a: f (xo + ▲x) – f(xo) f ´ (xo-) = lím ▲x  ▲x Se llama derivada por la derecha de f(x) en xo a: f ´ (xo+) = lím ▲x  ▲x Sólo existirá la derivada en un punto si los límites laterales coinciden. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CC.SS.