Convergencia de variables aleatorias

Presentación del tema: "Convergencia de variables aleatorias"— Transcripción de la presentación:

1 Convergencia de variables aleatorias
El teorema central del límite

2 Media muestral Llamamos MUESTRA ALEATORIA SIMPLE a un conjunto de n variables aleatorias equidistribuidas e independientes Dada una muestra aleatoria simple, se llama MEDIA MUESTRAL a la variable aleatoria:

3 Media muestral Como se distribuyen igual tienen la misma esperanza y la misma varianza (μ yσ2). Entonces: Observemos que mientras que la esperanza es válida siempre, la varianza implica la independencia de las variables de la muestra de las varianza. Además, notemos que la esperanza es constante para cualquier tamaño muestral, con la varianza sin embargo no sucede lo mismo., disminuye cuando el tamaño de la muestra aumenta.

4 Convergencia de sucesiones de variables aleatorias
DEFINICIONES Sea (Ω, A, P) un espacio probabilístico, se define SUCESIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS es una aplicación de N sobre el conjunto de las variables aleatorias Que podemos definir en (Ω, A, P). Las representamos: Debemos tener en cuenta que todas las funciones anteriores Son variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad.

5 Convergencia de sucesiones de variables aleatorias
DEFINICIONES Diremos que una sucesión de variables aleatorias CONVERGE EN PROBABILIDAD a c y anotamos: Observación: La probabilidad expresada arriba da una idea de con que grado Xn se concentra alrededor de c. Si se acerca a cero, esto significa que: se acerca a 1. La convergencia de la probabilidad indica que las distribuciones de Xn (n=1,2…) se concentran cada vez más entorno de c al aumentar n.

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7 Convergencia de sucesiones de variables aleatorias
DEFINICIONES Diremos que una sucesión de variables aleatorias CONVERGE CASI SEGURAMENTE ( con probabilidad 1) a cЄR y anotamos: Observación: Intuitivamente podemos decir que si la probabilidad del conjunto de valores que toma Xn distintos de c es cero, para n muy grande.

8 Convergencia en Ley La idea es decir que la sucesión de v.a. Xn converge en Ley a X, si la función de distribución de las Xn converge a la función de distribución de X.

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12 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
Bajo el título “Teorema central del límite” se agrupa a los teoremas de tendencia a la normalidad de la media aritmética de n variables independientes. Estudiaremos el teorema central del límite para variables independientes y equidistribuidas. Recordemos que si son independientes y equidistribuidas Con media μ y varianza σ2

13 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
Sean una sucesión de variables aleatorias independientes y equidistribuidas con media μ y varianza σ2 Entonces: Observación: Se puede enunciar el teorema

14 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
Utilizando este teorema podemos aproximar siempre y cuando n sea grande mediante una O también mediante una

15 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
EJEMPLO: Supongamos que el tiempo de vida hasta la rotura de un componente eléctrico Se distribuye exponencial con λ=0,1 horas. Un sistema electrónico consta de n de esos componentes y funciona con solo uno de los componentes en funcionamiento. Cuando un componente falla se pone en funcionamiento otro de los n que no está Averiado. ¿Cuál es la probabilidad de que funcione más de 200 horas?