FUNCIONES ELEMENTALES

Presentación del tema: "FUNCIONES ELEMENTALES"— Transcripción de la presentación:

1 FUNCIONES ELEMENTALES

2 A cada valor de 𝑥 le corresponde un único valor de y
Concepto de Función Función Real de Variable Real: Aplicación definida en un subconjunto 𝐷 de ℝ, que a cada número real 𝑥∈ℝ le hace corresponder un único valor 𝑦∈ℝ 𝑓 → función real de variable real 𝑥 → variable independiente 𝑦 → variable dependiente o imagen de 𝒙 Notas: (1) La imagen de cada elemento siempre es única: 𝑓(𝑥) es único para cada 𝑥∈ℝ. Sí es función A cada valor de 𝑥 le corresponde un único valor de y No es función A todos los valores de 𝑥 excepto a uno, le corresponden dos valores de la ordenada

3 (2) 𝑦=𝑓 𝑥 ⇒𝑥= 𝑓 −1 𝑦 → 𝒙 antiimagen de 𝒚
Dominio de Definición de una Función: Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, o, dicho de otra forma, subconjunto de ℝ formado por todos los valores de 𝑥 para los cuales existe la función, es decir, para los que puede ser calculada la imagen 𝑓(𝑥). Dada una función 𝑓, su dominio suele representarse mediante 𝑫𝒐𝒎(𝒇) o 𝑫(𝒇). 𝐷 𝑓 = 𝑥∈ ℝ ∃ 𝑓(𝑥)∈ℝ nota: El dominio de definición de una función puede depender de varias circunstancias: De la imposibilidad de realizar alguna operación con determinados valores de 𝑥 (denominadores que se anulan, raíces de índice par de números negativos, argumentos negativos o nulos en logaritmos, etc.).

4 𝑓 𝑥 = + 3𝑥+8 3𝑥+8≥0 ⟺3𝑥≥−8 ⇔𝑥≥ −8 3 ⇒𝐷 𝑓 = −8 3 ,+ ∞
Ejemplos : 𝑓 𝑥 = 7𝑥+5 𝑥 2 −1 𝑓 no está definida para los valores de 𝑥 que anulan el denominador. Por lo tanto, 𝐷 𝑓 =ℝ∖ −1,1 . 𝑓 𝑥 = + 3𝑥+8 Dado que la raíz cuadrada solo puede ser calculada si el radicando es mayor o igual que cero, tenemos: 3𝑥+8≥0 ⟺3𝑥≥−8 ⇔𝑥≥ −8 3 ⇒𝐷 𝑓 = −8 3 ,+ ∞ Del contexto real del que se extrae la función. Ejemplo : La función 𝑓 𝑥 =800+50𝑥 representa el sueldo de un profesor de aerobic de un gimnasio, quien cobra 800€ mensuales fijos, más 50€ por cada persona matriculada en sus clases. En este caso, 𝐷 𝑓 =ℕ, ℕ⊂ℝ , pues los valores tomados por la variable independiente han de ser enteros mayores o iguales que cero, al referirse a número de personas.

5 De la propia voluntad de quien propone la función.
Ejemplo: Consideremos la función que a cada número menor que 5 le asocia la semisuma entre él y su propio cuadrado: 𝑓 𝑥 = 𝑥+ 𝑥 , 𝐷(𝑓)= −∞,5 Imagen o Recorrido de una Función: Conjunto de valores tomados por la función, esto es, por la variable dependiente. La imagen de una función 𝑓 se designa mediante 𝑰𝒎(𝒇) o 𝑰(𝒇). NOTA: Para representar gráficamente una función real de variable real, se utiliza el sistema de ejes cartesianos, de modo que el dominio corresponde a valores de las abscisas, y el recorrido, a valores de las ordenadas.

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7 Funciones Lineales Expresión algebraica: 𝒚=𝒇 𝒙 =𝒎𝒙+𝒏 , 𝑚, 𝑛 ∈ℝ 𝑚 → pendiente (variación, aumento o disminución, que se produce en 𝑦 cuando 𝑥 aumenta 1 unidad). 𝑛 → ordenada en el origen (imagen de 𝑥=0 por la función 𝑓). NOTA: Las funciones lineales son funciones polinómicas de primer grado. Representación gráfica: Recta de pendiente 𝑚 pasando por el punto 0,𝑛 . Dada la expresión general, 𝑦=𝑚𝑥+𝑛 , para representar la recta asociada a ella, basta unir dos puntos cualesquiera pertenecientes a la misma. Habitualmente, los puntos elegidos son los de corte con los ejes cartesianos, 0,𝑛 y −𝑛 𝑚 ,0 , o bien, los puntos 0,𝑛 y 1,𝑚+𝑛 . Cuanto mayor sea 𝑚 , más inclinada estará la recta con respecto al eje de abscisas 𝑂𝑋.

8 Dominio y Recorrido: 𝐷 𝑓 =ℝ , 𝐼 𝑓 =ℝ
Continuidad: 𝑓 continua en ℝ Monotonía: 𝑚>0 ⟹𝑓 creciente 𝑚<0 ⟹𝑓 decreciente 𝑚=0 ⟹𝑓 constante NOTA: Si 𝑚=0, la función tiene como expresión 𝒚=𝒇 𝒙 =𝒏, siendo su recta asociada la paralela al eje 𝑂𝑋 pasando por el punto 0,𝑛 , esto es, una recta horizontal a altura 𝑛. Acotación y Extremos: 𝑓 no está acotada superior ni inferiormente, por lo que no presenta ningún extremo (máximo ni mínimo).

9 Clasificación: Se distinguen dos tipos de funciones lineales, según el valor de 𝑛 (ordenada en el origen): Funciones de Proporcionalidad Directa 𝑛=0 : Pasan por el origen de coordenadas, 𝑂 0,0 . Su expresión es, pues: 𝒚= 𝒇 𝒙 =𝒎𝒙. Funciones Afines 𝑛≠0 : No pasan por 𝑂 0,0 . Ecuaciones de la recta: Una misma recta en el plano puede ser expresada de distintas formas, según los datos que tengamos sobre ella: Ecuación Explícita (conocidas la pendiente y la ordenada en el origen): 𝒚=𝒎𝒙+𝒏 m → pendiente, n → ordenada en el origen Ecuación Punto-Pendiente (conocidas las coordenadas de un punto de la recta y la pendiente de esta): 𝒚= 𝒚 0 +𝒎 𝒙− 𝒙 0 𝑃 𝑥 0 , 𝑦 0 → punto de la recta 𝑚 → pendiente

10 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos (conocidas las coordenadas de dos puntos pertenecientes a la recta): 𝒚= 𝒚 1 + 𝒚 2 − 𝒚 1 𝒙 2 − 𝒙 1 𝒙− 𝒙 1 𝑃 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑄 ( 𝑥 2 , 𝑦 2 )→ puntos de la recta NOTA: 𝑚= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 → pendiente Ecuación Continua (solo válida para rectas no paralelas a los ejes cartesianos, conocidas las coordenadas de dos de sus puntos). 𝒙− 𝒙 1 𝒙 2 − 𝒙 1 = 𝒚− 𝒚 1 𝒚 2 − 𝒚 1 𝑃 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑄 ( 𝑥 2 , 𝑦 2 )→ puntos de la recta Ecuación General o Implícita (obtenida a partir de cualquiera de las anteriores, haciendo las transformaciones oportunas): NOTA: 𝑚= −𝑎 𝑏 pendiente , 𝑛= −𝑐 𝑏 → ordenada en el origen 𝑣 = −𝑏,𝑎 → vector director de la recta 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄=0

11 Funciones Cuadráticas
Expresión algebraica: 𝒚=𝒇 𝒙 =𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄 , 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ℝ , 𝑎≠0 NOTA: Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas de segundo grado. Representación gráfica: Curva denominada parábola, caracterizada por presentar dos ramas (una creciente y otra decreciente) y por ser simétrica respecto de una recta paralela al eje de ordenadas 𝑂𝑌.

12 Vértice de la parábola, 𝑉 𝑥 𝑣 , 𝑦 𝑣 :
Punto en el que la función pasa de ser creciente a decreciente, o viceversa: 𝑥 𝑣 = −𝑏 2𝑎 𝑦 𝑣 =𝑎 𝑥 𝑣 2 +𝑏 𝑥 𝑣 +𝑐 Eje de simetría de la parábola: Recta paralela a 𝑂𝑌 que pasa por el vértice y divide a la parábola en dos partes simétricas. Su ecuación es 𝑥= 𝑥 𝑣 = −𝑏 2𝑎 . Aspecto de la parábola: Si 𝑎>0 ⇒ La parábola tiene las ramas abiertas hacia arriba. Función convexa. Si 𝑎<0 ⇒ La parábola tiene las ramas abiertas hacia abajo. Función cóncava.

13 Cuanto mayor sea 𝑎 , más estilizada será la parábola.
Dos parábolas con el mismo coeficiente principal tienen la misma forma, aunque estén situadas en distinta posición. Representación de la parábola: Para representar la parábola asociada a una función cuadrática es preciso conocer su vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y, si es posible, varios puntos próximos al vértice y simétricos respecto a este

14 Dominio y Recorrido: 𝐷 𝑓 =ℝ
𝑎>0 𝑦 𝑣 , +∞ si 𝑎>0 −∞, 𝑦 𝑣 si 𝑎<0 𝐼 𝑓 = Continuidad: 𝑓 continua en ℝ Monotonía: 𝑎<0 Acotación y Extremos:

15 Curvatura: Puntos de Inflexión: 𝑓 no tiene puntos de inflexión NOTAS: - Si dos parábolas tienen el mismo eje de simetría y son simétricas entre sí respecto a 𝑂𝑋, entonces, sus respectivos coeficientes son opuestos entre sí. - Al trasladar una parábola hacia la derecha 𝑛 unidades, en la expresión general cambiamos 𝑥 por 𝑥−𝑛. Análogamente, si la trasladamos hacia la izquierda 𝑛 unidades, el cambio a realizar será 𝑥 por 𝑥+𝑛.

16 Traslaciones de parábolas
Partimos de 𝒚= 𝒙 𝟐 𝒚= 𝒙 𝟐 +𝟐 𝒚= 𝒙 𝟐 −𝟐

17 𝒚= (𝒙+𝟐) 𝟐 𝒚= (𝒙−𝟐) 𝟐 𝒚= (𝒙−𝟐) 𝟐 +𝟐 𝒚= (𝒙+𝟐) 𝟐 −𝟐

18 Funciones de Proporcionalidad Inversa
𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒌 𝒙 , 𝑘 ∈ℝ , 𝑘 ≠0 Expresión algebraica: Representación gráfica: Curva llamada hipérbola, la cual consta de dos ramas con distinta curvatura, simétricas entre sí respecto del origen de coordenadas, que no cortan a ninguno de los ejes cartesianos, y cuya posición en el plano depende del signo de k. 𝑘>0 ⟹ hipérbola en los cuadrantes 1º y 3º 𝑘<0 ⟹ hipérbola en los cuadrantes 2º y 4º 𝑘>0 𝑘<0

19 Dominio y Recorrido: 𝐷 𝑓 =ℝ∖ 0 , 𝐼 𝑓 =ℝ∖ 0
Continuidad: Es continua en todo ℝ, excepto en el punto 𝑥=0, donde presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito. Monotonía: 𝑘>0 ⟹ f decreciente 𝑘<0 ⟹ f creciente Acotación y Extremos: La función no está acotada superior ni inferiormente, por lo que no tiene máximos ni mínimos 𝑓 cóncava en −∞,0 𝑓 convexa en 0,+∞ 𝑘>0 ⟹ Curvatura: 𝑓 convexa en −∞,0 𝑓 cóncava en 0,+∞ 𝑘<0 ⟹ Puntos de inflexión: No tiene ningún punto de inflexión.

20 Asíntotas: La función presenta una asíntota horizontal de ecuación 𝑦=0 y una asíntota vertical de ecuación 𝑥=0 𝑥 →−∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →0 𝑥 → 0 − ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ −∞ 𝑥 → ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ +∞ 𝑥 →+∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →0 𝑘>0 ⟹ Tendencias: 𝑥 →−∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →0 𝑥 → 0 − ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ +∞ 𝑥 → ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶−∞ 𝑥 →+∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →0 𝑘<0 ⟹ Cuanto mayor es 𝑘 , más lentamente tiende la función, es decir, más separadas están las curvas de la hipérbola de los ejes cartesianos. Simetría: Función con simetría impar, o lo que es equivalente, simétrica respecto del origen de coordenadas, ya que 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥).

21 Traslación de Hipérbolas
Un caso particular de las funciones de proporcionalidad inversa son las funciones racionales (cociente de dos polinomios) de la forma 𝑦= 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) , donde 𝑔𝑟 𝑃 𝑥 =𝑔𝑟 𝑄 𝑥 =1, ya que estas son, en realidad, el resultado de trasladar horizontal y/o verticalmente alguna función del tipo 𝑦= 𝑘 𝑥 . Podemos distinguir dos tipos, según la traslación que tiene lugar: Tipo 1 Expresión algebraica: 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒌 𝒙−𝒂 , 𝑘 , 𝑎 ∈ℝ , 𝑘 ≠0 Nota: Si 𝑎=0, se trata de una función de proporcionalidad inversa. Representación gráfica: Es una hipérbola idéntica a la de la función 𝑦= 𝑘 𝑥 , pero trasladada 𝑎 unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, según que a sea positivo o negativo, respectivamente. La función nunca corta al eje 𝑂𝑋, presentando un único punto de corte con 𝑂𝑌, 0 , − 𝑘 𝑎 .

22 𝑦= 𝑘 𝑥−𝑎 , 𝑘>0 , 𝑎>0 𝑦= 𝑘 𝑥 , 𝑘>0 𝑦= 𝑘 𝑥−𝑎 , 𝑘>0 , 𝑎<0 𝑦= 𝑘 𝑥−𝑎 , 𝑘<0 , 𝑎>0 𝑦= 𝑘 𝑥−𝑎 , 𝑘<0 , 𝑎<0 𝑦= 𝑘 𝑥 , 𝑘<0

23 Dominio y Recorrido: 𝐷 𝑓 =ℝ∖ 𝑎 , 𝐼 𝑓 =ℝ∖ 0
Continuidad: Es continua en todo ℝ, excepto en el punto 𝑥=𝑎, donde presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito. Monotonía: 𝑘>0 ⟹ f decreciente 𝑘<0 ⟹ f creciente Acotación y Extremos: La función no está acotada superior ni inferiormente, por lo que no tiene máximos ni mínimos 𝑓 cóncava en −∞,𝑎 𝑓 convexa en 𝑎,+∞ 𝑘>0 ⟹ Curvatura: 𝑓 convexa en −∞,𝑎 𝑓 cóncava en 𝑎,+∞ 𝑘<0 ⟹ Puntos de inflexión: No tiene ningún punto de inflexión.

24 Asíntotas: La función presenta una asíntota horizontal de ecuación 𝑦=0 y una asíntota vertical de ecuación 𝑥=𝑎 𝑥 →−∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →0 𝑥 → 𝑎 − ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ −∞ 𝑥 → 𝑎 + ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ +∞ 𝑥 →+∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →0 𝑘>0 ⟹ Tendencias: 𝑥 →−∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →0 𝑥 → 𝑎 − ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ +∞ 𝑥 → 𝑎 + ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶−∞ 𝑥 →+∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →0 𝑘<0 ⟹ Cuanto mayor es 𝑘 , más lenta será la tendencia de la función. Simetría: La función no presenta simetría par ni impar.

25 Ejemplos: 𝒚= 𝟐 𝒙+𝟓 𝒚= 𝟐 𝒙 𝒚= 𝟐 𝒙−𝟑

26 B) Tipo 2 Expresión algebraica: 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒌 𝒙−𝒂 +𝒃 , 𝑘 , 𝑎 , 𝑏 ∈ℝ , 𝑘 ≠0 Nota: Si 𝑎=0 𝑦 𝑏=0, se trata de una función de proporcionalidad inversa. Representación gráfica:Es una hipérbola idéntica a la de la función 𝑦= 𝑘 𝑥 , pero trasladando sus ejes del siguiente modo: el eje vertical se mueve 𝑎 unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, según que a sea positivo o negativo, respectivamente; el eje horizontal se desplaza 𝑏 unidades hacia arriba o hacia abajo, según que b sea también positivo o negativo, respectivamente. La función corta a cada eje en un único punto, siendo las coordenadas de esos puntos de corte 𝑎− 𝑘 𝑏 , 0 y 0 , 𝑏− 𝑘 𝑎 .

27 𝑦= 𝑘 𝑥−𝑎 +𝑏 𝑘>0 , 𝑎>0 , 𝑏>0 𝑦= 𝑘 𝑥−𝑎 +𝑏 𝑘>0 , 𝑎>0 , 𝑏<0 𝑦= 𝑘 𝑥 , 𝑘>0 𝑦= 𝑘 𝑥−𝑎 +𝑏 𝑘>0 , 𝑎<0 , 𝑏>0 𝑦= 𝑘 𝑥−𝑎 +𝑏 𝑘>0 , 𝑎<0 , 𝑏<0

28 𝑦= 𝑘 𝑥−𝑎 +𝑏 𝑘<0 , 𝑎>0 , 𝑏>0 𝑦= 𝑘 𝑥−𝑎 +𝑏 𝑘<0 , 𝑎>0 , 𝑏<0 𝑦= 𝑘 𝑥 , 𝑘<0 𝑦= 𝑘 𝑥−𝑎 +𝑏 𝑘<0 , 𝑎<0 , 𝑏>0 𝑦= 𝑘 𝑥−𝑎 +𝑏 𝑘<0 , 𝑎<0 , 𝑏<0

29 Dominio y Recorrido: 𝐷 𝑓 =ℝ∖ 𝑎 , 𝐼 𝑓 =ℝ∖ 0
Continuidad: Es continua en todo ℝ, excepto en el punto 𝑥=𝑎, donde presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito. Monotonía: 𝑘>0 ⟹ f decreciente 𝑘<0 ⟹ f creciente Acotación y Extremos: La función no está acotada superior ni inferiormente, por lo que no tiene máximos ni mínimos 𝑘>0 𝑓 cóncava en −∞,𝑎 𝑓 convexa en 𝑎,+∞ 𝑘>0 ⟹ Curvatura: 𝑓 convexa en −∞,𝑎 𝑓 cóncava en 𝑎,+∞ 𝑘<0 ⟹ 𝑘<0 Puntos de inflexión: No tiene ningún punto de inflexión.

30 Cuanto mayor es 𝑘 , más lenta será la tendencia de la función.
Asíntotas: La función presenta una asíntota horizontal de ecuación 𝑦=𝑏 y una asíntota vertical de ecuación 𝑥=𝑎 𝑘>0 𝑥 →−∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →𝑏 𝑥 → 𝑎 − ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ −∞ 𝑥 → 𝑎 + ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ +∞ 𝑥 →+∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →𝑏 𝑘>0 ⟹ Tendencias: 𝑘<0 𝑥 →−∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →𝑏 𝑥 → 𝑎 − ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶ +∞ 𝑥 → 𝑎 + ⟹ 𝑓 𝑥 ⟶−∞ 𝑥 →+∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →𝑏 𝑘<0 ⟹ Cuanto mayor es 𝑘 , más lenta será la tendencia de la función. Simetría: La función no presenta simetría para ni impar.

31 Ejemplos: 𝒚= 𝟐 𝒙−𝟑 +𝟓 𝒚= 𝟐 𝒙 𝒚= 𝟐 𝒙−𝟑 −𝟏

32 Funciones Radicales Las funciones radicales o irracionales son aquellas en las que la variable independiente aparece bajo un signo radical. Expresión algebraica: 𝒚=𝒇 𝒙 =+ 𝒂𝒙+𝒃 , 𝑎 , 𝑏∈ℝ, 𝑎≠0 Representación gráfica: Media parábola situada en el semiplano de las ordenadas positivas, que tendría como eje de simetría al de abscisas, 𝑂𝑋, en el caso de que apareciese la otra rama de la parábola. 𝑎>0 𝑎<0 −𝑏 𝑎 , +∞ , si 𝑎>0 −∞, −𝑏 𝑎 , si 𝑎<0 Dominio y Recorrido: 𝐷 𝑓 = 𝑥∈ ℝ 𝑎𝑥 +𝑏≥0 = 𝐼 𝑓 = 0,+ ∞

33 Continuidad: 𝑓 continua
𝑎>0 Monotonía: 𝑎>0 ⟹ f creciente 𝑎<0 ⟹ f decreciente Acotación y Extremos: La función está acotada inferiormente, pero no superiormente, no teniendo ningún máximo, y presentando un mínimo absoluto en x= −𝑏 𝑎 ya que para este valor de la variable independiente se anula el radicando. 𝑎<0 Curvatura: f cóncava Puntos de inflexión: No hay puntos de inflexión. Simetría: La función no presenta simetría par ni impar.

34 NOTA: La función 𝒚=𝒇 𝒙 =− 𝒂𝒙+𝒃 es simétrica a la anterior respecto del eje 𝑂𝑋. Por lo tanto, se trata de una media parábola situada en el semiplano de las ordenadas negativas, con idéntico dominio a esta, cuyo recorrido es 𝐼 𝑓 = −∞, 0 , no estando acotada inferiormente, pero sí superiormente, con un máximo absoluto en 𝑥= −𝑏 𝑎 , y con curvatura convexa. 𝑦=− 𝑎𝑥+𝑏 𝑎<0 𝑦=− 𝑎𝑥+𝑏 𝑎>0 Ejemplos: 𝑦= 𝑥−2 𝑦=− −3𝑥+9

35 Funciones Exponenciales
Expresión algebraica: 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙 , 𝑎∈ℝ , 𝑎>0 , 𝑎≠1 Representación gráfica: Curva convexa situada en los cuadrantes 1º y 2º (ordenadas positivas), pasando por los puntos 0,1 y 1,𝑎 , pues 𝑎 0 =1 y 𝑎 1 =𝑎, para cualquier valor 𝑎≠0. La forma presentada por la curva depende del valor de 𝑎. 𝑎>1 0<𝑎<1

36 Dominio y Recorrido: 𝐷 𝑓 =ℝ , 𝐼 𝑓 = 0,+∞
𝑎>1 Continuidad: 𝑓 continua en ℝ Monotonía: 𝑎>1 ⟹ f creciente 0<𝑎<1 ⟹ f decreciente Acotación y Extremos: La función está acotada inferiormente, pero no superiormente, no teniendo ningún extremo, ni máximo ni mínimo. Curvatura: f convexa en ℝ 0<𝑎<1 Puntos de inflexión: No hay puntos de inflexión. Asíntotas: La función presenta una asíntota horizontal de ecuación 𝑦=0 . 𝑥 →−∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →0 Tendencias: 𝑎>1 ⟹ NOTA: Cuanto mayor sea 𝑎, más rápida será la tendencia de la función, es decir, más cerrada será su gráfica. 𝑥 →+∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →+∞ 𝑥 →−∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →+∞ 𝑥 →+∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →0 0<𝑎<1 ⟹ Simetría: La función no presenta simetría par ni impar.

37 Funciones Logarítmicas
Expresión algebraica: 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 , 𝑎∈ℝ , 𝑎>0 , 𝑎≠1 Representación gráfica: Curva cóncava o convexa (según el valor de 𝑎), situada en los cuadrantes 1º y 4º (abscisas positivas), pasando por los puntos 1,0 y 𝑎,1 , pues 𝑙𝑜𝑔 𝑎 1 =0 y 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎 =1, para cualquier valor 𝑎 positivo y distinto de 1. La gráfica de esta función no corta al eje 𝑂𝑌 en ningún punto, ya que no es posible calcular el logaritmo de 0 en ninguna base 𝑎. 𝑎>1 0<𝑎<1

38 Dominio y Recorrido: 𝐷 𝑓 = 0,+∞ , 𝐼 𝑓 =ℝ
𝑎>1 Continuidad: 𝑓 continua en 0,+∞ Monotonía: 𝑎>1 ⟹ f creciente en 0,+∞ 0<𝑎<1 ⟹ f decreciente en 0,+∞ Acotación y Extremos: La función no está acotada superior ni inferiormente, por lo que no tiene ni máximos ni mínimos. Curvatura: 𝑎>1 ⟹ f cóncava en 0,+∞ 0<𝑎<1 ⟹ f convexa en 0,+∞ 0<𝑎<1 Puntos de inflexión: No hay puntos de inflexión. Asíntotas: La función presenta una asíntota vertical de ecuación 𝑥=0 . 𝑥 → 0 + ⟹ 𝑓 𝑥 →−∞ Tendencias: 𝑎>1 ⟹ 𝑥 →+∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →+∞ NOTA: Cuanto más se aproxime 𝑎 a 1, más rápida será la tendencia de la función, es decir, más abierta será su gráfica. 𝑥 → 0 + ⟹ 𝑓 𝑥 →+∞ 𝑥 →+∞ ⟹ 𝑓 𝑥 →−∞ 0<𝑎<1 ⟹ Simetría: La función no presenta simetría par ni impar.

39 NOTA: La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, y viceversa.
Para demostrar esta afirmación, basta comprobar que si un punto 𝑥 0 , 𝑦 0 pertenece a la gráfica de una de ellas, entonces, el punto 𝑦 0 , 𝑥 0 se encuentra en la gráfica de la otra. 𝑥 0 , 𝑦 0 pertenece a la gráfica de 𝑦= 𝑎 𝑥 ⟺ 𝑦 0 = 𝑎 𝑥 0 ⟺ 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑦 0 = 𝑥 0 ⟺ 𝑦 0 , 𝑥 pertenece a la gráfica de 𝑦= 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 definición de logaritmo Gráficamente, que ambas funciones sean inversas equivale a que las curvas asociadas a ellas son simétricas respecto de la recta 𝑦=𝑥.

40 Funciones Definidas “A Trozos”
Expresión algebraica: Contiene más de una fórmula, cada una de las cuales rige el comportamiento de la función en un cierto tramo. Es imprescindible conocer qué formula se debe usar con cada valor de la variable independiente 𝑥, por lo que todas las fórmulas se acompañan obligatoriamente de una condición que especifica cuál es su dominio de aplicación. Así, la expresión analítica general de una función definida a trozos tiene este aspecto: 𝒚=𝒇 𝒙 = & 𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 1, 𝑠𝑖 𝑥∈ 𝑫 1 𝒇 & 𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 2, 𝑠𝑖 𝑥∈ 𝑫 2 𝒇 &⋮ & 𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑛, 𝑠𝑖 𝑥∈ 𝑫 𝒏 (𝑓 Donde, 𝐷 1 𝑓 , 𝐷 2 𝑓 , …, 𝐷 𝑛 (𝑓) son dominios que se suelen expresar mediante intervalos (o semirrectas), desigualdades, o puntos. Representación gráfica: Cambia de unos intervalos de la recta a otros, según la fórmula vigente en dicho tramo. Por lo tanto, habitualmente se distinguen varias partes en la gráfica, aunque puedan estar unidas entre sí.

41 Ejemplos:

42 Función Valor Absoluto
Expresión algebraica: 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒙 = −𝒙 𝒔𝒊 𝒙<𝟎 𝒙 𝒔𝒊 𝒙≥𝟎 NOTA: La función valor absoluto es una función a trozos. Representación gráfica: Bisectrices de los cuadrantes 1º y 2º.

43 Dominio y Recorrido: 𝐷 𝑓 =ℝ , 𝐼 𝑓 = 0, +∞
Continuidad: 𝑓 continua en ℝ Monotonía: f decreciente en −∞,0 f creciente en 0,+∞ Acotación y Extremos: 𝑓 solo está acotada inferiormente, siendo 𝑥=0 un mínimo absoluto de la función. Simetría: 𝑓 presenta simetría par. 𝑦= 𝑥 2 −4 Ejemplos: 𝑦= 𝑥−3

44 Funciones Trigonométricas
Función Seno Expresión algebraica: 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 Dominio y recorrido: 𝐷 𝑓 =ℝ, 𝐼 𝑓 = −1,1 Función continua en ℝ, periódica de período 𝟐𝝅 rad y simétrica respecto al origen de coordenadas.

45 Expresión algebraica: 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
Función Coseno Expresión algebraica: 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 Dominio y recorrido: 𝐷 𝑓 =ℝ, 𝐼 𝑓 = −1,1 Función continua en ℝ, periódica de período 𝟐𝝅 rad y simétrica respecto al eje de ordenadas.

46 Expresión algebraica: 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒕𝒈 𝒙
Función Tangente Expresión algebraica: 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒕𝒈 𝒙 Dominio y recorrido: 𝐷 𝑓 =ℝ− 2𝑘+1 ∙ 𝜋 2 , 𝑘∈ℤ = …, −𝜋 2 , 𝜋 2 , 3𝜋 2 ,… , 𝐼 𝑓 =ℝ Función continua en ℝ− 2𝑘+1 ∙ 𝜋 2 , 𝑘∈ℤ , periódica de período 𝝅 rad ysimétrica respecto al origen de coordenadas.

47 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙 Función Cotangente
Función Secante 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝒙 Función Cosecante 𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙

48 FUNCIONES ELEMENTALES