Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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1 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
MATRICES U.D. 2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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RANGO DE UNA MATRIZ U.D * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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COMBINACIÓN LINEAL Una FILA o COLUMNA de una matriz es una colección de n números reales dados en un cierto orden. Una fila o columna de dos elementos se llama par, una de tres terna y una de cuatro, cuaterna. Una combinación lineal (C.L.) de varias filas o columnas, pereo del mismo número de elementos, es el resultado de multiplicar cada una por un número y sumarlas. Varias filas o columnas son linealmente dependientes (L.D.) cuando alguna de ellas se puede poner como combinación lineal de las otras. Varias filas o columnas son linealmente independientes (L.I.) cuando ninguna de ellas se puede poner como combinación lineal de las demás. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Ejercicios EJEMPLO_1 Sean los pares (3, 4) y (1, -5). Hallar otro par que sea combinación lineal de las dadas. (x, y) = 5. (3, 4) + (- 1). (1, -5) = (15, 20) + (-1, 5) = (14, 25) EJEMPLO_2 Sean las ternas (3, 4, -2) y (1, -5, 7). Hallar otra terna que sea combinación lineal de las dadas. (x, y, z) = 2. (3, 4, -2) + (-3). (1, -5, 7) = (6, 8, -4) + (-3, 15, -21) = (3, 23, -25) EJEMPLO_3 Sean las cuaternas (0, 4, 0, -2) y (1, -1, 0, 0). Hallar otra cuaterna que sea combinación lineal de las dadas. (x, y, z, t) = 3.(0, 4, 0, -2) + 5.(1, -1, 0, 0)= (5, 7, 0, -6) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Ejercicios EJEMPLO_4 Sean las ternas (3, 4, -2) , (1, -5, 7) y ( 7, -11, -3). Estudiar si son linealmente dependientes. x.(3, 4, -2) + y. (1, -5, 7) = ( 7, -11, -3) (3x, 4x, -2x) + (y, -5y, 7y) = ( 7, -11, -3) 3x + y = 7  y = 7 – 3x  4x – x = - 11 4x -5y =  -2x + 49 – 21x = -3 -2x + 7y = -3 Simplificando las ecuaciones: 4x – x = - 11  19x =  x = 24/19 -2x + 49 – 21x = -3  52 = 23x  x = 52/23 No hay ningún valor de (x, y) que haga que las ternas sean L.D. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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EJEMPLO_5 Sean las ternas (1, 2, -3) , (1, -5, 7) y ( 1, 9, -13). Estudiar si son linealmente dependientes. x.(1, 2, -3) + y. (1, -5, 7) = ( 1, 9, -13) Operando los productos: (x, 2x, -3x) + (y, -5y, 7y) = ( 1, 9, -13) Separando los términos según su posición: x + y = (1) 2x -5y = 9 (2) -3x + 7y = -13 (3) Despejando y en la (1): y = 1 – x Sustituyendo en la (2) y en la (3): 2x – 5 + 5x = 9 – 3x + 7 – 7x = – 13 Simplificando: 7x=14  x = 2  y = 1 – x = 1 – 2 = – 1 20=10x  x = 2  y = 1 – x = 1 – 2 = – 1 Hay un valor de x,y que lo cumple, luego las ternas son l.D. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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RANGO DE UNA MATRIZ Las filas de una matriz pueden ser linealmente dependientes entre sí o linealmente independientes. Llamamos rango de una matriz al número de filas que son linealmente independientes. TEOREMA DEL RANGO En una matriz el número de filas linealmente independientes siempre coincide con el número de columnas linealmente independientes. El rango de una matriz, sea o no cuadrada, es el máximo número de filas o de columnas linealmente independientes. Este máximo número es llamado rango de A. Comúnmente se expresa como rg(A). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Ejercicios EJEMPLO_1 Sea la matriz: 3 4 10 A= La matriz A presenta dos filas L.I. No hay ningún x tal que x.(3, 4, 10) = (1, -5, -3) Por el Teorema del Rango, la matriz A presenta dos columnas L.I. Es decir, hay un par de valores x,y tal que x.(3, 1)+y.(4, - 5)=( 10, – 3 ) O sea: 3x+4y=10 y x – 5y = – 3 Sistema que resuelto nos da los dos valores x,y: x = 2, y = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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EJEMPLO_2 Sea la matriz: - 2 4 B = 3 5 La matriz B presenta dos columnas L.I. No hay ningún x tal que x.(-2, 3, -8) = (4, 5, -6) Por el Teorema del Rango, la matriz B presenta dos filas L.I. Hay un par de valores x,y tal que x.(-2, 4) + y.(3, 5)=( – 8 , – 6 ) O sea: -2.x + 3.y = y 4.x + 5.y = - 6 Sistema que resuelto nos da los dos valores x,y que lo cumplen: x = 1 y = - 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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EJEMPLO_3 Sea la matriz: C = La matriz C presenta dos filas (F1 y F2) L.I., pero la tercera fila es combinación lineal de las dos primeras. x.(2, 4, -3) + y.(3, 5, 0) = (1, 3, -6) Resolviendo tenemos: x=2, y = -1 El rango de C es pues 2. Por el T. del Rango, la matriz C debe presentar dos columnas L.I. Es decir, que hay un par (x,y) tal que: x.(2, 3, 1)+y.(4, 5, 3)=( -3, 0, -6) O sea 2.x + 4.y = -3 , 3.x + 5.y = 0 , x + 3.y = -6 Como x = -6 – 3.y  – 6.y +4.y = , – 9.y + 5.y = 0 Que resuelto da: y = - 4,5 x = 7,5 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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RANGO MEDIANTE GAUSS La forma más adecuada de determinar el rango de una matriz es convertirla en una matriz escalonada equivalente mediante el Método de Gauss. Este método nos permitirá saber el rango de una matriz, y lo que es más interesante aún, nos dará una matriz equivalente con la que trabajaremos más cómodamente. Ejemplo Hallar el rango de la matriz A = Aplicando Gauss y dejando como está la segunda fila al ser el coeficiente en x la unidad, operamos de la manera siguiente: F1=F1 - 5xF2 , F3=F3 - 2xF2 , F4=F4 - 6xF2 , F5=F5 – 4xF2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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... Ejemplo Hallar el rango de la matriz A = Seguimos operando de la siguiente manera: F5=F5 – F4 + F3 , F4=F4 – F1 Queda: A = Opero: F1/(-20) y F3/(-7) /20 Y finalmente F3=F3-F A = /140 Dos filas son nulas y las otras tres están de forma escalonada. rg (A)=3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.