Capitulo III Diseño de la altura y acero de la zapata- Muro

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1 Capitulo III Diseño de la altura y acero de la zapata- Muro
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías Fundaciones Capitulo III Diseño de la altura y acero de la zapata- Muro

2 Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías
Fundaciones III.8.3. Diseño estructural de losas de fundación. III Método convencional rígido El método convencional rígido para el diseño de las losas de fundación, puede ser explicado paso a paso, mediante la fig. 69. Los pasos son los siguientes: 1. La fig. 69, muestra que la losa tiene dimensiones L x B, con cargas de columnas Q1, Q2, Q12, provenientes de la superestructura. Mayore las y calcule la carga total de las columnas: (296) 2. Determine la presión sobre el suelo (q) de bajo de la losa, en los puntos A, B, I, usando la ecuación. ……………………….(297) …………………………………………………………………….(298)

3 Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Vías
Fundaciones ……………………………………………………………(299) ………………………………………………………….(300) …………………………………….…………………….(301) …………………………………….…………………….(302) Donde: q_ult: Reacción del suelo mayorada. Rult: Resultante de todas las cargas mayoradas. Mult_x: Momento en la dirección de “x” o alrededor del eje “y”. Mult_y: Momento en la Dirección de “y” o alrededor del eje “x”. A: Area de la losa (L xB). Ix: Momento de inercia en la dirección de “x” o alrededor del eje “y”. Iy: Momento de inercia en la dirección de “y” o alrededor del eje “x”. ex: Excentricidad en la dirección de “x”. ey: Excentricidad en la dirección de “y”.

4 Las excentricidades, puede ser determinadas usando el sistema de coordenadas ( x’, y’ ), mostrado en la fig. 69, tomando momento de las cargas en esos ejes. El resultado es: ………………………(303) ………………………(304) Donde: x’A, x’B, ...., x’D: distancias de los ejes que pasan por las columnas al eje y’. y’1, y’2, ...., y’3: distancias de los ejes que pasan por las columnas al eje x’. Las excentricidades en las direcciones “x”, “y”, serán: ………………………………………………..……………………(305) ………………………………………………..……………………(306)

5 3. Divida la losa en varias franjas en las direcciones “x”, “y”.
Considere por ejemplo que el ancho de la franja I de área L1xB. La presión promedio de reacción del suelo en la franja, determinada a través de la ec. 297, será: ….(307) Donde: qult_A3, qult_B3,qult_C3, qult_D3: esfuerzos determinados en eje de las columnas. Fig Planta de una losa de área LxB indicando las excentricidades.

6 Fig. 70.- Planta de una losa dividida en franjas en sentido horizontal y vertical.

7 4. Estime una carga promedio para la franja
………………… (308) …………………….…… (309) ………………………… (310) Corrija la carga promedio de reacción del suelo y las cargas de las columnas. ….(311) …………………………… (312) …………………………… (313)

8 ………………………………. (314) ………………………………. (315) 6. Dibuje los diagramas de corte y de momento para cada franja. La fig. 71, muestra algunas expresiones de momento en los apoyos y en los tramos, que pueden ser usadas para la obtención del acero. 7. Determine la altura de losa ubicando el corte último en cada franja y chequeando punzonado en las columnas. Seleccione el mayor valor de “d” obtenido. La fig. 72 muestra tres posibles casos donde debe chequearse el punzonado en una losa. 8. Determine el acero positivo y negativo en cada franja y en ambas direcciones.

9 Fig. 71.- Expresiones de momentos usadas para el diseño.
Fig (a) Punzonado en un lindero. (b) Punzonado en una esquina. (c) Punzonado en una de las columnas internas.

10 III.8.3.2.- Método flexible aproximado (Instituto Americano del Concreto)
El método de diseño convencional rígido, es asumido que la losa es infinitamente rígida. También es asumido que la distribución de la presión de la reacción del suelo, es uniforme o es un diagrama que varía linealmente, donde el centroide de éste coincide con la línea de acción de la resultante de todas las cargas de las columnas (fig. 73a). En el método flexible aproximado de diseño, el suelo es asumido ser equivalente a un número infinito de resortes elásticos, como se muestra en la fig. 73b. Esto es algunas veces referido como una fundación de Winkler. La constante elástica de los resortes asumidos es referido como el coeficiente de reacción de la subrasante (k). En el método flexible aproximado de diseño, el suelo es asumido ser equivalente a un número infinito de resortes elásticos fundación de Winkler constante elástica de los resortes asumidos es referido como el coeficiente de reacción de la subrasante Fig (a) Método convencional rígido. (b) Método flexible

11 ……………………………………………………………..(295) Permite definir la rigidez de la viga
Fig (a) Método convencional rígido. (b) Método flexible El diseño de fundación flexible, se explica a partir de una viga de ancho B, que tiene una longitud infinita, como se muestra en la fig. 73. La viga está sujeta a una carga concentrada simple Q. La ecuaciones que permiten relacionar la deflexión de la viga con la reacción del suelo, están establecidas por las ecuaciones presentadas en el punto III.8 y específicamente a partir de la ec. 295, la cual se repite aquí. ……………………………………………………………..(295) Permite definir la rigidez de la viga Tal como se indicó en el punto III.8.1, El American Concrete Institute Comité 436 (1966), el diseño de losas puede ser hecho por el método convencional rígido, si el espaciamiento de columnas en una banda son menores que 1.75/. Si el espaciamiento de columnas es mayor que 1.75/, el método flexible aproximado puede ser adoptado.

12 Para realizar el análisis de diseño estructural de una losa flexible, se debe conocer los principios de evaluación del coeficiente de reacción de la subrasante “k”. A continuación se presentan algunas consideraciones para la estimación de “k”: Si una fundación de ancho “B” está sujeta a una carga (esfuerzo) “q”, la cual produce un asentamiento “” a la fundación, el coeficiente de subrasante se define: ……………………………………………………………………(316) Las unidades de “k” son kg/cm3. Este coeficiente no es constante para determinado suelo. Su valor depende de varios factores, tales como la longitud (L) y ancho (B) de la fundación, así como también de la profundidad del empotramiento de la fundación. De acuerdo a Terzaghi (1955), el valor del coeficiente de reacción de la subrasante, decrece con el ancho de la fundación. Hemos visto, que el ensayo de placa, permite medir este coeficiente en campo, usando por lo general una placa rígida de 0.30 x 0.30 m ( 1 ft x 1 ft). Terzaghi (1955), relacionó el coeficiente kb obtenido por el ensayo de placa con el coeficiente que debe corresponderle a una fundación real cuadrada de dimensiones B x B, a través de la siguiente expresión: Para arenas: ………………………………………………………(317) Terzaghi K decrece con B

13 ………………………………………………………(317)
donde: k: Coeficiente de reacción de la fundación de dimensiones BxB. Kb: Coeficiente de reacción de la subrasante obtenido a través del ensayo de placa de dimensiones b x b. B: Ancho en metros (m) de la fundación real. Para arcillas: La ec. 317, se expresa como: Terzaghi K decrece con B (318) donde, B se expresa en metros (m). Para una fundación rectangular de dimensiones B x L, el coeficiente de reacción de la subrasante puede estimarse, por: (319)

14 N: Resistencia a la penetración corregido.
Si se considera que el módulo de Young de un suelo granular incrementa con la profundidad, y que el asentamiento de la fundación es dependiente del módulo de Young, se espera entonces que el coeficiente “k” de reacción de la subrasante, incremente cuando la profundidad de la fundación también incremente. Scott (1981), ha propuesto que para suelos arenosos, el valor de kb puede ser obtenido a partir de la resistencia de penetración estándar para cualquier profundidad, a través de: E incrementa con Z, y asentamiento depende E, se espera que “k” incrementeZ (MN/m3) ó (kg/cm3) ……………. (320) donde: N: Resistencia a la penetración corregido. Para vigas largas, Vesle (1961) propuso para la estimación del coeficiente de reacción de la subrasante, la siguiente ecuación: …………………...……………………(321) donde: Es: Módulo de Young del suelo. B: Ancho de la fundación. Ef: Módulo de Young del material de la fundación. If: Momento de inercia de la sección transversal de la fundación. : Coeficiente de Poisson.

15 El método flexible aproximado para el diseño de losas de fundación fue propuesto por Instituto Americano del Concreto (1966). El procedimiento de diseño primeramente está basado en la teoría de platos. Su uso permite que los efectos (momento, corte y deflexión) de la carga concentrada de una columna, en el área circundante sean evaluados. Si las zonas de influencia de dos ó más columnas, se solapan, el método de superposición puede ser usado para obtener el momento neto, corte y deflexión en algún punto. Los pasos para la aplicación del método son: Asuma un espesor “h” de la losa. Este puede ser obtenido del diseño por viga ancha usando los diagramas de corte. 2. Determine la rigidez flexural R de la losa a través de ………………………………………………………………(322) donde: Ef: Módulo de Young del material de fundación. f: Coeficiente de Poisson del material de fundación.

16 3. Determine el radio de rigidez
………………………………………………………….. (323) donde: L’: Radio de rigidez. k: Coeficiente de reacción de la subrasante. La zona de influencia de la carga de una columna será del orden de 3 a 4 L’. 4. Determine el momento en el sistema de coordenada polar en un punto, causado por la carga de la columna …………………………………….. (324) …………………………………….. (325) donde: Mt: Momento tangencial. Mr: Momento radial. Q: Carga que transmite la columna a la losa. r: Distancia radial a partir de la carga de la columna. A1, A2: Funciones de r/L’

17 Las variaciones de A1, A2 con r/L’ son mostradas en la fig. 74.
En el sistema de coordenadas cartesianos, los momentos producidos por las cargas de las columnas se expresan: ……………………………….(326) ……………………………….(327) 5. Determine la fuerza cortante (V) por unidad de ancho de losa causado por la carga de la columna. L’ radio de rigidez …………………………………………………………….(328) La variación de A3 con r/L’ se presenta en la fig. 74 6. Si la esquina de la losa está localizada en la zona de influencia de la columna, determine el momento y corte, a lo largo de la esquina, asumiendo que la losa es continua. Momento y corte, con signo opuesto a los determinados son aplicados a la esquina para satisfacer las condiciones conocidas.

18 s.r: r/L’ grandes, probablemente A2 será positivo y A1 será muy pequeño. Por tanto los momentos serán positivos. L’ radio de rigidez Fig Método flexible aproximado para el diseño de losas

19 Fig. 75.- Losa reforzadas con vigas
III Losas nervadas en ambas direcciones - Método de Marcus Loser. La fig. 75, muestra una losa rigidizada en ambos sentidos por vigas ó nervios; la fig, 76, presenta una losa apoyada en vigas riostras que amarran los cabezales de los diferentes grupos de pilotes; La fig. 77, corresponde a una losa que sirve de apoyo a muros construidos en direcciones ortogonales. En los tres casos el área total de la losa puede reducirse a placas de menor tamaño empotradas en sus bordes ó en algunos de sus bordes. Resultante debe pasar por baricentro de manera de tener una distribución uniforme o lineal. losa total se divide en losas o placas más pequeñas, que se consideran apoyadas o empotradas en las vigas Longitud de losas individuales apoyadas o empotradas en las vigas debe cumplir la siguiente relación: Longitud de losas individuales apoyadas o empotradas en las vigas Ly/Lx>2 ó Ly/Lx>0.5: se considera losa apoyada en forma continúa sobre vigas. Fig Losa reforzadas con vigas

20 Fig. 77.- Losas que sirven de apoyos a muros.
Fig Losa apoyadas en vigas riostras que amarran cabezales de pilotes. Fig Losas que sirven de apoyos a muros.

21 (b) Losa que trabajará en forma bidireccional las vigas.
En el diseño se considera que la resultante pasa por el baricentro del área total de la losa, de manera de tener una distribución uniforme o lineal de los esfuerzos de reacción del suelo. En las figuras 75, 76 y 77, se observa que la losa total se divide en losas o placas más pequeñas, que se consideran apoyadas o empotradas en las vigas o muros. Cada una de las losas individuales, debe cumplir la siguiente relación: ………………………………………………………………….(329) donde: Lx, Ly: lados de la placa Cuando no se cumple la ec. 329, la placa trabaja como una losa, donde casi la totalidad de las cargas se transmiten a las vigas perimetrales por flexión, en el sentido de la luz más corta. Considere que la losa I y II de la fig. 75, no cumple la ec. 329, en este caso para el diseño de la losa se consideran apoyadas en forma continua en las vigas de los ejes A, B y C (Lx < Ly), y el análisis se hace por metro lineal de viga (ver fig. 78a). Sin embargo considere que la losa III de la fig. 75, si cumple con dicha relación , en este caso el diseño debe hacerse tomando en cuenta que esta placa trabajará en forma bidireccional (ver fig. 78b). Considere que Losa I y II, no cumple con la condición Fig (a) Losa continua apoyada en las vigas en el sentido más corto. (b) Losa que trabajará en forma bidireccional las vigas.

22 Fig. 79.- Losa simplemente apoyada
Considere la losa de la fig. 79, la cual está simplemente apoyada en los lados y además cumple la ec El esfuerzo de reacción del suelo “q” que actúa sobre la placa debe ser menor o igual al esfuerzo admisible del suelo ( q  _adm). Las cargas qx y qy (cargas por metro lineal), indicadas en las franjas del área de la placa son fracciones de la carga total mayorada, resistida por las franjas centrales en las direcciones “x” y “y”. Losas simplemente apoyada que cumple: qx y qy: cargas por metro lineal mayoradas, resistida por las franjas centrales en las direcciones “x” y “y”. deflexión máxima en el punto central es la misma Fig Losa simplemente apoyada Como la deflexión máxima en el punto central es la misma para la franja “x” y la franja “y”, se plantea:

23 ………………………………………………..….. (331)
Deflexión en “y” Deflexión en “x” ……………………………………(330) No tomando en cuenta la diferencia de la inercia en ambos sentidos (altura útil diferente por la colocación de las barras unas sobre otras): Igualando flechas ………………………………………………..….. (331) También, se cumple: ……..…………………………………………………….. (332) Combinando las ec. 331 y 332 ……....(333)

24 también: ………………………………………………(334) Permite escribir: …………………………………………….. (335) Por tanto: ……………………………………………………. (336) ……………………….…………………………. (337)

25 Los valores de  depende de la relación de las luces Lx y Ly y del sistema de apoyos. La tabla 6, presenta expresiones de  para diferentes apoyos de losas: Tabla Nº 6.- Valores de  Formas de apoyos de la losa Losa simplemente apoyada Losa Empotrada por todos los lados 

26 Caso I Caso II Caso III Apoyo     0.50 0.0059 0.0946 0.059 0.0071
0.0888 0.135 0.0074 0.0801 0.238 0.55 0.0080 0.0883 0.064 0.0093 0.186 0.0709 0.314 0.60 0.0105 0.0813 0.115 0.0117 0.0730 0.245 0.0114 0.0620 0.393 0.65 0.0133 0.0744 0.152 0.0143 0.0654 0.309 0.0136 0.0538 0.472 0.70 0.0162 0.0676 0.194 0.0169 0.0582 0.375 0.0157 0.0463 0.546 0.75 0.0194 0.0611 0.240 0.0196 0.0515 0.442 0.0178 0.0396 0.613 0.80 0.0226 0.0551 0.291 0.0224 0.0455 0.506 0.0198 0.0338 0.672 0.82 0.0239 0.0529 0.311 0.0235 0.0432 0.531 0.0206 0.0318 0.693 0.84 0.0252 0.0507 0.332 0.0246 0.0411 0.555 0.0214 0.0298 0.713 0.86 0.0266 0.0486 0.354 0.0257 0.0391 0.578 0.0221 0.0279 0.732 0.88 0.0280 0.0466 0.0269 0.0371 0.600 0.0228 0.0262 0.750 0.90 0.0293 0.0447 0.396 0.0352 0.612 0.766 0.92 0.0307 0.0429 0.416 0.0291 0.0335 0.642 0.0242 0.0231 0.782 0.94 0.0321 0.0412 0.438 0.0302 0.661 0.0249 0.0217 0.797 0.96 0.0336 0.0395 0.459 0.0313 0.680 0.0255 0.0203 0.809 0.98 0.0350 0.0380 0.480 0.0324 0.0287 0.698 0.0261 0.0191 0.822 1.00 0.0365 0.500 0.0334 0.0272 0.714 0.0267 0.0179 0.833 1.02 0.0379 0.520 0.0345 0.0258 0.730 0.0273 0.844 1.04 0.0394 0.0337 0.539 0.0355 0.0245 0.745 0.0278 0.0159 0.854 1.06 0.0409 0.558 0.0233 0.759 0.0283 0.0149 0.863

27 Caso I Caso II Caso III Apoyo 1.08 0.0424 0.0312 0.576 0.0375 0.0221
0.773 0.0288 0.0140 0.872 1.10 0.0439 0.0300 0.594 0.0384 0.0210 0.785 0.0293 0.0132 0.880 1.12 0.0454 0.611 0.0394 0.0200 0.797 0.0297 0.0124 0.887 1.14 0.0469 0.0278 0.628 0.0403 0.0190 0.808 0.0301 0.0117 0.894 1.16 0.0484 0.0267 0.644 0.0412 0.0180 0.819 0.0304 0.0110 0.901 1.18 0.0499 0.0257 0.660 0.0420 0.0171 0.829 0.0309 0.0104 0.907 1.20 0.0514 0.0248 0.675 0.0429 0.0163 0.838 0.0313 0.0098 0.912 1.25 0.0551 0.0226 0.709 0.0448 0.0144 0.859 0.0322 0.0085 0.924 1.30 0.0588 0.0206 0.741 0.0467 0.0127 0.877 0.0330 0.0074 0.935 1.35 0.0623 0.0188 0.769 0.0113 0.893 0.0337 0.0065 0.943 1.40 0.0657 0.794 0.0100 0.906 0.0343 0.0057 0.951 1.45 0.0690 0.0156 0.816 0.0513 0.0089 0.917 0.0348 0.0050 0.957 1.50 0.0721 0.0142 0.835 0.0526 0.0079 0.927 0.0353 0.0044 0.962 1.60 0.0776 0.0118 0.868 0.0547 0.0063 0.0362 0.0035 0.970 1.70 0.0829 0.0099 0.0567 0.0051 0.954 0.0369 0.0028 0.977 1.80 0.0873 0.0082 0.913 0.0587 0.0042 0.963 0.0374 0.0022 0.981 1.90 0.0912 0.0070 0.929 0.0600 0.0034 0.970 0.0379 0.0018 0.975 2.00 0.0946 0.0059 0.942 0.0606 0.0028 0.976 0.0383 0.0015 0.988

28 Cont tabla 6, da valores de  para diferentes valores de .
Apoyo Caso IV Caso V Caso VI     0.50 0.0037 0.0589 0.059 0.0041 0.0560 0.111 0.0023 0.0366 0.55 0.0051 0.0561 0.084 0.0053 0.0523 0.155 0.0032 0.0352 0.064 0.60 0.0059 0.0530 0.115 0.0072 0.0484 0.206 0.0044 0.0336 0.65 0.0089 0.0496 0.152 0.0091 0.0443 0.263 0.0057 0.0318 0.70 0.0111 0.0462 0.192 0.0110 0.0401 0.324 0.0299 0.194 0.75 0.0135 0.0427 0.240 0.0131 0.0361 0.388 0.0088 0.0279 0.80 0.0161 0.0393 0.291 0.0151 0.0323 0.450 0.0106 0.0258 0.82 0.0171 0.0379 0.311 0.0159 0.0308 0.475 0.0113 0.0250 0.84 0.0182 0.332 0.0167 0.0294 0.499 0.0120 0.0242 0.86 0.0193 0.0353 0.354 0.0175 0.0280 0.523 0.0128 0.0233 0.88 0.0204 0.0340 0.375 0.0183 0.0267 0.545 0.0225 0.90 0.0215 0.0327 0.396 0.0191 0.0254 0.568 0.0143 0.0217 0.92 0.0226 0.0315 0.417 0.0198 0.589 0.0150 0.0210 0.94 0.0237 0.0303 0.438 0.0205 0.0230 0.610 0.0158 0.0202 0.96 0.0248 0.0291 0.459 0.0213 0.0219 0.630 0.0165 0.0194 0.98 0.480 0.0220 0.0208 0.649 0.0172 0.0187 1.00 0.0269 0.500 0.667 0.0179 1.02 0.0259 0.520 0.0188 0.684 1.04 0.539 0.0239 0.701 1.06 0.0301 0.0238 0.558 0.0246 0.0170 0.716 0.0200

29 1.08 0.0311 0.0229 0.576 0.0252 0.0161 0.731 0.0207 0.0152 1.10 0.0322 0.0220 0.594 0.0257 0.0153 0.745 0.0214 0.0146 1.12 0.0332 0.0211 0.611 0.0263 0.759 0.0140 1.14 0.0342 0.0202 0.628 0.0269 0.0138 0.772 0.0227 0.0134 1.16 0.0351 0.0194 0.644 0.0274 0.0131 0.784 0.0233 0.0129 1.18 0.0361 0.0186 0.660 0.0279 0.0125 0.795 0.0239 0.0123 0.650 1.20 0.0370 0.0179 0.675 0.0284 0.0119 0.806 0.0244 0.0118 1.25 0.0393 0.709 0.0295 0.0105 0.830 0.0258 0.0106 1.30 0.0414 0.0145 0.741 0.0305 0.0092 0.851 0.0271 0.0095 1.35 0.0434 0.769 0.0314 0.0082 0.869 0.0283 0.0052 1.40 0.0452 0.794 0.0072 0.885 0.0293 0.0076 1.45 0.0469 0.816 0.0330 0.0064 0.898 0.0303 0.0069 1.50 0.0485 0.0096 0.835 0.0337 0.0057 0.910 0.0312 0.0062 1.60 0.0513 0.0078 0.868 0.0348 0.0046 0.930 0.0327 0.0050 1.70 0.0537 0.893 0.0358 0.0037 0.944 0.0340 0.0041 1.80 0.0557 0.0053 0.913 0.0365 0.0030 0.955 0.0033 1.90 0.0574 0.0044 0.929 0.0371 0.0024 0.963 0.0360 0.0028 2.00 0.0589 0.942 0.0377 0.0020 0.970 0.0367 0.0023

30 Fig. 80.- Representación de los casos I, II y III.
La fig. 80, presenta las franjas representando las cargas de los casos I, II y III, dados en la tabla 6. Los momentos máximos en el centro de los tramos de las franjas se estiman, a través de: ……………………………………………… (338) ……………………………………………… (339) donde: , : Factores obtenidos de la tabla 6 Fig Representación de los casos I, II y III.

31 III.8.3.4.- Método de diferencias finitas
El método se aplica considerando la hipótesis simplificada de Winkler, a una viga sobre fundación elástica, donde el suelo se remplaza por una serie de resortes, tal como se ha indicado en segmentos anteriores. La fig. 81, presenta una viga de sección uniforme, en la cual la carga externa, son: dos cargas puntuales (P1 y P2), un momento (M1) y una carga uniformemente repartida (w). Cargas sobre la viga aplica considerando la hipótesis simplificada de Winkler viga de sección uniforme 1,2,..7: Nodos 1-2: Segmento 1 2-3: Segmento 2 6-7: Segmento 6 L1x B, L2xB, ...L7xB: Area tributaria Q1, Q2, ..Q7: Carga en cada nodo Q1, q2, ..q7: Reacción en cada segmento una viga sobre fundación elástica suelo se remplaza por una serie de resortes Fig Segmentos en la viga para la aplicación del método de diferencias finitas.

32 El procedimiento es el siguiente:
Divida la viga en “n” segmentos de igual longitud (fig. 81, 6 segmentos). Defina (n+1) nodos en los extremos de cada segmento (fig. 81, 7 nodos). Defina el área tributaria para cada nodo (fig. 81, 7 áreas tributarias). En cada nodo actúa Una carga aplicada Qi (Q1, Q2, ...., Q7). En cada área tributaria de los nodos existirá la reacción de suelo (q1, q2, ....q7). La reacción del suelo estará determinada según la hipótesis de Winkler, es decir: ………………………………………………………………(340.1) …………..…………………………………………………(340.2) …………………………………………………………….(340.3) donde: k: Coeficiente de balasto. y1,y2,y3: Deflexión de la fundación. La fuerzas aplicadas en cada nodo, se aplica a la fuerza que produce la reacción del suelo (qi) definidas en el punto anterior, es decir

33 …….…………………………..……(341.1) .…………....………………..….(341.2) .…………………………………(341.3) Luego se toman momentos en los nodos intermedios (nodo 2, 3, ....6). Resultan 5 ecuaciones. Aquí las fuerzas Q1, Q2, .., Q7, se sustituyen por la ec También debe tenerse presente que los momentos en los nodos tienen que ser igual a los determinados a través de la ec. 283. (342.1) (342.2)

34 (342.3) (342.4) (342.5) Luego se hace suma de fuerzas verticales y de momento en el nodo 7. (343) (344) En este caso con las 5 ecuaciones 342, y la ec. 343 y 344, se establece un sistema matricial que permite determinar las deflexiones de la fundación, y conocidas las mismas, se determina momentos, reacción del suelo y cortes.