Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Presentación del tema: "Apuntes de Matemáticas 3º ESO"— Transcripción de la presentación:

1 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
U.D * 3º ESO E.AC. PROGRESIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
U.D * 3º ESO E.AC. PROBLEMAS CON P.A. Y P.G. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

3 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Problema_1 Mónica le dice a Carlos: “Tu me das 0,01 € un día, 0,02 € otro día, 0,04 € otro día, y así sucesivamente durante un mes. A cambio yo te doy 1 € un día, 2 € otro día, 3 € otro día, y así hasta un mes. ¿Aceptas?. “ Carlos enseguida aceptó, pues parecía muy evidente que a cambio de muy pocos euros se iba a llevar algunos cientos de euros. ¿Quien crees que salió perdiendo?. RESOLUCIÓN: Lo que da Mónica a Carlos: ( an )= 1 , 2 , 3 , 4 , 5, … Es una PA, donde a1 = 1 , d = 1 y n = 30 Lo que da Carlos a Mónica: ( an )= 0,01 , 0,02 , 0,04 , 0,08, … Es una PG, donde a1 = 0,01 , r = 2 y n = 30 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

4 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Para hallar la suma de todo lo que le da Mónica a Carlos y viceversa necesitamos saber el valor del último término, lo que se dan mutuamente el último día. Lo que da Mónica a Carlos el último día: a30 = a1 + (n-1).d = 1 + (30 – 1).1 = = 30 € Lo que da Carlos a Mónica el último día: n a30 = a1 . r = 0, = € Veamos ahora la suma de ambos: Lo que da Mónica a Carlos en total: S = (a1 + a30 ). 15 = (1+30).15 = = 465 € Lo que da Carlos a Mónica en total: S = (a1 - a30 . r ) / ( 1-r) = (0,01 – ) / (1- 2) = € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

5 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Problema_2 Al pagar una motocicleta, nos ofrecen la posibilidad de hacerlo en cómodos plazos mensuales (letras). El 1º mes pagamos 100 € y cada uno de los once meses restantes el 5% más que el mes anterior. ¿Qué tipo de progresión es?. ¿Qué pagaremos el último mes?. ¿Cuáles han sido los intereses si la motocicleta costaba 1200 €?. Resolución: a1 = 100 a2 = %(100) = = 105 a3 = %(105) = ,25 = 110,25 Vemos que no es una PA pues la diferencia no es constante. 105 – 100 <> 110,25 – 105 a2 = a1 r  r = a2 / a1 = 105 /100 = 1,05 a3 = a2 r  110,25 = 105.1,05  110,25 = 110,25 Vemos que es una PG de razón 1,05 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

6 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
… Resolución: El último mes habremos pagado por la letra: a12 = a1 . 1,0511 = ,71 = 171 € En total habremos pagado por la motocicleta: S = a1 .(1 – rn)/ (1 – r) = 100 .(1 – 1,0512)/ (1 – 1,05) = = 100 ( 1 – 1,7958)/(– 0,05) = – 79,58 / (– 0,05) = 1592 € Intereses abonados: 1592 – 1200 = 392 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

7 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Interés simple El dinero depositado en un banco se llama CAPITAL. La cantidad de dinero que paga el banco por el capital depositado se llama INTERÉS. El dinero que paga el banco al año por cada 100 € depositados se llama TIPO DE INTERÉS o RÉDITO El interés es DIRECTAMENTE PROPORCIONAL al capital, al rédito y al tiempo. C . r . t C . r . t C . r . t i = ; i = ; i = , según se mida el tiempo en años, meses o días. O sea Interés = C.r.t ,, Capital final = C + C.r.t, que es una P.A. Es una PA porque cada año nos dan los mismos intereses d = C.r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

8 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Ejemplo_1 Un grupo de estudiantes tiene € para un viaje fin de estudios a realizar dentro de dos años, dos meses y 20 dias. Un banco les ofrece un rédito del 3%. ¿Qué dinero obtendrían si lo colocan a 2 años? ¿Y si lo colocan a 26 meses? ¿Y si lo colocan a 800 días? C . r . t i = = = 300 € C . r . t i = = = 325 € C . r . t i = = = 367 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

9 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Ejemplo_2 ¿Qué rédito me debe ofrecer un banco si deseo que al cabo de 20 meses un capital de 5000 € se me convierta en 6000 €? Quiero que i = 6000 Luego debo conseguir unos intereses de 1000 €. C . r . t r. 20 i = ; = ; Resolviendo la ecuación: = r  r = / = 12 El tipo de interés debe ser del 12%. Nota: Un rédito tan alto es impensable conseguirlo actualmente. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

10 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Interés compuesto En el interés compuesto, tras cada periodo de tiempo ( años, meses o días), el interés producido se suma al capital. En el primer año: Capital final = C + C.r/100 = C.(1+ r/100) En el segundo año: Capital final = (C + C.r/100) + (C + C.r/100).r/100 Sacando factor común a (C+C.r/100) Capital final = (C + C.r/100).(1+r/100) = C.(1+r/100).(1+r/100) = C.(1+r/100)2 En el tercer año: Capital final = C.(1+r/100)2 + C.(1+r/100)2 .r/100 = C.(1+ r/100)3 Al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+ r/100)t @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

11 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Interés compuesto El interés compuesto es una progresión geométrica. Al cabo de t años tendremos: Capital final = C.(1+ r/100)t Cf = C.(1+ r/100)t Comparando con la fórmula de las PG: an = Cf a1 = C r (razón) = (1+ r(rédito)/100) n – 1 = t @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

12 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Ejemplo 1 Deposito en un banco € a un interés (compuesto) del 5%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = C.(1+r)t Capital final = 5000.(1+0,05)10 = 8144,47 € Ejemplo 2 Deposito en un banco € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 20 meses?. Utilizando la fórmula, al cabo de 20 meses tendremos: Capital final = C.(1+r/1200)m Capital final = (1+0,04/12)20 = (1+0,003334)20 = ,34 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

13 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Ejemplo_3 Un piso me ha costado €. Cada año se revaloriza un 10%.¿Qué valdrá al cabo de 15 años. Utilizando la fórmula, al cabo de 15 años tendremos: Capital final = C.(1+r)t Capital final = (1+0,1)15 = € Ejemplo_4 Un coche me ha costado €. Cada año que pasa pierde un 20% de su valor. ¿Qué valdrá al cabo de 20 años. Utilizando la fórmula, al cabo de 20 años tendremos: Valor final = P.(1+ r)t Valor final = (1 – 20/100)20 = = ,8020 = ,01153 = 138,35 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO