SISTEMAS DE COORDENADAS Y TRANSFORMACIONES

Presentación del tema: "SISTEMAS DE COORDENADAS Y TRANSFORMACIONES"— Transcripción de la presentación:

1 SISTEMAS DE COORDENADAS Y TRANSFORMACIONES

2 ASTRONOMIA Y GEODESIA

3 OBJETIVO GENERAL Conocer, Definir, Aplicar, Analizar
los diferentes sistemas de coordenadas y sus transformaciones

4 SISTEMAS DE COORDENADAS
Introducción Identificación de la longitud y la latitud COORD. GEOGRAFICAS Sistema de coordenadas cartesianas Sistema de coordenadas tridimensionales geográficas. Sistema de coordenadas tridimensionales cartesianas Coordenadas planas, proyecciones.

5 II TRANSFORMACION DE COORDENADAS
TEMAS II TRANSFORMACION DE COORDENADAS Transformación de coordenadas cartesianas Transformación de coordenadas geográficas a cartesianas Transformación de coordenadas geográficas a planas

6 INTRODUCION     Si trazamos en torno de la tierra una serie de anillos paralelos al ecuador y luego una segunda serie, esta vez de anillos perpendiculares al ecuador y convergentes en ambos polos, tendremos una red de líneas de referencia que nos servirán para localizar con exactitud cualquier punto de la superficie terrestre.

7 LATITUD La distancia que media entre un punto determinado y el ecuador se llama latitud. Esta será "Norte" o "Sur" según que el punto esté situado al Norte o al Sur del ecuador. Los anillos que corren paralelamente al ecuador reciben el nombre de "paralelos de latitud" o, simplemente, paralelos.

8 LONGITUD Los anillos de la segunda serie, que forman ángulo recto con los paralelos y pasan por los polos, se conocen por el nombre de "meridianos de longitud" o, mas sencillamente, meridianos. Estos van de Norte a Sur, pero las distancias Este-Oeste se miden entre un meridiano y otro. Se dirá, pues, longitud "Este" u "Oeste" respecto del primer meridiano.

9 COORDENADAS GEOGRAFICAS IDENTIFICACION
    Las coordenadas geográficas se expresan en medidas angulares. A partir de 0º en el ecuador, los paralelos de latitud van numerándose hasta 90º, tanto hacia el Norte como hacia el Sur. Los extremos son el Polo Norte, a 90º de "latitud Norte", y el Polo Sur, a 90º de "latitud Sur".     Comenzando de 0º en el primer meridiano, la longitud se mide al Este o al Oeste. Las líneas situadas al Este del primer meridiano se expresan en grados (hasta 180º) de "longitud Este". También aquí debe siempre mencionarse la dirección (E u O). La longitud de la línea opuesta (180º) al primer meridiano se llama indiferentemente "Este" u "Oeste". Por ejemplo, resumiendo lo que acabamos de ver, la "x" en la figura representa un punto situado a 39º de latitud Norte y 9º de longitud Oeste. En forma escrita, la latitud de indica siempre en primer lugar. Sus coordenadas geográficas se expresaran por lo tanto de la siguiente manera: 39ºN  95ºO.    

10 COORDENADAS GEOGRAFICAS
Los valores de las coordenadas geográficas, formulados en unidades de medición angular, tendrán mas sentido para nosotros si comparamos dichas unidades con otras que nos resulten mas familiares. Así, en cualquier punto de la Tierra, la distancia lineal equivalente a 1º de longitud es de unos 111 km; 1 segundo equivale poco mas o menos a 30 m.     La distancia correspondiente a 1º de latitud en el ecuador es también de unos 111 km, pero disminuye a medida que nos movemos hacia el Norte o el Sur, hasta llegar a cero en los polos.

11 INTRODUCION Si se nos ocurre la idea de situar un punto en el espacio, debemos indefectiblemente utilizar un sistema de coordenadas basado en tres ejes perpendiculares entre sí. Respuesta a las necesidades que cubren los sistemas de distribución y desalojo.

12 SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONALES CARTESIANAS
El punto O, donde se cruzan los tres ejes, lo colocaremos en el centro de la Tierra. Al eje Z, lo colocaremos de manera que coincida con el eje de rotación del planeta. Para terminar, haremos coincidir el plano definido por OXZ con un meridiano de origen (Greenwich, Paris, etc.). Acabamos de definir un sistema geodésico de referencia. Con este sistema de coordenadas, cualquier punto M puede ser situado con exactitud gracias a tres valores: X,Y,Z. (m)

13 INTRODUCION Como es terriblemente complicado tratar de encontrar coordenadas que sigan punto a punto la forma del geoide, la gran mayoría de los geofísicos han optado por trabajar con una forma simple, el elipsoide, es decir una esfera achatada en los polos. La figura siguiente muestra las dos formas mencionadas. . Como se ve en este esquema, el elipsoide es una manera de aproximación de la forma real de la Tierra, pero según el lugar considerado, esta aproximación podrá situarse sea por encima, sea por debajo de la verdadera superficie terrestre

14 INTRODUCION Surge 1º constatación : como el geoide es de forma irregular, la definición del centro de la Tierra no es indiscutible (como lo sería en el caso de una esfera. Cada uno puede definir, a partir de su centro de la Tierra, un elipsoide diferente, es decir una sección elíptica con un gran eje y un coeficiente de achatamiento mejor adaptado a la zona en la cual trabajan. Para situar un punto, a esta altura, necesitaremos un sistema de coordenadas tridimensionales geográficas.

15 SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONALES GEOGRAFICAS
Este sistema necesita que definamos un centro de la tierra (O), un gran eje del elipsoide (a) y un coef. de achatamiento (e). Un punto M será situado gracias a tres coordenadas: λ : la longitud, ángulo entre el plano del meridiano de origen y el meridiano sobre el cual se sitúa M. ø: la latitud, ángulo entre la perpendicular al elipsoide que pasa por M y el plano ecuatorial. h : la altura de M por encima del elipsoide, medida sobre la perpend. entre M y el elipsoide.

16 SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONALES GEOGRAFICAS
Cuando se obtiene una posición en grados de longitud y de latitud, no alcanza como información para situar ese punto : es necesario saber cual sistema geodésico y qué elipsoide de referencia se han utilizado Contrariamente a una idea general entre quienes trabajan en los distintos campos de la ecología, una posición en latitud-longitud no es única de por sí: según el sistema utilizado la posición real de un valor latitud-longitud puede estar hasta 500m de distancia el uno del otro

17 SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONALES GEOGRAFICAS

18 COORDENADAS PLANAS Para obtener este tipo de coordenadas es necesario representar sobre un plano la superficie del elipsoide. Obtenemos entonces una representación plana o proyección. Cuando realizamos esta operación, perdemos parte de la información, es decir que perdemos la altura (h). Pero como en nuestro trabajo este tipo de información, cuando es utilizado, se maneja por separado, esto no representa un problema. El punto M será situado ahora con respecto a un punto o, arbitrario, y de dos distancias N (por Norte) y E (por Este), respectivamente medidas sobre dos ejes perpendiculares a partir de o. Generalmente, estas distancias están medidas en metros. Existen numerosos tipos de proyecciones diferentes, pero las que nos interesan en particular son las proyecciones Mercator (utilizada por el SOHMA) y Gauss (utilizada por el Geográfico Militar).

19 CONCLUSIONES Aquí se impone una precisión es importante entender esta parte que sigue ya que les evitará un trabajo inútil. Para situar un punto sobre una carta marina, se pueden usar dos tipos de escalas situadas sobre los bordes de la misma : una escala en grados, y una escala en metros. Si se utiliza la escala en grados, las posiciones no estarán en la proyección Mercator, estarán en coordenadas geográficas. Si se utiliza la escala en metros, las posiciones estarán dadas en coordenadas planas y sí, estarán en proyección Mercator. Veremos a continuación cómo realizar la transformación entre tipos de coordenadas, y quedará más claro que según qué escala se use, el trabajo a realizar será diferente

20 TRANSFORMACION DE COORDENADAS
Diferentes tipos de transformación posibles

21 TRANSFORMACION DE COORDENADAS TRANSFORMACION POLINOMIAL
Diferentes tipos de transformación posibles MODELO DE TRANSFORMACION SISTEMA A → SISTEMA B ← ↔ SIMILITUD 3D Con 7 parámetros CARTESIANAS CARTESIANAS ← → ↔ ↔ FORMULAS MOLODENSKI GEOGRAFICAS ← → GEOGRAFICAS ↔ ↔ TRANSFORMACION POLINOMIAL PLANAS PLANAS ← →

22 TRANFORMACION DE COORDENADAS
Solamente si el elipsoide y el sistema geodésico de ambas coordenadas son idénticos .se puede pasar de un tipo de coordenadas planas, geográficas y cartesianas a otro De la misma manera, las fórmulas de Molodensky permiten pasar de un elipsoide a otra, solamente si el sistema geodésico es el mismo.

23 TRANSFORMACION DE COORDENADAS
Ejemplo ¿cómo se debe proceder? Si se tienen valores de latitud y longitud de un GPS, calibrado en WGS84 y se desea transformarlos en metros Gauss deberán seguirse los siguientes pasos: primero, se deben transformar las coordenadas geográficas en coordenadas cartesianas; segundo, cambiar de sistema geodésico gracias a una operación de similitud 3D; tercero, pasar las coordenadas cartesianas en el nuevo sistema a coordenadas geográficas; cuarto, proyectar las nuevas coordenadas geográficas en coordenadas planas, es decir en metros Gauss.

24 TRANFORMACION DE COORDENADAS CARTESIANAS (Similitud 3D)
Para pasar de un sistema geodésico a otro, en principio son necesarias tres operaciones : Una traslación del centro de la Tierra O con un  x,  y ,  z (por supuesto si los dos sistemas no tienen el mismo centro) Una rotación (si los tres ejes no son paralelos entre sí) Un cambio de escala (si las unidades utilizadas no son las mismas) En todos los casos que se presentan para nuestro trabajo, afortunadamente, los ejes son paralelos y las escalas son las mismas. por lo tanto, la única operación necesaria es la traslación del punto O.

25 TRANFORMACION DE COORDENADAS GEOGRAFICAS A CARTESIANAS
Para pasar de coordenadas geográficas a coordenadas cartesianas, hay que resolver el problema planteado por el hecho que la latitud es el ángulo formado por la perpendicular a la elipsoide con el plano ecuatorial. Como se puede ver en el esquema, la perpendicular a la elipsoide no pasa por el centro de la Tierra. Para calcular las coordenadas cartesianas es necesario calcular primero la distancia NM, llamada gran normal(N). Una vez calculada esta gran normal, las fórmulas siguientes permiten calcular fácilmente X, Y et Z. X= (N+h) cosλ cosφ Y= (N+h) cos λ sinφ Z= N(1-e²) sinφ

26 TRANFORMACION DE COORDENADAS CARTESIANAS A GEOGRAFICAS
El mecanismo inverso al precedente es más complicado. El cálculo de la longitud se hace gracias a una fórmula simple. Pero para calcular la latitud, no existe fórmula simple, y es necesario un cálculo por iteraciones sucesivas. El método utilizado por el Instituto Geográfico Nacional Francés, y que hemos adoptado en nuestros programas, es el método de Heiskanen-Moritz-Boucher. Lo que realmente importa retener de este cálculo, es que, no habiendo una fórmula exacta, los resultados pueden ser ligeramente diferentes según el método empleado. Como siempre, esto no es importante mientras las diferencias sean menores que la precisión de nuestros valores.

27 TRANFORMACION DE COORDENADAS GEOGRAFICAS A PLANAS
Se utiliza una representación plana (o proyección) de la Tierra con el objetivo de : Representar sobre una superficie plana parte de un modelo elipsoidal de la superficie terrestre, Obtener valores métricos mas prácticos de utilización que las unidades angulares, Facilitar la evaluación de las distancias. Pero no se puede efectuar una proyección sin provocar algún tipo de deformación .Para convencerse alcanza con intentar achatar la cáscara de una naranja. No obstante, por cálculo, se puede definir el tipo y los parámetros de una proyección para minimizar ciertas deformaciones.

28 TRANFORMACION DE COORDENADAS GEOGRAFICAS A PLANAS
Se opta entonces por : respetar los valores de las superficies (proyecciones equivalentes), respetar localmente los ángulos (proyecciones conformes), no respetar ni las superficies ni los ángulos (proyecciones afilácticas). Se dice de una proyección que es equidistante cuando la misma respeta las distancias a partir de un punto dado. En todos los casos, ninguna proyección puede conservar todas las distancias. Se introducen entonces las nociones de módulo lineal y de alteración lineal. Hoy por hoy, la mayoría de las proyecciones utilizadas en geodesia y en topografía son del tipo conforme. Cuando se hace cartografía a pequeña escala, se utilizan a menudo las proyecciones equivalentes.

29 PRINCIPALES GRUPOS DE PROYECCIONES
Proyección cilíndrica : la superficie de proyección es un cilindro tangente o secante al modelo terrestre ( Ej : UTM, Gauss...) Representación cilíndrica Representación cilíndrica Representación cilíndrica directa oblicua transversa

30 PRINCIPALES GRUPOS DE PROYECCIONES
Proyección cónica : la superficie de proyección es un cono tangente o secante Representación cónica Representación cónica directa tangente directa secante

31 EJEMPLO COORDENADAS UTM

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33 SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRAFICAS EN PLANAS
La proyección de las coordenadas geográficas en metros Gauss, por ejemplo. La representación Gauss es una proyección cónica conforme : si se proyecta el elipsoide sobre un plano, los paralelos se transforman en círculos concéntricos con un centro (P) ubicado en el polo Sur, mientras que los meridianos se transforman en rectas convergentes en ese punto P.

34 SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRAFICAS EN PLANAS
Para situar un punto en este tipo de proyección alcanza con dar la distancia de ese punto con respecto al punto P y su ángulo (  ) con respecto a un meridiano de referencia. Este tipo de posicionamiento es llamado coordenadas angulares. El defecto de este sistema es su poca practicidad cuando se debe situar un punto sobre un mapa. Un sistema más práctico es ubicar todo punto usando dos coordenadas X e Y, distancias calculadas con respecto a un punto arbitrario llamado origen de la proyecciones. Para no confundir las coordenadas planas con las coordenadas cartesianas se prefiere llamarlas E (Este) en lugar de X y N (Norte) en lugar de Y.

35 Fórmulas para la transformación entre dos sistemas geodésicos de coordenadas tridimensionales cartesianas o geográficas Sistema geodésico, elipsoide y coordenadas.  Un sistema geodésico tridimensional es un sistema de referencia ortogonal (o, X, Y, Z) en el cual los vectores básicos pueden ser considerados como de la misma norma. Tanto para un sistema global (relacionado con una técnica espacial: Doppler, por ejemplo) como para un sistema geodésico terrestre (punto fundamental, etc.), su origen o se encuentra en las cercanías del centro de masa de la Tierra, su eje oZ se aproxima al eje de los polos y oX define el meridiano de origen (Greenwich, Paris, etc.).Con este tipo de sistema se puede asociar a todo punto P un trío de coordenadas cartesianas (X, Y, Z). Tradicionalmente se define un elipsoide de revolución en torno de oZ como pequeño eje y de centro o, a fines de aproximación de la superficie terrestre, o más exactamente de una superficie equi-potencial vecina tomada como referencia (geoide). La forma de este elipsoide esta definida por dos parámetros independientes, elegidos generalmente entre los siguientes: a : semi-eje principal b : semi-eje secundario e : excentricidad f : aplastamiento

36 El valor de estos parámetros depende de la técnica de estimación.
 Las fórmulas siguientes establecen las relaciones entre estos parámetros: El valor de estos parámetros depende de la técnica de estimación.                 

37 Los elipsoides asociados a los sistemas espaciales están determinados como elipsoides globales promedio según las técnicas geométricas y dinámicas. Sus dimensiones son relativamente cercanas. Por ejemplo, el sistema oficial de la AIG(1967) (GRS67) es : a= m f-1=298,247167 Los valores recomendados en 1975 por la AIG son: a= 6 378  140 m f-1=298,257 Los elipsoides relacionados con los sistemas de origen terrestre han sido elegidos sobre todo como una aproximación de una región específica del geoide (un país, un continente, etc.). Los valores son bastante disímiles. En la tabla 1 se pueden ver diversos valores de elipsoides utilizados. Habiendo elegido un elipsoide asociado a l sistema (o, X, Y, Z), se puede entonces definir para cada punto P (salvo en ciertos lugares especiales como el eje de los polos) un trío de coordenadas geográficas (λ, φ , he) donde: λ : es la longitud geográfica, φ : es la latitud geográfica, he : es la altura con respecto al elipsoide. Estos valores están definidos tomando el semi-plano meridiano que contiene P y la normal a partir de P con respecto al elipsoide cuyo pie Pe se halla en ese semi-plano.  es el ángulo diedro entre el sem.-meridiano de origen y ese semi-meridiano (- o 02)

38  es el ángulo entre la normal y el plano oXY, he es la distancia algebraica , tomando como vector unidad el vector normal unidad exterior ( figura 1). Sin entrar en los detalles fundamentales de la geometría de la elipse de revolución, aplicaremos las fórmulas siguientes:  La gran normal (N) :                      el radio de curvatura (M) de la elipse meridiana:         (2)         (3) En estas condiciones, la transformación de las coordenadas entre (X,Y,Z) y (λ, φ , he) se obtiene como se describe a continuación: A) (λ, φ , he)  (X,Y,Z) X= (N+he) cos λ cos φ Y= (N+he) cos λ sin φ                 Z= [N (1-e²)+ he] sin φ Donde :

39 B) (X,Y,Z)  (λ, φ , he) Un gran número de algoritmos han sido propuestos para realizar esta transformación (algebraicos, iterativos, etc.). Damos aquí a título de ejemplo el algoritmo iterativo de HEISKANEN-MORITZ (1967) modificado por BOUCHER(1977).

40 TRANSFORMACION DE SISTEMAS GEODESICOS
Dado dos sistemas geodésicos (1) y (2), y admitiendo la posibilidad que los dos conjuntos de vectores de base no tengan la misma norma (problema de escala o de definición de las unidades de distancia), la transformación más corriente será una similitud (con 7 parámetros: 3 de translación, 3 de rotación y 1 de factor de escala). Si (Xi, Yi, Zi) son las coordenadas de un punto P en el sistema (i), con i=1 o 2, la transformación será, matricialmente: TX, TY, y TZ son los tres parámetros de translación. ∆ es el factor de escala R es una matriz de rotación dependiente de tres parámetros. Como se ha dicho anteriormente, los diferentes sistemas no son demasiado distantes, lo que numéricamente, significa que: TX, TY, y TZ no exceden algunos centenares de metros; Que ∆ no excede algunos 10-6; Que R es una rotación infinitesimal:

41 TRANSFORMACION DE SISTEMAS GEODESICOS
donde ω,Ψ y ε  son rotaciones sobre X, Y, Z que no exceden algunos segundos de arco. Se observa entonces que (5) puede ser remplazada a un nivel milimétrico por su modelo linealizado:

42 TRANSFORMACION DE SISTEMAS GEODESICOS
Cuando se desea interpretar correctamente estos 7 parámetros, se debe considerar (5) como la expresión de pasaje de (2)(1). Se tiene entonces que: (TX, TY, TZ) son los componentes de (2) del punto 01, o dicho de otra forma (al mm), los componentes en (2) o en (1) del vector . 1 +  es el cociente donde e i es un vector de base de (i), es decir donde Di es una distancia expresada por las coordenadas (i) : , ,  son las rotaciones sobre X, Y, y Z para llevar la base (2) sobre la base (1).

43 TRANSFORMACION DE SISTEMAS GEODESICOS
Dados dos sistemas (1) y (2) a los cuales se han asociado los elipsoides (a1, f1) y (a2, f2) respectivamente, se puede calcular la relación entre las coordenadas geográficas (λ1, φ 1, he1) y (λ2, φ2, he2) de un punto P. La transformación exacta es:

44 TRANSFORMACION DE SISTEMAS GEODESICOS
La expresión de las variaciones: D λ   =  λ 2  - λ 1 Dφ   =  φ 2 - φ 1 Dhe =  he2 – he1 en función de los 9 parámetros necesarios: TX, TY, TZ, , , , , Da = a2-a1 y Df = f2-F1 son el objeto de las fórmulas diferenciales dadas a continuación. Se puede asumir que la linealización no introduce errores superiores al milímetro. Además, la expresión de los coeficientes con este grado de precisión puede ser calculada utilizando indiferentemente 1 o 2  (que llamaremos ), 1 o 2 (que llamaremos ), y he1 o he2 (que llamaremos he). Fórmula en función de DX, DY, DZ, DA y DF:

45 TRANSFORMACION DE SISTEMAS GEODESICOS
Fórmula en función de TX, TY, TZ, , , , , Da, Df 

46 TRANSFORMACION DE SISTEMAS GEODESICOS
Las fórmulas (8) y (9) pueden ser aproximadas por diferentes vías. Las fórmulas MOLODENSKY-DMA son las siguientes:

47 TRANSFORMACION DE SISTEMAS GEODESICOS
Los errores relativos son: La aproximación corresponde entonces a algunos decímetros. Para (9) se obtiene:

48 Internacional Hayford 1909
USOS DIVERSOS Las fórmulas antedichas pueden ser utilizadas para numerosas aplicaciones. A título de ejemplo se puede citar: la búsqueda de una fórmula de transformación entre dos sistemas tridimensionales si se tiene las coordenadas tridimensionales se puede usar (7) como relación observada, si no, se puede usar (9) o (11). Transformación de coordenadas geográficas gracias a parámetros conocidos: (9) o (11). Transposición del geoide: (9) o (11). TABLA I Elipsoide a b f-1 f e² Internacional Hayford 1909 WGS84 Clarke 1880