PORCENTAJES U. D. 4 * 4º ESO E. Angel Prieto Benito

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1 PORCENTAJES U. D. 4 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.

2 NÚMEROS ÍNDICE U. D. 4.3 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.

3 Aumentos porcentuales
Una medida (longitud, área, volumen, tiempo, dinero, edad, etc) decimos que sufre un AUMENTO PORCENTUAL del r %, si a dicha medida se la añade un porcentaje, r, relativo a la misma. Sea Vf el valor final, r el porcentaje añadido y Vo el valor inicial de referencia. Vf = Vo + r % de Vo Vf = Vo + (r/100)·Vo Sacando factor común a Vo: Vf = Vo·(1 + r/100) Si una medida, el valor de una magnitud, sufre un aumento porcentual el valor final de dicha magnitud es el producto de su valor inicial por un factor llamado INDICE DE VARIACIÓN, y de valor (1+r/100), siendo r el porcentaje añadido. El índice de variación es: i = 1 + r/100 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

4 Matemáticas Aplicadas CS I
Índice de variación En un aumento el número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación; y su valor es siempre mayor que la unidad. Cf = Co·i Donde i > 1 Ejemplo 1 El valor de una vivienda de tipo medio subió un 7,5 % en el último año. ¿Cuál es el índice de variación?.¿Cuánto costará ahora una vivienda que hace un año su precio era de €?. Cien euros de hace un año serán ahora ,5 = 107,5 Cada euro de hace un año valdrá ahora ,075 = 1,075 Que es el índice porcentual: i = 1,075 Valor actual de la vivienda: Vf = x 1,075 = € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

5 Más ejemplos EJEMPLO 2 Al adquirir un ordenador cuyo PVP es de 700 € nos aplican un 21% de IVA. ¿Qué pagamos finalmente por dicho producto?. Pfinal = PVP·i i = 1 + r/100 = / ,21 = 1,21 Pfinal = 700·1,21 = 847 € EJEMPLO 3 Al comprar en una farmacia medicamentos sin receta médica por valor de 124 € nos aplican y un 10% de IVA. ¿Qué pagamos finalmente por dichos medicamentos?. i = 1 + r/100 = / ,10 = 1,10 Pfinal = 124·1,10 = 136,40 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

6 Otro ejemplo inverso EJEMPLO 3
En un comercio vemos una lavadora por 350 € , IVA incluido. La misma lavadora, en otra tienda, tiene un PVP de 275 €. ¿En qué tienda el PVP es menor?. Sabemos que el IVA es del 21%. Pfinal = PVP.i i = 1 + r/100 = 1 + (21/100) = 1,21 350 = PVP·1,21 PVP = 350 / 1,21 = 289,25 € En la otra tienda su precio es menor y será donde nos interese adquirir la lavadora, puesto que el IVA es el mismo (21%). Como vemos, a igual porcentaje, r, igual número índice i. Si r = 21%  i = 1,21 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

7 Otro ejemplo más EJEMPLO 4
Una tienda de comunicaciones nos deja un teléfono de última generación por 214 €, IVA incluido. Dudamos de comprarlo, ante lo cual el vendedor nos garantiza que en tres meses no variará el PVP, pero que el IVA subirá del 21 % al 24 %. ¿Cuánto nos costaría si esperamos tres meses a comprarlo?. Del 21 % al 24 % es un 3% de incremento, pero sobre el PVP que no conocemos. Hay que hallar el PVP, cantidad que no va a cambiar. Pf = PVP·i i = 1 + r/100 = /100 = 1,21 PVP = Pf / i = 214 / 1,21 = 176,86 € A los tres meses nos costaría: i = 1 + r/100 = /100 = 1,24 Pf = 176,86·1,24 = 219,31 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

8 Disminuciones porcentuales
Una medida (longitud, área, volumen, tiempo, dinero, edad, etc) decimos que sufre una DISMINUCIÓN PORCENTUAL del r %, si a dicha medida se la quita un porcentaje, r, relativo a la misma. Sea Vf el valor final, r el porcentaje restado, y Vo el valor inicial de referencia. Vf = Vo – r % de Vo Vf = Vo – (r/100)·Vo Sacando factor común a Vo: Vf = Vo·(1 – r/100) Si una medida, el valor de una magnitud, sufre una disminución porcentual el valor final de dicha magnitud es el producto de su valor inicial por un factor llamado INDICE DE VARIACIÓN, y de valor: (1 – r/100), siendo r el porcentaje añadido. El índice de variación es: i = 1 – r/100 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

9 Matemáticas Aplicadas CS I
Índice de variación En una disminución porcentual el número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación; y su valor es siempre menor que la unidad y mayor que cero. Cf = Co·i , donde 0 < i < 1 Ejemplo 1 Al comprar una vivienda al contado nos hacen un descuento del 7,5 %. ¿Cuál es el índice de variación?.¿Cuánto tendremos que abonar por ella si su precio inicial es de €?. Cien euros, con descuento, serán ahora 100 – 7,5 = 92,5 Cada euro supone ahora 1 – 0,075 = 0,925 Que es el índice porcentual: i = 0,925 Valor actual de la vivienda: Vf = x 0,925 = € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

10 Más ejemplos EJEMPLO 2 En el Día del Libro las librerías ofrecen un descuento del 15%. Si compramos una enciclopedia por un PVP de 450 €, ¿qué pagamos finalmente por ella?. Pf = PVP·i i = 1 – r/100 = 1 – 15/100 = 1 – 0,15 = 0,85 Pf = 450·0,85 = 382,50 € EJEMPLO 3 En un estadio de fútbol el precio de cada entrada es de 50 €. Para los socios del club hay un descuento del 20 %. ¿Qué le cuesta al socio? i = 1 – r/100 = 1 – 20/100 = 1 – 0,20 = 0,80 Pf = 50·0,80 = 40 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

11 Más ejemplos EJEMPLO 4 En la factura eléctrica de nuestra compañía nos hacen un 5% de descuento sobre el consumo y un 10% sobre la potencia facturada. Si el gasto por dichos dos conceptos ha sido de 33,72 € y 5,16 € respectivamente, ¿cuánto importan estos conceptos tras el descuento?. Cf = Co·i i = 1 – r/100 = 1 – 5/100 = 1 – 0,05 = 0,95 Cf = Co·i = 33,72·0,95 = 32,03 € Pf = Po·i i = 1 – r/100 = 1 – 10/100 = 1 – 0,10 = 0,90 Pf = Po·i = 5,16·0,90 = 4,64 € EJEMPLO 5 En la factura de gas nuestra compañía nos hacen un 7% de descuento sobre el consumo, que ha sido de 164,85 €. ¿Qué importe final resulta?. Cf = Co·i = 164,85·(1 – 7/100) = 164,85·0,93 = 153,31 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

12 Ejemplos EJEMPLO 6 El salario bruto de un trabajador es de € al mes. Por el IRPF se le resta el 18%, por la S. Social el 7%, por la afiliación a una mutua se le restan 50 € , y por pertenecer a un sindicato de empresa se le retiene el 1%. Hallar los números índices correspondientes. Por el IRPF: i = 1 – r/100 = 1 – 18/100 = 1 – 0,18 = 0,82 Por la S. Social: i = 1 – r/100 = 1 – 7/100 = 1 – 0,07 = 0,93 Por la Mutua: Al ser una cantidad fija no hay ningún número índice. Por el Sindicato: i = 1 – r/100 = 1 – 1/100 = 1 – 0,01 = 0,99 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

13 Matemáticas Aplicadas CS I
Valor final Para calcular el valor final, en un aumento o en una disminución porcentual, se halla el índice de variación (que conviene expresarlo en forma decimal) y se multiplica por la cantidad inicial. Ejemplos: Un pendriver, un apartamento y una lavadora valían hace un año 50 €, € y 300 € respectivamente. Ahora valen un 30% menos, un 10% más y un 15% menos respectivamente. Hallar los índices de variación y el precio actual. Pentdriver: Índice de variación =1 - r/100 = 1 – 0,30 = 0,70 Apartamento: Índice de variación =1 + r/100 = 1 + 0,10 = 1,10 Lavadora: Índice de variación =1 - r/100 = 1 – 0,15 = 0,85 PVP Pentdriver: 50.0,70 = 35 € PVP Apartamento: x 1,10 = € PVP Lavadora: ,85 = 255 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I