ECUACIONES Y SISTEMAS U. D. 6 * 4º ESO E. Angel Prieto Benito

Presentación del tema: "ECUACIONES Y SISTEMAS U. D. 6 * 4º ESO E. Angel Prieto Benito"— Transcripción de la presentación:

1 ECUACIONES Y SISTEMAS U. D. 6 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.

2 MÉTODO GRÁFICO U. D. 6.5 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.

3 Método de Igualación Es una variante del método anterior de sustitución. Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, a continuación igualar las expresiones resultantes, resolver la ecuación única y finalmente hallar el valor de la segunda incógnita. Ejemplo_1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = (2) Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: x = 4 – 3y (1) x = ( 2 + y ) / (2) Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales: 4 – 3y = ( 2 + y ) / 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

4 Operando en la proporción resultante … 12 – 9y = 2 + y 12 – 2 = y + 9y
Sustituyendo ese valor en la ecuación (1): x = 4 – 3.1 x = 4 – 3 = 1 O sea x = 1 La solución del sistema es x = 1 , y = 1 La solución del sistema se comprueba: = 4  4 = 4 3.1 – 1 = 2  2 = 2 Las soluciones son las mismas que nos había dado al aplicar el M. de Sustitución. No importa el método empleado, pues si hay solución ésta es única. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

5 Otro ejemplo Sea el sistema: 2x + 3.y = 12 (1) 3x - 4y = 1 (2)
Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: 2.x = 12 – 3.y 3.x = y x = (12 – 3y) / 2 (1) x = ( 1 + 4y ) / 3 (2) Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales 12 – 3.y y = @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

6 Sustituyendo ese valor en la ecuación (1): x = (12 – 3.2) / 2
Operando en la proporción resultante, para lo cual se multiplica en cruz, resulta … 36 – 9y = 2 + 8y 36 – 2 = 8y + 9y 34 = 17y y = 34 / 17 y = 2 Sustituyendo ese valor en la ecuación (1): x = (12 – 3.2) / 2 x = (12 – 6 ) / 2 x = 6 / 2 = 3 , o sea x = 3 La solución del sistema se comprueba: = 12  12 = 12 3.3 – 4.2 = 1  1 = 1 La solución del sistema es: x = 3 , y = 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

7 RESOLUCIÓN GRÁFICA Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = 2 (2)
Se despeja “y” en ambas ecuaciones: y = (4 – x) / 3 = – x / / 3 (1) y = 3.x – (2) Queda como dos funciones lineales de la forma y = m.x + n. Tablas de valores: Damos tres o cuatro valores a x y calculamos los valores de y: Tabla (1) x y 2 4/3 2/3 Tabla (2) x y Y llevamos los puntos a la gráfica para formar las dos rectas. Donde se corten ambas rectas será la solución. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

8 Solución gráfica y = (4 – x) / 3 y = 3.x – 2
Solución Sistema = Pc(1, 1)  x=1, y=1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

9 Interpretación gráfica
Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución, es compatible, las rectas son SECANTES. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones, es compatible e indeterminado, las rectas son COINCIDENTES. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene ninguna solución, es incompatible, las dos rectas son PARALELAS. Ejemplos Compatible: Indeterminado: Incompatible: x + y = x – y = 0 x + y = 2 x – y = x = y x + y = 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

10 Ejemplo 1 Gráfico La suma de dos números es 12, y uno de ellos es doble que el otro.¿cuáles son dichos números?. Sea x un número. Sea y el otro número. Podemos poner las ecuaciones: x + y = 12  y = 12 – x y = 2.x Hacemos las tablas: x  y  x  y  Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=4, y=8 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

11 Ejemplo 2 Gráfico 0 8 16 24 32 Solución: x=23, y=11 - 8 0 8 16 24
Ana tiene 12 años más que Pedro y hace 5 años tenía el triple de edad que Pedro. ¿Qué edad tiene cada uno?. Sea x la edad de Ana. Sea y la edad de Pedro. Podemos poner las ecuaciones: x = y + 12 x – 5 = 3.(y – 5)  x = 3.y – 10 Hacemos las tablas: y  x  y  x  Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=23, y=11 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

12 Ejemplo 3 Gráfico Juan tiene 3 € menos que Pedro, pero si gasta 5 € tendrá la mitad que Pedro.¿Cuánto tiene cada uno?. Sea x lo que tiene Juan. Sea y lo que tiene Pedro. Podemos poner las ecuaciones: x = y –  y = x + 3 x – 3 = ½.y  y = 2.x – 6 Hacemos las tablas: x  y  x  y  Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: x=9, y=12 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

13 Ejemplo 4 Gráfico Juan pagó 5 € por dos cuadernos y un bolígrafo. Ana pagó 12 € por cuatro cuadernos y dos bolígrafos. ¿Cuánto vale cada cuaderno y cada bolígrafo?. Sea x lo que vale un cuaderno. Sea y lo que vale un bolígrafo. Podemos poner las ecuaciones: 2.x + y =  y = – 2.x + 5 4.x + 2.y =  y = – 2.x + 6 Hacemos las tablas: x  y  x  y  – 2 Donde se corten las dos rectas tenemos la solución del sistema. Solución: NO hay. – @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.