Estructuras Algebraicas Trabajo Práctico Nº 4 Estructuras Algebraicas 1. Determinar en cada caso si el par ( G, * ) es grupo a) G 1 = { x / x = 2 k,

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2 Estructuras Algebraicas

3 Trabajo Práctico Nº 4 Estructuras Algebraicas 1. Determinar en cada caso si el par ( G, * ) es grupo a) G 1 = { x / x = 2 k, k  Z } ;* es el producto ordinario. b) G 2 = { x / x = 3 k, k  N } ;* es la adición c) G 3 = { 1; -1 } ;* es el producto ordinario 2. Sea A = { x  R / x = a + b ; a  Z  b  Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales. 3. Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas : *01 001 110  01 000 101 Probar que estas operaciones definen sobre K una estructura de cuerpo.

4 4) Completar los siguientes enunciados para que resulten proposiciones verdaderas : En R 2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b)  (c, d)  En R 2 = C se define la adición y la multiplicación mediante (a, b) + (c, d) =........ (a, b) * (c, d) =........ ii) (C, +) tiene estructura de.......(C, *) tiene estructura de....... (C, +, *) tiene estructura de..... iii) Un complejo es real ........un complejo es imaginario .... iv) En C es : i 0 = i 1 = i 2 = i 3 = i 4q+r = v) Si z = (a, b)  =...; - z =.... ; z -1 =.... =..... =...

5 5) Resolver las ecuaciones siguientes indicando a qué campo numérico pertenecen las soluciones : a) x 2 – 1 = 0b) x 2 – 3 = 0c) x 2 + 1 = 0d) x 2 + 3x + 3=0 6) Dados los números complejos : a) Representarlos gráficamente c) Expresar z 2 y z 3 en forma de pares ordenados b) Expresar z 1 y z 4 en forma binómica d) Hallar y representar gráficamente  z 4 e) Calcular y representar gráficamente f) Calcular :

6 9) Determinar z tal que : a) 3 z +z = 3 + 5 ib) i z - 2z = - 6 i c) z + i  z = 3 + 5 i 10) Resolver las siguientes ecuaciones en el campo complejo. En todos los casos z es un número complejo ; despejarlo y calcular su valor : 11) Determinar x para que el producto (3 - 6 i)  (4 + x i) sea : a) un número realb) un número imaginario puro 12) Si B = { 1, 2, 3, 6 } con las operaciones * y  donde * denota mínimo común múltiplo y  denota máximo común divisor ; Analizar si (B, *,  ) resulta un modelo de Algebra de Boole, donde los neutros son respectivamente 1 y 6.

7 13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes : i) a  b´ = 0 ii) a * b = b iii) a´ * b = 1 iv) a  b = a 14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones 15) Probar que  a, b  B : a) (a * b)  (a * b´) = a b) (a  b) * (a  b´) = a 16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos

8 Estructuras Algebraicas Frecuentemente la primera dificultad que encuentra el alumno en el estudio de las Estructuras Algebraicas es asimilar la existencia de operadores como * que expresan operaciones que no tienen porqué ser las clásicas conocidas de adición, diferencia, producto, cociente, etc. Sino que pueden expresar otras formas de composición (operaciones definidas por una ley de variación que puede o no expresarse en fórmulas) *ab aab bba *01 001 110 Tabla 1Tabla 2 Según la tabla 2, el operador * genera los siguientes resultados: 0 * 0 = 0 Si G = { 0, 1 } Notemos que todos los resultados de operar algún elemento de G con otro elemento del mismo conjunto (incluso consigo mismo)... Son elementos del mismo conjunto G ( 0 ó 1 )entonces * Es una Ley de Composición interna en G 1 * 0 = 1 0 * 1 = 1 1 * 1 = 0 * se lee “asterisco”

9 Si una operación * respecto de los elementos de un conjunto G que se escribe: (G, *), verifica que: 1) G 2  G* es una Ley de composición interna en G 2)  a,  b,  c : a, b, c  G  (a * b) * c = a * (b * c)Asociativa Definida una operación * si el resultado de operar dos elementos cualesquiera de G con * es otro elemento de G, hay L.C.I. Definida una operación * si con tres elementos cualesquiera de G la operación * responde a la propiedad asociativa (G, *) tiene estructura de semi-grupo si además 3)  e  G /  a : a  G  a * e = e * a = aExiste Elemento Neutro Definida una operación * si en el conjunto G existe al menos un elemento “e”, que al operarlo con cualquier otro elemento “a” de G, resulta el mismo elemento “a” 4)  a : a  G,  a´  G / a * a´ = a´ * a = eExiste Elemento Inverso Definida una operación * si para cada elemento de G existe al menos un elemento a´ que al operar con a dá como resultado el neutro e (G, *) tiene estructura de grupo 1a 1b 1c

10 Si además de cumplirse las cuatro condiciones anteriores - lo que hace a (G,*) Grupo - 5)  a,  b : a, b  G  a * b = b * aConmutativa (G, *) tiene estructura de grupo abeliano ó grupo conmutativo Sea una estructura algebraica definida en un conjunto G con dos leyes de composición * y  (G, *  ) es Anillosi... 1) (G, *) es Grupo abeliano 2) (G,  ) es semi Grupo 3)  es distributivo a izquierda y derecha respecto de *  a,  b,  c  G : a  (b * c) = (a  b) * (a  c) (b * c)  a = (b  a) * (c  a) Si la segunda ley de composición es conmutativa, (G, *  ) es AnilloConmutativo

11 Si (G *  ) es Anillo Y además posee elemento neutro respecto de  (G *  ) es Anillo con Unidad Anillo con división Un Anillo con unidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama Anillo con división Si un Anillo con división es conmutativo, se llama C CC Cuerpo 1) (G, *) es Grupo abeliano 2) (G,  ) es Grupo abeliano, salvo que el 0 no es inversible 3)  es distributivo respecto de * Ejemplo: ( Z, * ) donde * es la adición (suma) y  es el producto ordinario No es cuerpo No es cuerpo, pues los únicos elementos no nulos que admiten inverso multiplicativo son 1 y - 1 (R, * ) donde * es la adición (suma) y  es el producto ordinario Es Cuerpo

12 1) a) Si G 1 = { x / x = 2 k, k  Z } ; * es el producto ordinario Sean k, t  Z 2 k · 2 t = 2 (k + t) Si k, t  Z  (k + t)  Z Luego 2 (k + t)  G 1 2 k · (2 t · 2 s ) = 2 k · 2 (t + s) = 2 k + ( t + s) = 2 ( k + t ) + s = 2 ( k + t ) · 2 s = (2 k · 2 t ) · 2 s Asociatividad 2 k · e = 2 k · 2 t = 2 ( k + t ) = 2 k Existencia de Elemento Neutro Para cada 2 k debe existir 2 t = e con t  Z Entonces 2 t = 2 0 es un elemento del conjunto G 1 Existencia de Elemento Inverso Si e = 2 0 (ya demostrado) 2 k · x = 2 0 = 1 2 k  2 t = 2 0  k + t = 0 Entonces t = -k lo que es claro que t  Z y 2 t  G 1 Conmutativa 2 k  2 t = 2 (k + t) = 2 ( t + k) = 2 t  2 k valiéndonos de la conmutatividad de la suma en Z (G, * ) es Grupo Abeliano  k + t = k entonces t = 0 0  Z 1 c 1 c 1 b 1 b Entonces * es L.C.I. En G 1

13 1) b) Si G 2 = { x / x = 3 k, k  N } ; * es la adición (+) G 2 es un conjunto conformado por todos los naturales múltiplos de 3 ;... entre otros : si k = 1, x = 3 ; si k = 2, x = 6 ; k = 3, x = 9.... Para k, t  N3k + 3t = 3 (k + t)Pero (k + t)  N LCI ok Asociatividad Debe verificarse que 3 k + ( 3 t + 3 s ) = ( 3 k + 3 t) + 3 s 3 k + ( 3 t + 3 s ) = 3 k + 3 (t + s) = 3 [k + (t + s)] = 3 [(k + t) + s)] = 3 (k + t) + 3 s = (3 k + 3 t) + 3 s Se acepta la asociatividad de la adición para los números naturales Existencia de Elemento Neutro en G para * Si existe e (neutro) en G, tendrá la forma e = 2 t donde t  N 3 k + 3 t = 3 ksi3 t = e Entonces 3 k + 3 t = 3 (k + t) = 3 k Luego ( k+ t ) = k  t = 0 Pero 0  Nentonces... NO Existe Elemento Neutro en G para * ( G2, * ) No es Grupo 1 c 1 c

14 1) c) Si G 3 = { 1; -1 } ; * es el producto ordinario Por tratarse de un conjunto finito y con pocos elementos, algunas condiciones pueden ser analizadas para cada situación... 1 · 1 = 1  G 3 -1 · 1 = -1  G 3 -1 · -1 = 1  G 3 1 · -1 = -1  G 3 Se verifica que * es L.C.I. en G 3 Podemos admitir que la Asociatividad “se hereda” de la asociatividad del producto entre elementos del conjunto de los números enteros Sabemos que para el producto existe neutro en Z, pero debemos verificar que ese neutro  G 3 -1 · e = -1  e = 1 1 · e = 1  e = 1 1  G 3 Existe neutro Analizamos si cada elemento de G 3 admite inverso en G 3 1 · x = e = 1  x = 1 -1 · x = e = 1  x = -1 Los elementos de G 3 admiten inverso Podemos admitir que la Conmutatividad “se hereda” de la conmutatividad del producto entre elementos del conjunto de los números enteros ( G3, * ) es Grupo Abeliano

15 2) Sea A = { x  R / ; a  Z  b  Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales. Supongamos dos elementos cualquiera que pertenecen al conjunto A; ellos son : Analizamos (A, *); en este caso * es la suma, analizamos entonces (A, +) con * es L.C.I. en A Asociatividad La Asociatividad se “hereda” de la asociatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros;   R    R Supongamos que existe nulo y es  entonces  +  =    es nulo esto es posible para c = 0 y d = 0 c  Z  d  Z    A Lo que prueba la existencia de neutro en A para la suma

16 Si existe elemento inverso para cada elemento de A  +  = 0  es inverso de  Debe sera + c = 0c = - a  Z b + d = 0d = - b  Z Prueba la existencia de inverso Conmutatividad La Conmutatividad se “hereda” de la conmutatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros;   R    R (A, *) es Grupo Abeliano Analizamos ahora ( A,  ) donde  es el producto ordinario aplicando distributiva  es LCI en A porque... ac + 2bd  Z  ad + bc  Z

17 Asociatividad conmutativa La Asociatividad se “hereda” de la asociatividad del producto para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros;   R    R (de la misma manera se verifica también la conmutativa (A, ) es Semi Grupo  es doblemente distributivo respecto de * ,  ,    A :   (  *  ) = (    ) * (    ) (  *  )   = (    ) * (    ) , ,  son números reales y sabemos que en el conjunto de los números reales el producto es distributivo respecto de la suma ( A, *,  ) Es Anillo Conmutativo

18 3) Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas : *01 001 110  01 000 101 Probar que estas operaciones definen sobre K una estructura de cuerpo. Analizamos ( K, * ) De observar la tabla del operador * resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K 0 * 0 = 00 * 1 = 11 * 0 = 11 * 1 = 0 * Es L.C.I. en K Asociativa ; verificamos... por ejemplo ( 0 * 1 ) * 0 = 1 * 0 = 10 * ( 1 * 0 ) = 0 * 1 = 1 El 0 es neutro;0 * 0 = 0y0 * 1 = 1 0 * 0 = 0El inverso para 0 es 01 * 1 = 0El inverso para 1 es 1 De analizar la tabla, comprobará también que * es conmutativo ( K, * ) Es Grupo Abeliano sabiendo que * y  son asociativas y  es doblemente distributiva respecto de *

19 Analizamos ( K – {0},  )  01 000 101 De observar la tabla del operador  resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K Asociativa ; verificamos... por ejemplo ( 0  1 )  0 = 0  0 = 00  ( 1  0 ) = 0  0 = 0 Existe neutro en K para  pues 1  0 = 0y 1  1 = 1 el neutro es el 1 El inverso para 1 es 11  1 = 1 ( K,  ) Es Grupo Abeliano, salvo que el 0 no es inversible 0  0 = 00  1 = 01  0 = 01  1 = 1 L.C.I. de  en K De analizar la tabla, comprobará también que  es conmutativo y sabemos que  es doblemente distributivo respecto de * por ejemplo... ( K, *,  ) Es Cuerpo ( 0 * 1 )  0 = 1  0 = 0( 0  0 ) * ( 1  0 ) = 0 * 0 = 0 0  ( 0 * 1 ) = 0  0 = 0( 0  0 ) * ( 0  1 ) = 0 * 0 = 0

20 Números Complejos Sabemos que la solución de la raíz cuadrada de un número real negativo no tiene solución en reales donde i es un número que llamamos imaginario y no tiene ubicación en la recta de los números reales Recuerde siempre que si Con un binomio formado por una parte real y una parte imaginaria, formamos un número complejo z = a + bi Parte real Parte imaginaria Lo representamos gráficamente en un par de ejes cartesianos Llevando en el eje de las abscisas la parte real Y en el eje de las ordenadas la parte imaginaria El punto de intersección de la parte real con la imaginaria es un punto en el “plano de los complejos” Por otro lado, a cada complejo le está asociado un vector con inicio en el origen de coordenadas y extremo en el punto determinado por el par ordenado (a, b) 5555 9 a 9 a 7 a-d 7 a-d 7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/ii 7 e iii 7 e iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 f iii 7 f iii 9 b 9 b 9 c 9 c 10 i 10 i 10 i / ii 10 i / ii

21 Definido el complejo z = a + bi Expresado en forma de binomio Podemos pasarlo a la forma de par ordenado, donde la primera componente es la parte real del complejo z = a + bi =( a, Y la segunda componente es la parte imaginaria (se coloca solo el valor de b –sin i-) b ) Si z = a + bicuya representación gráfica es definimos el conjugado de z como un número complejo con la misma parte real que z y su componente imaginaria es la opuesta de la componente imaginaria de z también podemos definir el opuesto de z como un número complejo cuya componente real es el número opuesto de la componente real de z y su componente imaginaria es el número opuesto de la componente imaginaria de z z = a + bi z = a - bi -z = -a - bi 5555 9999 5555 9 a 9 a 7 a-d 7 a-d 7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/ii 7 e iii 7 e iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 f iii 7 f iii 9 b 9 b 9 c 9 c 10 i 10 i 10 i / ii 10 i / ii

22 Operaciones con números complejos Si dos números complejos se presentan en forma de binomio, se los puede sumar como cualquier binomio las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí sacamos el imaginario i como un factor común Si los complejos se presentan en forma de par ordenado Se opera de la misma manera, las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí Si se trata de una diferencia 5555 7777 9-10 5555 9 a 9 a 7 a-d 7 a-d 7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/ii 7 e iii 7 e iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 f iii 7 f iii 9 b 9 b 9 c 9 c 10 i 10 i 10 i / ii 10 i / ii

23 Gráficamente Sean Para sumar gráficamente los complejos 1) Una vez representados gráficamente los complejos z 1 y z 2 como ya hemos visto A los efectos de limpiar el gráfico borramos las líneas auxiliares 2) Por el extremo de z 2 trazo una recta paralela a z 1 3) Y por el extremo de z 1 trazo una recta paralela a z 2 4) Donde se intersectan ambas paralelas se encuentra el extremo de un nuevo vector que tiene inicio en el origen de coordenadas y representa z 1 + z 2 5) El valor de abscisa que le corresponde al vector resultante es la parte real del resultado de la suma de números complejos 6) El valor de la ordenada que le corresponde al vector resultante es la parte imaginaria del resultado de la suma de números complejos Obviamente, los resultados por métodos analíticos y gráficos deben coincidir siempre 5555 7777 9-10 5555 9 a 9 a 7 a-d 7 a-d 7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/ii 7 e iii 7 e iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 f iii 7 f iii 9 b 9 b 9 c 9 c 10 i 10 i 10 i / ii 10 i / ii

24 Producto Sean Se aplica propiedad distributiva como si se tratara de dos binomios cualquiera El producto (bi  di) se resuelve multiplicando bdi i que resulta bdi 2 Sacamos como factor común el imaginario i Recuerde que i 2 = - 1 En forma de par ordenado... 5555 7777 9-10 5555 9 a 9 a 7 a-d 7 a-d 7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/ii 7 e iii 7 e iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 f iii 7 f iii 9 b 9 b 9 c 9 c 10 i 10 i 10 i / ii 10 i / ii

25 Cociente Sean Para resolver el cociente Siempre se multiplica y se divide la expresión por el conjugado del denominador Luego se procede como en cualquier producto entre números complejos, multiplicando los numeradores entre sí y los denominadores entre sí Observe que tenemos ahora una diferencia de cuadrados en el denominador A esta situación siempre llegamos porque, precisamente para eso es que hemos multiplicado y dividido la expresión por el conjugado del denominador De esa manera, en el denominador siempre habrá un número real Obteniendo así como resultado del cociente entre complejos, otro número complejo 5555 7777 9-10 5555 9 a 9 a 7 a-d 7 a-d 7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/ii 7 e iii 7 e iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 f iii 7 f iii 9 b 9 b 9 c 9 c 10 i 10 i 10 i / ii 10 i / ii

26 en forma de binomio z = a + b i 5) Completar los siguientes enunciados para que resulten proposiciones verdaderas : i) En R 2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b) = (c, d)  a = c  b = d En R 2 = C se define la adición y la multiplicación mediante (a, b) + (c, d) =(a + c; b + d)(a, b) * (c, d) = (a  c - b  d; a  d + b  c) ii) (C, +) tiene estructura deGrupo Abeliano (C, *) tiene estructura de “cuasi” Grupo Abeliano; puesto que (0,0) no es inversible (&) (C, +, *) tiene estructura deCuerpo iii) Un complejo es real  su parte imaginaria es 0 un complejo es imaginario  su parte real es 0 iv) En C es :i 0 = 1 i 2 =- 1i 3 =- i i 4q+r =i r v) Si z = (a, b) Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z producto cociente suma-resta operac. gráf. operac. gráf. (&) “cuasi” Grupo Abeliano es Semi-grupo conmuitativo con elemento neutro

27 resolvemos primero la suma Y luego hallamos el conjugado de la suma resolvemos primero el producto Y luego hallamos el conjugado del producto En forma de binomio el conjugado de la suma En forma de binomio el conjugado del producto producto cociente operac. gráf. operac. gráf. Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z suma-resta

28 6 a) Para resolver x 2 – 1 = 0 despejamos x Pasamos –1 al 2º miembro Y la potencia como raíz entonces x 1 = 1 x2 = - 1 con x 1,, x 2  Z b) Para resolver x 2 – 3 = 0 despejamos x Pasamos –3 al 2º miembro Y la potencia como raíz entonces x 1 =x2 = con x 1,, x 2  I (irracionales) c) Para resolver x 2 + 1 = 0 despejamos x Pasamos 1 al 2º miembro Y la potencia como raíz entonces x 1 = ix2 = - i con x 1,, x 2  C la raíz cuadrada de un número negativo resulta siempre un imaginario 6 d 6 d

29 d) Para resolver x 2 + 3x + 3= 0 aplicamos la fórmula que resuelve la ecuación de segundo grado Una ecuación completa de 2º grado tiene la forma y la solución En la ecuación x 2 + 3x + 3= 0 a = 1b = 3c = 3 con x1,, x2  C

30 7 a) Dados los números complejos : Por el valor real de z 1 trazamos una paralela al eje de los imaginarios Por el valor imaginario de z 1 trazamos una paralela al eje de los reales Donde se intersectan ambas paralelas, tenemos el extremo del vector que representa z 1 y tiene inicio en el origen de coordenadas z 2 y z 3 se representan con idéntico procedimiento Para representar gráficamente z 4 tomamos los valores aproximados de tanto en la parte real como imaginaria usamos el mismo valor real que para z 4 pero a la parte imaginaria le cambiamos el signo 7 d) Para representar 7 f iii 7 f iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 e iii 7 e iii 7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/ii Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf. operac. gráf.

31 en forma de binomio es en forma de par ordenado es en forma de par ordenado es en forma de binomio es 7 e) Para calcular pasamos z 1 a la forma de binomio y hallamos agrupando reales por un lado e imaginarios por otro resuelvo primero la diferencia de números complejos para multiplicar un entero por un complejo, aplicamos distributiva del entero en el complejo 7 b) c) 7 f iii 7 f iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 e iii 7 e iii Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf. operac. gráf.

32 procedemos de igual manera que si hubiera sido la suma de dos complejos, eliminamos los paréntesis aplicando la regla de los signos para sumar gráficamente con z 1 y z 2 representados buscamos por el extremo de z 1 trazo una paralela a por el extremo de las paralelas se intersectan en el extremo del vector suma y su inicio está en el origen de coordenadas buscamos conocer la componente real del vector resultante, y la componente imaginaria luego trazo una paralela a z 1 7 f iii 7 f iii 7 f i/ii 7 f i/ii Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf. operac. gráf.

33 Para resolver gráficamente con z 1 y z 2 representados buscamos –z 1 prolongando z 1 en sentido opuesto y trasladando con el compás el extremo de z 1 sobre la línea prolongada, con centro en el origen de coordenadas encontramos –z 1 sumamos z 2 + (-z 1 ) como hemos visto prolongamos la recta de acción de z 2 -z 1 y borramos la semicircunferencia auxiliar y trasladamos con el compás el extremo de z 2 - z 1 sobre la línea prolongada, con centro en el origen de coordenadas (por cambio de signo) con el compás trasladamos una vez más sobre la recta la distancia z 2 - z 1 ; obteniendo –2(z 2 - z 1 ) buscamos la componente real del vector resultante, y la componente imaginaria Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf. operac. gráf.

34 Para resolver gráficamente con z 1 ; z 2 y z 3 representados comenzamos buscando el opuesto de z 2, es decir - z 2 luego buscamos y con este resultado buscamos ahora tenemos los complejos –z 2 ; z 3 y representados por sus respectivos vectores solo nos queda efectuar la suma de todos ellos lo que hacemos trasladando z 3 a continuación de –z 2 a continuación del z 3 que sigue a - z 2 uniendo el extremo de la acumulación de segmentos con el origen de coordenadas tenemos el resultado que buscamos Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf. operac. gráf.

35 Para calcular z 1  z 2 lo realizamos como si se tratara del producto de dos binomios; con la única salvedad que debemos considerar el producto de números imaginarios podemos pensar como que resolvemos como cociente de fracciones, efectuando el producto de los extremos sobre el producto de los medios (- 1) 7 f iii 7 f iii Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf. operac. gráf.

36 22 operamos en el numerador efectuamos el cociente, multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador operamos en el numerador y en el denominador recuerde que i 2 = - 1 fracción de fracción: es igual al producto de los extremos sobre el producto de los medios Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf. operac. gráf.

37 8) Si entonces (2+i) toma el lugar de x en f(x) para calcular f(x) = (2+i) 2 -2 (2 + i)+ 1 (1+i) toma el lugar de x en g(x) g(x) = (1+i) 2 +(1 + i) operando resulta... recuerde i 2 = - 1 recuerde ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

38 9) a) Para hallar z tal que : Si entonces... puede escribirse resolvemos Agrupamos reales e imaginarios en el 1º miembro Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las partes reales e imaginarias del primero y segundo miembro tengamos presente que no podremos resolver esta ecuación despejando z que resulta ser... entonces... 9 c 9 c 9 b 9 b Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf. operac. gráf.

39 9 b) Para hallar z tal que : Sientonces... puede escribirse resolvemos Agrupamos reales e imaginarios en el 1º miembro Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las partes reales e imaginarias del primero y segundo miembro teniendo presente que Podemos componer un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resolvemos por sustitución (1) (2) de (1) reemplazando (1) en (2) entonces reemplazando a = 2 en (1) entonces 9 c 9 c Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf. operac. gráf.

40 9 c) Para hallar z tal que : Sientonces... puede escribirse resolvemos agrupamos reales e imaginarios en el 1º miembro tenga presente que Podemos componer un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las partes reales e imaginarias del primero y segundo miembro intuimos que este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas no tiene solución, porque la suma de dos números cualesquiera, no pueden tener resultados diferentes Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf. operac. gráf.

41 10 i) la ecuación puede resolverse despejando z así : resolvemos como cociente de números complejos multiplicamos y dividimos la expresión aplicando propiedad distributiva en el numerador y diferencia de cuadrados en el denominador también podría haberse aplicado distributiva en el denominador y hubiéramos tenido el mismo resultado operamos sabiendo que i 2 = -1 37 verificamos... por el conjugado del denominador 10 ii/iii 10 ii/iii Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf. operac. gráf.

42 puede resolverse despejando z, porque en ella no aparece así : iii) resolver no debe ser muy diferente de lo realizado hasta ahora Pasamos –1 al 2º miembro y resolvemos el segundo miembro antes de pasar multiplicando el denominador del primer término resolvemos nuevamente el 2º miembro y ahora despejamos z Nº complejo Nº complejo  z ; - z; 1/z  z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf. operac. gráf.

43 11) a) Si el producto (3 - 6 i)  (4 + x i) debe ser un número real La parte imaginaria del resultado del producto (3 - 6 i)  (4 + x i) debe ser igual a 0 así, agrupando reales por un lado e imaginarios por otro, tendremos... se distingue en la expresión claramente una parte real y una parte imaginaria Si la parte imaginaria debe ser 0, tendremos... entonces... 8 Si el resultado del producto (3 - 6 i)  (4 + x i) debe ser un imaginario puro la parte real debe ser 0, tendremos... entonces... 2

44 Algebra de Boole Decimos ( B, *  ) es Algebra de Boolesi para un conjunto B   y dos operaciones * y  1) * y  son dos leyes de composición interna en B 2) * y  son operaciones conmutativas 3) * y  son operaciones asociativas en B 4) * y  son operaciones distributivas cada una respecto de la otra 5) Existen elementos neutros en B respecto de * y  que se denotan como 0 y 1 6) Todo elemento a  B admite un complementario a´, tal que : a * a´ = 1 y a  a´ = 0 Tenga “muy presente” que 0 y 1 en Algebra de Boole son simples denominaciones del neutro respecto de * (0) y respecto de  (1) ( no guardan ninguna relación con los valores que representan normalmente) 12 13 12 13

45 12) Si B = { 1, 2, 3, 6 } con las operaciones * y  donde * denota mínimo común múltiplo y  denota máximo común divisor confeccionamos las tablas respectivas para cada una de las operaciones *1236 1 2 3 6 m.c.m. 1 2 3 6 2 2 6 6 3 6 3 6 6 6 6 6  1236 1 2 3 6 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 3 3 1 2 3 6 m.c.d. Todos los resultados de cualquiera de las dos tabla son elementos del conjunto B Entonces * y  son leyes de composición interna en B * y  son conmutativas porque definen relaciones conmutativas m.c.m. de a y b = m.c.m. de b y a m.c.d. de a y b = m.c.d. de b y a

46 *1236 11236 22266 33636 66666  1236 11111 21212 31133 61236 m.c.m.m.c.d. Ejemplos donde se verifica la asociatividad de * y de  ( 2 * 3 ) * 6 = 6 * 6 = 6 ( 6  2 )  1 = 2  1 = 1 2 * ( 3 * 6 ) = 2 * 6 = 6 6  ( 2  1 ) = 6  1 = 1 Ejemplos donde se verifica la distributividad de  respecto de * y viceversa ( 2 * 3 )  1 = 6  1 = 1se verifica con( 2  1 ) * ( 3  1 ) = 1 * 1 = 1 ( 2  3 ) * 1 = 1 * 1 = 1se verifica con( 2 * 1 )  ( 3 * 1 ) = 2 * 3 = 1

47 *1236 11236 22266 33636 66666  1236 11111 21212 31133 61236 m.c.m.m.c.d. Analizamos la existencia de neutro en B para los operadores * y  Si existe neutro en B para el operador * será un elemento e tal que x * e = x para cualquier x  B esto se verifica para e = 1 Decimos entonces que el “cero” para la operación * es el elemento 1 del conjunto B Si existe neutro en B para el operador  será un elemento e tal que x  e = x para cualquier x  B esto se verifica para e = 6 Decimos entonces que el “uno” para la operación  es el elemento 6

48 *1236 11236 22266 33636 66666  1236 11111 21212 31133 61236 m.c.m.m.c.d. Nos queda analizar la existencia de complementario para * y  Si existe complementario para * debe verificarse que  a  B,  a´  B : a * a´= 1 el 1 de  es el elemento 6 del conjunto B, verificamos 1 * 6 = 6 6  B ok 2 * 3 = 6 6  B ok 3 * 2 = 6 6  B ok 6 * 1 = 6 6  B ok respecto de * el complemento de a = 1esa´ = 6 a = 2esa´ = 3 a = 3esa´ = 2 a = 6esa´ = 1 Para todo elemento aque pertenece al conjunto Bexiste un elemento a´ que también pertenece al conjunto Bque verificala condición a * a´= 1donde 1 es el neutro de 

49 *1236 11236 22266 33636 66666  1236 11111 21212 31133 61236 m.c.m.m.c.d. Finalmente analizamos la existencia de complementario para  Si existe complementario para  debe verificarse que  a  B,  a´  B : a  a´= 0 si el 0 de * es el elemento 1del conjunto B, verificamos 1  6 = 1 6  B ok 2  3 = 1 3  B ok 3  2 = 1 2  B ok 6  1 = 1 1  B ok respecto de  el complemento de a = 1esa´ = 6 a = 2esa´ = 3 a = 3esa´ = 2 a = 6esa´ = 1 (B,*,  ) Es Algebra de Boole

50 13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes : 1) a  b´ = 0 2) a * b = b 3) a´ * b = 1 4) a  b = a a * b = (a * b)  1 porque 1 es neutro para  b * b´= 1 (a * b)  1 = (a * b)  (b * b´) por propiedad distributiva extraemos b (a * b)  (b * b´) = b * (a  b´) suponiendo válida la primera condición a  b´ = 0 b * (a  b´) = b * 0 = bpor ser 0 el neutro de * queda probado que a * b = b Si a´ * b = a´ * ( a * b) dando por válido lo que acabamos de probar a´ * ( a * b) = ( a´ * a ) * b por asociatividad, que debe cumplir un Algebra de Boole ( a´ * a ) * b = 1 * b por complementario a * a´= 1 1 * b = ( 1 * b )  1 por ser 1 neutro para  ( 1 * b )  ( b * b´ ) = ( 1  b´ ) * b= b * b´ = 1 luego a ´* b = 1 probamos (2) a partir de (1) entonces: Probamos ahora (3) a partir de (2) entonces:

51 Probamos ahora (4) a  b = a a partir de (3) a´*b = 1 entonces: porque 0 es neutro para * a  b = (a  b) * 0 (a  b) * 0 = (a  b) * (a  a´) porque a  a´ = 0 por ser  distrubutivo en * (a  b) * (a  a´) = a  (b*a´) a  (b * a´) = a  1 porque quedó probado (3) a´*b = 1 con * conmutativo queda probado que a  b = a Probamos ahora (1) a  b´ a partir de (4) a  b = a cerrando la cadena, entonces: a  b´ = (a  b)  b´ por asociatividad por ser 0 el neutro de * suponiendo válido lo que acabamos de probar a  b = a (a  b)  b´ = a  ( b  b´ ) por complementario b  b´= 0 a  ( b  b´ ) = a  0 a  0 = ( a  0 ) * 0 ( a  0 ) * 0 = ( a  0 ) * (a  a´) = a  (0 * a´) 0 * a´ = a´ por ser 0 neutro para * a  (0 * a´) = a  a´ = 0 luego a  b´ = 0 a  1 = a porque 1 es neutro para 

52 14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones establecemos las siguientes equivalencias: * equivale a   equivale a  0 equivale a F 1 equivale a V a´ equivale a  p 1) a  b´ = 0 será p   q  F 4) a  b = a será p  q  p 2) a * b = b será p  q  q 3) a´ * b = 1 será  p  q  V Le queda a Ud comprobar que cualquiera de ellas se cumple suponiendo verdadera alguna otra, aplicando los contenidos del tema 1 (lógica de proposiciones) 15) a) Probamos que (a * b)  (a * b´) = a a * (b  b´) = Aplicando distributiva b) Probamos que (a  b) * (a  b´) = a a  (b * b´) = Aplicando distributiva y sabiendo que 0 es neutro de *; por tanto b  b´ = 0 a * 0 = a y sabiendo que 1 es neutro de *; por tanto b * b´ = 1 a  1 = a Observamos además que esto es válido por el principio de dualidad, dado que éste caso es el dual del punto a)

53 16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos establecemos las siguientes equivalencias: * equivale a   equivale a  0 equivale a  1 equivale a U a´ equivale a A´= (a * b)  (a * b´) = a (a  b) * (a  b´) = a equivale a (A  B)  (A  B´) =A  ( B  B´ ) = A   = A equivale a (A  B)  (A  B´) =A  ( B  B´ ) = A  U = A Es posible que algo haya quedado sin entenderse, te sugiero que vuelvas a repasar, que resuelvas los ejercicios complementarios y otros de los que dispongas pero JAMAS TE DESANIMES, no dejes que los fantasmas te persigan... Las cosas que acabarán con la raza humana son: la política sin principios, el progreso sin compasión, la riqueza sin esfuerzo, la erudicción sin silencio, la religión sin riesgo y el culto sin conciencia (Anónimo)