J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Curso 2014/15.

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2 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval POLARIZACIÓN DE LA MATERIA POTENCIAL: DESARROLLO MULTIPOLAR VECTOR POLARIZACIÓN DENSIDADES DE CARGA DE POLARIZACIÓN CARGA TOTAL DE POLARIZACIÓN DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO CAMPO EN LA SEPARACIÓN DE MEDIOS CONDENSADORES ENERGÍA ELECTROSTÁTICA ÍNDICE

3 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval APLICACIONES DIPOLO ELÉCTRICO POTENCIAL DE UN DIPOLO CAMPO ELÉCTRICO DE UN DIPOLO ACCIONES DE UN CAMPO ELÉCTRICO SOBRE UN DIPOLO CAMPO EN LA SEPARACIÓN DE UN CONDUCTOR EN CONTACTO CON EL VACÍO CAMPO EN LA SEPARACIÓN DE UN CONDUCTOR EN CONTACTO CON UN DIELÉCTRICO CAPACIDAD CONDENSADOR ESFÉRICO CONDENSADOR PLANO ÍNDICE

4 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval APLICACIONES FUERZAS ELÉCTRICAS MACROSCÓPICAS SISTEMAS CONSERVATIVOS DONDE LA ENERGÍA DEPENDE DE LA POSICIÓN RELATIVA DE CUERPOS MACROSCÓPICOS Condensador plano con carga Q=cte. Fuerza necesaria para mantener las placas a una distancia h SISTEMAS CONSERVATIVOS CON DISTINTOS TIPOS DE ENERGÍA Condensador plano sometido a potencial V=cte. Fuerza necesaria para mantener las placas a una distancia h Condensador plano con carga Q=cte. Trabajo necesario para rellenar con un material dieléctrico MÉTODO DE IMÁGENES ÍNDICE

5 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval POLARIZACIÓN DE LA MATERIA Al aplicar un campo externo, se perturba el movimiento de los electrones y su centro de cargas se desplaza una cierta distancia con respecto al núcleo (centro de cargas positivo) aparece un momento dipolar. Los átomos no tienen momentos dipolares permanentes debido a su simetría esférica, pero cuando se colocan en un campo eléctrico se polarizan adquiriendo momentos dipolares inducidos.

6 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval POLARIZACIÓN DE LA MATERIA Muchas moléculas tienen momentos dipolares permanentes, ya que en ellas el centro de cargas de las cargas positivas no coincide con el centro de cargas de las negativas. La materia en general no presenta un momento dipolar neto debido a la orientación al azar de las moléculas. Los momentos dipolares en presencia de un campo externo tienden a colocarse paralelamente al campo debido al par que aparece, dando lugar a una polarización neta.

7 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval POTENCIAL: DESARROLLO MULTIPOLAR Los materiales dieléctricos no contienen cargas libres por lo que en su interior puede existir un campo electrostático macroscópico. Cargas positivas Cargas negativas

8 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval POTENCIAL: DESARROLLO MULTIPOLAR Para calcularlo consideraremos que están formados por un conjunto de cargas puntuales: electrones y protones, con carga neta nula aunque con centros de cargas no solapados. En primer lugar obtendremos el potencial creado por una molécula que se encuentra en una región de tamaño R (determinada por el vector ) en puntos tales que:

9 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval POTENCIAL: DESARROLLO MULTIPOLAR Y como* *Ver diapositiva siguiente

10 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval POTENCIAL: DESARROLLO MULTIPOLAR

11 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval POTENCIAL: DESARROLLO MULTIPOLAR Potencial para un sistema de cargas puntuales en puntos alejados en aproximación dipolar

12 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval POTENCIAL: DESARROLLO MULTIPOLAR Momento dipolar eléctrico respecto del punto

13 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Potencial en aproximación dipolar para una molécula neutra (sistema de cargas puntuales) en una posición alejada. POTENCIAL: DESARROLLO MULTIPOLAR

14 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval VECTOR POLARIZACIÓN El dieléctrico está formado por diferenciales de volumen y cada uno de ellos contiene moléculas neutras (dipolos) colocadas en

15 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval VECTOR POLARIZACIÓN El vector polarización es la suma de los momentos dipolares moleculares por unidad de volumen. Sumamos para los volúmenes  y los dipolos s que tiene cada uno

16 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval VECTOR POLARIZACIÓN Si calculamos un campo promediado o macroscópico: Potencial creado por un dieléctrico en función del vector polarización Dieléctrico v

17 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval DENSIDADES DE CARGA DE POLARIZACIÓN Y como:

18 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval DENSIDADES DE CARGA DE POLARIZACIÓN Entonces: Dieléctrico S, v Vector unitario de la normal exterior a la superficie

19 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval DENSIDADES DE CARGA DE POLARIZACIÓN Esta ecuación es solución de: Dieléctrico S, v

20 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval DENSIDADES DE CARGA DE POLARIZACIÓN Por tanto, a todos los efectos existe una densidad de carga de polarización real en el dieléctrico: Y en la superficie: Siendo el vector unitario de la normal exterior S, v

21 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CARGA TOTAL DE POLARIZACIÓN La carga total de polarización es nula dado que las cargas en el dieléctrico lo único que hacen es separarse.

22 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO En presencia de cargas libres de densidad total  y de polarización de densidad  p la Electrostática se rige por: Y además:

23 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO Se define el vector Desplazamiento Eléctrico como: El vector desplazamiento depende únicamente de las cargas libres de los conductores y de los materiales con densidades creadas “artificialmente” (véase el tema de electrostática, por ejemplo electrones inyectados en dieléctricos con haces de electrones de alta energía ). Y como: Entonces:

24 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO Ley de Gauss en presencia de dieléctricos: S, v Permite el cálculo del vector desplazamiento en problemas de alta simetría sin tener en cuenta la carga de polarización El flujo del vector desplazamiento es igual a la carga libre encerrada

25 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO Para resolver los problemas de dieléctricos se necesita la relación. Usualmente la polarización tiene una dependencia lineal con el campo macroscópico, por tanto, bastaría conocer  r  e  = susceptibilidad  r  =constante dieléctrica o permitividad relativa No hay ningún termino que dependa de (excepto en cristales piroeléctricos) porque las moléculas no tienen dipolo en ausencia de campo o porque teniendo un momento dipolar permanente la agitación térmica anula la suma de momentos dipolares.

26 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO

27 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CAMPO EN LA SEPARACIÓN DE MEDIOS 1 2 Superficie de separación de dos medios En la dirección normal el vector desplazamiento se conserva si no existe carga libre El vector unitario normal es positivo en la dirección del primer vector (2)

28 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CAMPO EN LA SEPARACIÓN DE MEDIOS 1 2 Superficie de separación de dos medios Condición de Contorno: En la dirección tangencial el vector campo eléctrico se conserva siempre Dado queel potencial a ambos lados coincide: es continuo.

29 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Sin dieléctrico: Con dieléctrico: Condensador con carga fija ( Q = cte ) El dieléctrico disminuye el campo eléctrico y, como consecuencia, disminuye la diferencia de potencial entre placas aumentando la capacidad del condensador en un factor  r CONDENSADORES

30 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Sin dieléctrico: Con dieléctrico: CONDENSADORES Condensador a potencial fijo ( V = cte, ): El dieléctrico aumenta la carga del condensador y, como consecuencia, aumenta la capacidad del condensador en un factor  r

31 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval ENERGÍA ELECTROSTÁTICA En presencia de dieléctricos y conductores la energía electrostática se calcula como: Sólo carga LIBRE (de conductores o “artificial”) Ej: Para un condensador:

32 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval -q-q +q+q POTENCIAL DE UN DIPOLO DIPOLO: 2 cargas idénticas de signo opuesto muy próximas DIPOLO ELÉCTRICO

33 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval POTENCIAL DE UN DIPOLO DIPOLO ELÉCTRICO

34 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CAMPO ELÉCTRICO DE UN DIPOLO DIPOLO ELÉCTRICO

35 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval ACCIONES DEL CAMPO ELÉCTRICO SOBRE UN DIPOLO -q +q El momento tiende a alinear el dipolo con las líneas del campo -q +q  Unitario perpendicular al papel DIPOLO ELÉCTRICO

36 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval  Conductor CAMPO EN LA SEPARACIÓN DE UN CONDUCTOR EN CONTACTO CON EL VACÍO Coincide con la expresión del tema de conductores: Vacío

37 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Densidad de polarización en el dieléctrico adyacente  Dieléctrico Conductor CAMPO EN LA SEPARACIÓN DE UN CONDUCTOR EN CONTACTO CON UN DIELÉCTRICO

38 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CONDENSADOR ESFÉRICO Radios: R 1 y R 2 Carga del condensador: Q Dieléctrico:  r r Gaussiana 1 2 Y como Q CAPACIDAD

39 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Radios: R 1 y R 2 Carga del condensador: Q Dieléctrico:  r CONDENSADOR ESFÉRICO CAPACIDAD

40 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Separación de placas: d Potencial: ΔV Dieléctrico:  r S 1 2 Gaussiana Y como CONDENSADOR PLANO CAPACIDAD

41 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Separación de placas: d Potencial: ΔV Dieléctrico:  r CONDENSADOR PLANO CAPACIDAD

42 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Para una fuerza conservativa, Si se aplica una fuerza, para lograr el equilibrio: Cálculo de la fuerza: SISTEMAS CONSERVATIVOS DONDE LA ENERGÍA DEPENDE DE LA POSICIÓN RELATIVA DE CUERPOS MACROSCÓPICOS FUERZAS ELÉCTRICAS MACROSCÓPICAS

43 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Esta ecuación se aplica para una partícula y, en problemas macroscópicos, para calcular la fuerza necesaria para lograr el equilibrio. Otra deducción. Ecuación de la energía con una perturbación respecto del equilibrio: SISTEMAS CONSERVATIVOS DONDE LA ENERGÍA DEPENDE DE LA POSICIÓN RELATIVA DE CUERPOS MACROSCÓPICOS FUERZAS ELÉCTRICAS MACROSCÓPICAS

44 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Condensador plano con carga Q = cte Fuerza necesaria para mantener las placas a una distancia h Existe una atracción entre placas h S  SISTEMAS CONSERVATIVOS DONDE LA ENERGÍA DEPENDE DE LA POSICIÓN RELATIVA DE CUERPOS MACROSCÓPICOS FUERZAS ELÉCTRICAS MACROSCÓPICAS

45 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval En general, la superficie de la placa sufre una fuerza de atracción que es necesario compensar para lograr el equilibrio Condensador plano con carga Q = cte Fuerza necesaria para mantener las placas a una distancia h SISTEMAS CONSERVATIVOS DONDE LA ENERGÍA DEPENDE DE LA POSICIÓN RELATIVA DE CUERPOS MACROSCÓPICOS FUERZAS ELÉCTRICAS MACROSCÓPICAS

46 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Energía no electrostática Trabajo De esta expresión se deducen las fuerzas, que hay que aplicar para lograr el equilibrio SISTEMAS CONSERVATIVOS CON DISTINTOS TIPOS DE ENERGÍA FUERZAS ELÉCTRICAS MACROSCÓPICAS Cálculo de la fuerza:

47 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Condensador plano sometido a potencial V=cte Fuerza necesaria para mantener las placas a una distancia h  h S  V SISTEMAS CONSERVATIVOS CON DISTINTOS TIPOS DE ENERGÍA FUERZAS ELÉCTRICAS MACROSCÓPICAS

48 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Idéntica a la obtenida para Q = cte Condensador plano sometido a potencial V=cte Fuerza necesaria para mantener las placas a una distancia h SISTEMAS CONSERVATIVOS CON DISTINTOS TIPOS DE ENERGÍA FUERZAS ELÉCTRICAS MACROSCÓPICAS

49 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Trabajo para rellenar el condensador con un dieléctrico h S   wawa Condensador plano con carga Q = cte Trabajo necesario para rellenar con un material dieléctrico SISTEMAS CONSERVATIVOS CON DISTINTOS TIPOS DE ENERGÍA FUERZAS ELÉCTRICAS MACROSCÓPICAS

50 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval La fuerza para mantener el equilibrio se opone al llenado, por tanto, el dieléctrico tiende a llenar el espacio entre placas. Sin dieléctrico Con dieléctrico Condensador plano con carga Q = cte Trabajo necesario para rellenar con un material dieléctrico SISTEMAS CONSERVATIVOS CON DISTINTOS TIPOS DE ENERGÍA FUERZAS ELÉCTRICAS MACROSCÓPICAS

51 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Carga puntual y plano conductor a V = 0 a +q a Dos cargas puntuales simétricas y opuestas -q a Por simetría en la posición del plano conductor el potencial es 0 y x y x r1r1 r2r2 P Potencial en cualquier punto del espacio MÉTODO DE IMÁGENES