J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Curso 2014/15.

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1 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Curso 2014/15

2 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval INTRODUCCIÓN DISTRIBUCIÓN DE CARGA CONDUCTORES CON CAVIDAD Y SIN CAMPO EXTERNO CONDUCTORES CON CAVIDAD Y CON CAMPO EXTERNO CONDUCTOR DESCARGADO CON CARGA Q’>0 EN LA CAVIDAD CONDUCTOR CARGADO ( Q ) CON CARGA Q’>0 EN LA CAVIDAD CAMPO Y POTENCIAL EN LA SUPERFICIE CAPACIDAD CONDENSADORES ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES SERIE PARALELO ENERGÍA ELECTROSTÁTICA ÍNDICE

3 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval APLICACIONES CONDENSADOR PLANO CONDENSADOR ESFÉRICO CONDENSADOR CILÍNDRICO ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES CASO GENERAL ÍNDICE

4 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval INTRODUCCIÓN CONDUCTOR Los electrones más superficiales de sus átomos se mueven fácilmente en el seno de la sustancia. CONDUCTOR NEUTRO L a carga total del conductor, positiva más negativa, es cero. CONDUCTOR CARGADO Si tiene exceso de electrones decimos que está cargado negativamente y si tiene defecto de electrones decimos que tiene carga positiva o que está cargado positivamente. CONDUCTOR EN EQUILIBRIO En todos los casos, en un conductor aislado, la carga que adquiere, positiva o negativa, produce un rápido movimiento de los electrones libres y se llega inmediatamente a una situación de equilibrio.

5 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval INTRODUCCIÓN CARGA POR CONTACTO Ponemos en contacto dos conductores sin carga (neutros) y los situamos en una región donde exista un campo eléctrico. El campo eléctrico actúa sobre los electrones libres que se mueven en sentido contrario al campo (de B hacia A). Se produce un exceso de electrones en A y un defecto de electrones en B. + + + + + + + + + AB

6 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval INTRODUCCIÓN Separamos los conductores y suprimimos el campo. Los conductores quedarán cargados, uno negativamente (A) y otro positivamente (B).

7 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval INTRODUCCIÓN Otra forma de conseguir cargar un conductor neutro es colocarlo en presencia de un campo eléctrico. Los electrones se redistribuyen, aunque la carga neta sigue siendo la misma (cero) y si quitamos el campo la redistribución desaparece. + + + + + + + + +

8 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval INTRODUCCIÓN Conectamos la parte derecha del conductor a tierra mediante un hilo conductor. Los electrones que suben desde tierra neutralizan inmediatamente la carga positiva acumulada. Cortamos el hilo y el conductor queda cargado negativamente.

9 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval INTRODUCCIÓN En equilibrio termodinámico, la energía electrostática debe ser mínima. Tampoco puede haber corriente, por tanto, en electrostática en el interior del conductor, de este modo no haya fuerzas sobre cargas libres, y la densidad de carga es nula.

10 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval INTRODUCCIÓN Lo anterior implica que el potencial en el interior del conductor es constante. En la superficie puede haber una densidad de carga , ya que los electrones no son libres para dejar el conductor y aparecen fuerzas normales a la superficie que no producen movimiento de cargas.

11 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval DISTRIBUCIÓN DE CARGA En electrostática los electrones deben estar en equilibrio. Si en el interior del conductor existiera campo eléctrico los electrones se moverían. Si en la superficie del conductor existiera una componente del campo en la dirección tangencial los electrones se moverían, luego el campo debe ser normal a la superficie. Es decir, el campo en el interior debe ser nulo y en la superficie debe ser perpendicular a ella.

12 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval DISTRIBUCIÓN DE CARGA El potencial en el interior del conductor es constante. El conductor es un volumen equipotencial.

13 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval DISTRIBUCIÓN DE CARGA Si aplicamos el Teorema de Gauss con una esfera en el interior del conductor: La carga neta en el interior debe ser nula. Si el conductor está cargado, la carga debe estar distribuida en la superficie como densidad superficial  S v

14 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval DISTRIBUCIÓN DE CARGA CONDUCTORES CON CAVIDAD Y SIN CAMPO EXTERNO Sin cargaCon carga Q<0 - - - - - - - - - - - - Las líneas de campo son perpendiculares a la superficie Si tiene carga, está en la superficie exterior. La superficie del conductor es sumidero o fuente de líneas de campo. S

15 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Con conductor sin carga El conductor sigue descargado pero redistribuye sus cargas y modifica la forma de las líneas de campo exterior. Aplicando Gauss, el campo en el interior de la cavidad es nulo. Es el efecto de pantalla electrostática (Jaula de Faraday) Sin conductor - + - - - - + + + + DISTRIBUCIÓN DE CARGA CONDUCTORES CON CAVIDAD Y CON CAMPO EXTERNO

16 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Con conductor con carga Q <0 Igual que en el caso anterior, el conductor sigue cargado pero redistribuye sus cargas y modifica la forma de las líneas de campo exterior. El campo en el interior de la cavidad sigue siendo nulo. Sin conductor - + - - - - + + + + - - - - - - - - DISTRIBUCIÓN DE CARGA CONDUCTORES CON CAVIDAD Y CON CAMPO EXTERNO

17 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CONDUCTOR DESCARGADO CON CARGA Q ’>0 EN LA CAVIDAD Aplicando Gauss a la superficie S La superficie interior tiene una carga distribuida: La superficie exterior tiene una carga distribuida: - + -- - - + + + + - - - + + + + DISTRIBUCIÓN DE CARGA

18 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CONDUCTOR CARGADO ( Q ) Y CON CARGA Q ’>0 EN LA CAVIDAD Aplicando Gauss a la superficie S La superficie interior tiene una carga distribuida: La superficie exterior tiene una carga distribuida: - + -- - - + + + + - - - + + + + DISTRIBUCIÓN DE CARGA

19 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CAMPO EN LA SUPERFICIE Para un volumen suficientemente pequeño sólo hay flujo en la superficie superior del cilindro (en las laterales, campo y superficie son perpendiculares, y en la interior el campo es cero)

20 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CAMPO EN LA SUPERFICIE Aplicando el teorema de Gauss al volumen cilíndrico de la figura:

21 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CAMPO EN LA SUPERFICIE Teniendo en cuenta: Y como la carga neta encerrada en el cilindro es: Condición de contorno

22 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval POTENCIAL EN LA SUPERFICIE V es una función continua porque tiene derivada definida. En puntos exteriores próximos a la superficie del conductor Conocido el potencial, la densidad de carga es:

23 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CAPACIDAD Un conductor cargado y aislado es un dominio equipotencial. Si tomamos la referencia de potencial en el infinito, un conductor con una cierta carga Q estará a un potencial V. Esta distribución de carga crea en el espacio que le rodea un campo y cada punto estará también a un cierto potencial. Si aplicamos el principio de superposición, una carga doble 2Q en el conductor hará que el potencial de éste sea 2V y también que se duplique el campo y el potencial en los puntos del espacio que le rodea.

24 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CAPACIDAD En definitiva, para un conductor aislado, carga y potencial son proporcionales. La constante de proporcionalidad se denomina CAPACIDAD ELÉCTRICA (C) La unidad SI de capacidad eléctrica se denomina FARADIO, se representa F y se puede definir como la capacidad de un conductor aislado que al ser cargado con 1 culombio adquiere el potencial de 1 voltio.

25 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CONDENSADORES El proceso de carga de un conductor requiere un aporte de energía. Esta energía puede ser recuperada por un proceso controlado de descarga. Se conoce como CONDENSADOR al conjunto formado por dos conductores aislados que durante el proceso de carga por inducción adquieren cargas netas iguales y de signo contrario. Esta configuración para dos conductores aislados se denomina de influencia total (todas las líneas de campo que nacen en uno mueren en el otro).

26 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Línea de campo Gaussiana S 2 1 Integrando CONDENSADORES

27 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CONDENSADORES Capacidad del condensador: La capacidad sólo depende de la geometría de la cavidad. Carga del condensador: Diferencia de potencial entre los conductores:

28 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES SERIE Inicialmente no hay carga En una armadura aparece +Q y en otra -Q I A B V +Q -Q +Q -Q +Q -Q +Q -Q C1C1 C2C2 C nC n C3C3 e-e-

29 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval AB V +Q -Q CeCe e-e- I ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES SERIE

30 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval A B V +Q1+Q1 -Q1-Q1 C1C1 C2C2 C nC n +Q2+Q2 -Q2-Q2 +Qn+Qn -Qn-Qn e-e- I ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PARALELO

31 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval AB V +Q -Q CeCe e-e- I Si se combinan series y paralelos es necesario usar las ecuaciones de nudos y mallas (véase Aplicaciones). ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES PARALELO

32 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval ENERGÍA ELECTROSTÁTICA Sistema de n conductores i=1i=2i=n U e tiende a ser mínima: Un conductor descargado alejado de un sistema de conductores cargados es siempre atraído por estos. (Al acercarlo disminuye el potencial de los conductores, por ejemplo, al acercar dos laminas plano paralelas infinitas, una de carga Q y otra cero, disminuye la diferencia de potencial entre ambas)

33 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Conductor aislado con carga Q : Condensador con conductores (placas) a V 1 y V 2 : ENERGÍA ELECTROSTÁTICA También se puede calcular: No hay campo fuera de la cavidad

34 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CONDENSADOR PLANO Separación entre placas: d Superficie de las placas: S ( S>>d 2 ) Carga del condensador: Q 1 2 Gaussiana S’

35 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CONDENSADOR ESFÉRICO Radios: R 1 y R 2 ( R 1 <R 2 ) Carga del condensador: Q 1 2 r Gaussiana R1R1 R2R2

36 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CONDENSADOR ESFÉRICO Radios: R 1 y R 2 ( R 1 y R 2 ) Carga del condensador: Q 1 2 R1R1 R2R2 Siendo d la separación entre placas y S la superficie

37 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CONDENSADOR CILÍNDRICO Radios: R 1 y R 2 ( R 1 <R 2 ) Carga del condensador: Q 2 Gaussiana Altura: H (H>> R 1 y R 2 ) r 1 h R1R1 R2R2

38 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval CONDENSADOR CILÍNDRICO Radios: R 1 y R 2 ( R 1 y R 2 ) Carga del condensador: Q 2 Altura: H (H>> R 1 y R 2 ) 1 R2R2 R1R1 La capacidad es directamente proporcional a la superficie de placa S e inversamente proporcional a la separación de placas d Que es idéntica a la obtenida para el condensador esférico de placas muy juntas.

39 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES CASO GENERAL V Todos los condensadores tienen capacidad C

40 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Agrupamos asociaciones en serie y en paralelo C C/2 2C2C 2C2C C V V 2C2C 2C2C ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES CASO GENERAL

41 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Asignamos arbitrariamente una carga a las placas de cada condensador indicando claramente dónde ponemos el + y dónde el - q2q2 q1q1 q3q3 q5q5 q4q4 V ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES CASO GENERAL

42 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Para cada nodo se plantea la conservación de la carga: (si hay n nodos se necesitan n-1 ecuaciones) q2q2 q1q1 q3q3 q5q5 q4q4 V Placas que confluyen en a : Placas que confluyen en b : a b ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES CASO GENERAL

43 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Ecuaciones de mallas simples: (se necesitan tantas como mallas simples hay en el circuito) Malla A: C V2V2 V1V1 V3V3 V5V5 V4V4 V A B Malla B: Malla C: ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES CASO GENERAL

44 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval V2V2 V1V1 V3V3 V5V5 V4V4 V C C/2 2C2C 2C2C C V q2q2 q1q1 q3q3 q5q5 q4q4 ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES CASO GENERAL

45 J.C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U.D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene la carga de cada condensador: Y la capacidad equivalente, teniendo en cuenta que las cargas que envía la fuente se reparten entre los condensadores 1 y 2 : Que, como puede comprobarse coincide con la de los condensadores 3 y 4 : ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES CASO GENERAL