Álgebra. Cálculo Vectorial Matemáticas para Computación Dr. Felipe Orihuela-Espina.

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1 Álgebra. Cálculo Vectorial Matemáticas para Computación Dr. Felipe Orihuela-Espina

2 Contenidos  Vectores y espacios vectoriales  Espacios/campos vectoriales  Topología y Manifolds  Morfismos: homeomorfismos / difeomorfismos / etc-morfismos © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina2 No forma parte del temario así que la veremos MUY rápido.

3 Lecturas recomendadas  Cálculo vectorial y topología  Anton H (2001) “Introducción al Álgebra lineal” John Wiley and Sons (Traducido al español)  Capítulos 3 al 5 principalmente, pero aquí también puedes encontrar la SVD (Cap 7.)  Lee, M. (2010) “Introduction to topological manifolds” Springer  …entrada amable, e incorpora una sección con el enlace al álgebra. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina3

4 VECTORES Y ESPACIOS VECTORIALES © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina4

5 ESPACIOS Y CAMPOS VECTORIALES © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina5

6 Espacios vectoriales  Ya sabemos © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina6 Conjunto (Colección) Conjunto (Colección) Función Estructura Relación es-un Definido sobre… Conjuntos Relaciones Relación Subconjunto Conjunto Potencia Conjunto Potencia Producto Cartesiano Mapeo Operación Morfismo Array (En solidos rectangulares) Array (En solidos rectangulares) Vector (Array de rango 1) Vector (Array de rango 1)

7 Espacios vectoriales  Espacio: Un conjunto X con una estructura añadida.  Espacio vectorial: Un conjunto X de arrays con las operaciones cerradas de suma vectorial y multiplicación escalar.  A menudo los elementos son vectores, pero podrían ser escalares, arrays, tensores, etc…a pesar del nombre  La estructura impuesta sobre el conjunto del espacio vectorial corresponde a una estructura algebraica de tipo Campo; cumple la conmutativa, la asociativa, etc…  Las operaciones suma vectorial y multiplicación escalar para vectores son casos particulares de las análogas para matrices. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina7 * Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/]

8 © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina8 Espacios vectoriales Conjunto (Colección) Conjunto (Colección) Función Estructura Relación es-un Definido sobre… Conjuntos Relaciones Relación Subconjunto Conjunto Potencia Conjunto Potencia Producto Cartesiano Mapeo Operación Morfismo Array (En solidos rectangulares) Array (En solidos rectangulares) Vector (Array de rango 1) Vector (Array de rango 1) Espacio vectorial Espacio vectorial Campo

9 Espacios vectoriales  Dimensión del espacio vectorial:  La dimensión del espacio vectorial es el máximo número de vectores linealmente independientes entre si.  …o sea el rango de la matriz correspondiente a “apilar” todos los vectores del conjunto subyacente.  La dimensión puede ser infinita. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina9

10 Espacios vectoriales  Orden del espacio vectorial:  El orden del espacio vectorial es la longitud u orden de los vectores.   NOTA: A menudo se usa el término dimensionalidad intrínseca para llamar a la dimensionalidad o rango, y simplemente dimensionalidad para referirse al orden, lo cual es ambiguo.  A menudo la dimensionalidad (dimensionalidad intrínseca) y el orden (dimensionalidad) coinciden.  Cuando este no es el caso, entonces se suele hacer explícita la diferencia, precisamente usando el término de dimensionalidad intrínseca. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina10

11 Espacios vectoriales  Subespacio vectorial:  Sea V un espacio vectorial, y sea W un subconjunto de V donde también se cumplen las operaciones (la estructura) de V. Entonces W es un subespacio vectorial y se denota W ⊆ V.   NOTA: Observa que la notación es similar a la de los conjuntos subyacentes al espacio, y de alguna forma “ignora” las operaciones. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina11

12 Espacios vectoriales  Conjunto de bases:  Sea V un espacio vectorial y G un conjunto de vectores. Si cada uno de los vectores v ∈ V se puede expresar como una combinación lineal de los elementos de G, entonces se dice que G es un conjunto generador. Se denota como V(G) o span(G).  Los elementos de G no tienen por que pertenecer a V.  …aunque si se me permite la osadía (y sin prueba ninguna) eso es como poco infrecuente. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina12

13 Espacios vectoriales  Conjunto de bases:  Si además los vectores de G son linealmente independientes entre si, entonces de dice que conforman una base de V.  Teorema: La representación de un vector dado en términos de una base es única.  Demostración: [Gentle 2007, pg 14] © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina13

14 Espacios vectoriales  Conjunto de bases:  El número de vectores (cardinalidad) en un conjunto generador es al menos tan grande como la dimensión intrínseca del espacio vectorial.  dim(V(G))≤#G  El número de vectores (cardinalidad) en una base es igual a la dimensión intrínseca del espacio vectorial.  dim(V(B))=#B © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina14

15 Espacios vectoriales  Producto punto:  Informal: Si entendemos un vector como el crecimiento en una determinada dirección, entonces el producto punto es el crecimiento direccional que un vector traslada a otro.  El producto punto es mucho más que una simple proyección geométrica  http://betterexplained.com/articles/vector-calculus- understanding-the-dot-product/ http://betterexplained.com/articles/vector-calculus- understanding-the-dot-product/ © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina15 Figura de: [mathinsight.org]

16 Espacios vectoriales  Producto punto, producto interno o producto escalar:  Formal: Sea el espacio vectorial V. El producto punto es un producto de dos vectores u,v ∈ V está definido como:  Donde x i e y i representan los diferentes elementos del vector.   NOTA: El anterior es realmente el producto punto, y es un tipo especial de producto interno. No obstante, el producto punto es el producto interno más común, y se le suele llamar producto interno por extensión, pero no es el único producto interno que puede definirse. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina16

17 Espacios vectoriales  Producto punto:  Propiedades:  u ⋅0=0⋅u=0⋅0=0  Conmutativa: u⋅v=v⋅u  Multipicación por un escalar: a(u⋅v)=au⋅v=u⋅av  Distributiva con respecto a la suma vectorial: (u+v)⋅t=u⋅t+v⋅t © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina17

18 Espacios vectoriales  Norma:  Una norma, se denota como || ⋅ ||, es cualquier función que mapea un vector con un escalar y que satisfaga las siguientes condiciones: 1. No negatividad: x ≠ 0 → ||x|| ≠ 0 2. Mapeo de la identidad: ||0|| = 0 3. Multiplicación por un escalar: ||ax|| =a ||x|| 4. Inequidad del triángulo: ||x+y|| ≤ ||x||+||y||  Si se relaja alguna condición se llama pseudonorma.  Si se relajan las condiciones 1 y 2 se llama seminorma. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina18

19 Espacios vectoriales   NOTA: Una norma no es una métrica como tal; la norma está definida sobre un único elemento, mientras que una métrica está definida sobre dos elementos. Pero dicho eso, ambas funciones están íntimamente relacionadas.  A menudo, una métrica obvia es la norma de la diferencia. De hecho a esta se le llama la métrica inducida por la norma. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina19

20 Espacios vectoriales  Normas de Minkowski o L p :  Sea p ≥1, las normas de Minkowski o L p se definen como:  donde | ⋅| representa el módulo del elemento, y x i son los distintos elementos del vector x. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina20

21 Espacios vectoriales  Normas de Minkowski o L p :  Algunos casos específicos de p son tan comúnmente usados que tienen su “nombre”:  Si p=1: ||x|| 1 es la norma Manhattan.  Si p=2: ||x|| 2 es la norma Euclídea.  Si p= ∞ : ||x|| ∞ es la norma Chebyshev. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina21 No conozco una interpretación geométrica “clara”

22 Espacios vectoriales  Normas de Minkowski o L p :  Las normas de Minkowski son una función no creciente:  ||x|| ∞ ≤ ||x|| 2 ≤ ||x|| 1 © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina22

23 Espacios vectoriales  Normas de Minkowski o L p :  Existe una versión pesada:  donde w i ≥0.  …pero no entraremos en detalles. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina23

24 Espacios vectoriales  Normalización:  Hay distintas formas de normalización (ej: a un rango, a media=0 y var=1), pero un común es dividir por la norma:  …se dice entonces que el vector está normalizado. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina24

25 TOPOLOGÍA © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina25

26 Topología  “Topology is the field of mathematics that formalizes and generalizes the intuitive notion of "continuous deformation" of objects” [Wikipedia:Discrete_mathematics] © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina26

27 Espacio topológico  Espacio Euclidiano:  Un espacio euclidiano es un espacio donde se satisfacen los axiomas o postulados de Euclides: 1. Dados dos puntos, e puede trazar una recta (1 sóla dimensión y 1 sóla dirección) que los une.  ¡Tiene que ser recta, no curva! 2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido 3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio 4. Todos los ángulos rectos son congruentes. 5. Si una recta al cortar a otras dos, forman ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el lado en el que están los dos ángulos menores a los rectos. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina27

28 Espacio topológico © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina28 Figura de: [http://www.huffingtonpost.com/mauricio-garrido/lessons-from-non-euclidian-geometries-for-interfaith-dialogue_b_3403930.html]

29 Espacio topológico  Espacio topológico:  Un espacio topológico es un conjunto de puntos X={x i |i=1…n} con un conjunto de subconjuntos T={S j ={x i ∈ X}} ⊆ X que satisface los siguientes axiomas:  El conjunto vacio está en T: ∅∈ T  El conjunto X está en T: X ∈ T  La unión de una colección finita de conjuntos de T también está en T:  La intersección de una colección arbitraria de conjuntos de T también está en T: © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina29

30 Espacio topológico  Topología:  El conjunto X se conoce como el substrato del espacio topológico.  El conjunto T es la topología de X.  Básicamente, un espacio topológico es un cuerpo geométrico, y la topología es la estructura impuesta. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina30

31 Manifold  Variedad (Manifold):  Informal: Una variedad es un cuerpo geométrico.  Semi-Formal: Una variedad (manifold) es una espacio topológico que es localmente Euclidiano.  …o sea, que al menos visto de “cerca” o a pequeña escala, en una vecindad, cumple con los postulados Euclidianos.  El tamaño de la vecindad puede ser diferencial. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina31

32 Manifold  Variedad (Manifold):  Formal: Una variedad topológica es un espacio topológico en que cada punto tiene un entorno homeomorfo a un conjunto abierto de R n. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina32 Aún no hemos visto homeomorfismos. Lo veremos en 1 segundo.

33 Manifold  Variedad (Manifold):  Ejemplo: © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina33 Figura de: [tvtropes.org]

34 Manifold  Variedad (Manifold):  Ejemplo: © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina34 Figura de: [http://mathworld.wolfram.com/Manifold.html y Wikipedia]

35 Manifold  Variedad (Manifold):  Ejemplo: Las variedades no tienen por que ser continuas. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina35 Figura de: [http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold]

36  Variedad (Manifold):  La definición es muy general. De hecho a veces lo dificil es definir que NO es una variedad  ¿Puedes darme algún ejemplo de un objeto que NO sea una variedad?  La lemniscata (con la topología heredada del plano) no es una variedad, pues en el entorno del punto doble se parece a una cruz. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina36 Manifold Figura y ejemplo de: [http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad]

37 Manifold  Variedad (Manifold):  El concepto de variedad es la generalización del espacio Euclidiano tradicional para adaptarlo a topologías no Euclidianas.  Ser “localmente Euclidiano” no significa que esté restringido a la métrica Euclidiana de forma global.  Conceptualmente, una variedad es un objeto colocado en un espacio ambiente n-dimensional.  Por supuesto la variedad no tiene por que tener dimensión n. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina37

38 Manifold  Variedad (Manifold):  Si la variedad es infinitamente diferenciable se dice que es una variedad diferenciable (smooth manifold).  Un variedad diferenciable con una métrica impuesta para inducir la topología se llama una variedad de Riemannian. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina38 Aún no hemos definido métrica

39 Manifold  Subvariedad (Submanifold):  Una subvariedad es un subconjunto de una variedad, que a su vez es una variedad.  Una variedad k-dimensional es una subvariedad con k grados de libertad, en otras palabras, puede ser descrito únicamente con k-coordenadas.  Ejemplo clásico: Una esfera es un objeto bidimensional en un espacio tridimensional. La esfera es una subvariedad 2-dimensional. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina39

40 MORFISMOS © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina40

41 Morfismos  Morfismos o homomorfismo:  Un homomorfismo o simplemente morfismo es una transformación entre espacios topológicos que preserva las estructuras.  …o sea, un mapeo entre espacios topológicos  Recuerda, preservar las estructuras significa que las operaciones que se cumplían en X se siguen cumpliendo en Y. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina41

42 Morfismos  Isomorfismo:  Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.  El hecho de que sea biyectivo (o 1-a-1) significa que existe su inversa (f -1 :Y→X). © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina42

43 Morfismos  Homeomorfismo*:  Sean dos espacios topológicos X e Y. Un homeomorfismo es una transformación entre X e Y que es continua y biyectiva.  El hecho de ser continua significa que dos puntos cercanos en X, también son cercanos en Y, y además, que los puntos lejanos en X también son lejanos en Y. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina43 *No confundir con homomorfismo.

44 Morfismos  Difeomorfismo:  Un homeomorfismo que es diferenciable se llama un difeomorfismo.  La inversa también debe ser diferenciable. © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina44

45 Morfismos  Embedding: (Proyección??- No se el término en español)  Un embedding es un mapeo f:X→Y tal que f es un difeomorfismo de X a Y, y f(Y) es una variedad diferenciable de f(X).  Un embedding es la representación de un objeto topológico (ej: una variedad, un grafo, un latice, etc) en un determinado (sub-)espacio de forma que se preserva la topología.  En particular, para variedades, preserva los conjuntos abiertos en T.  Si alguien quiere saber más:  Orihuela-Espina F “A tiny review on Manifold Embedding techniques” (PowerPoint) © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina45

46 GRACIAS, ¿PREGUNTAS? © 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina46