REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. Profesora: Hernández Encinas Ascensión Alumnos:Baena González, Julio Alberto Moreno.

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1 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. Profesora: Hernández Encinas Ascensión Alumnos:Baena González, Julio Alberto Moreno Gómez, Roberto Muñoz Miguel, Jesús Núñez Ortiz, Jonathan

2 Babilonia EgiptoGrecia Roma REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. EL MUNDO DE LOS NÚMEROS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Babilonia

3 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. EL MUNDO DE LOS NÚMEROS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Para poder realizar importantes obras agrícolas y arquitectónicas, los babilonios tuvieron que desarrollar, hacia el siglo 2000 a.C. un sistema de numeración útil. Para poder realizar importantes obras agrícolas y arquitectónicas, los babilonios tuvieron que desarrollar, hacia el siglo 2000 a.C. un sistema de numeración útil. Su sistema de numeración era de base 60, es decir, dividían la unidad en 60 partes (de forma similar a como dividimos una hora en 60 minutos). Su sistema de numeración era de base 60, es decir, dividían la unidad en 60 partes (de forma similar a como dividimos una hora en 60 minutos). Descubrimiento en Egipto de El Papiro de Rhind. Fue escrito bajo el reinado del rey Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a.C. y, al parecer, es una transcripción de un escrito más antiguo, que se remontaría al reinado de Amenemhat III (XII dinastía, 1850-1800 a.C.). En este papiro se observan unas reglas para realizar sumas y restas de fracciones. Descubrimiento en Egipto de El Papiro de Rhind. Fue escrito bajo el reinado del rey Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a.C. y, al parecer, es una transcripción de un escrito más antiguo, que se remontaría al reinado de Amenemhat III (XII dinastía, 1850-1800 a.C.). En este papiro se observan unas reglas para realizar sumas y restas de fracciones. Fueron los griegos los que realizaron las aportaciones más valiosas al desarrollo del concepto de número. La escuela pitagórica (siglo V a.C.) descubrió que sólo con los números naturales y las fracciones no pueden realizarse todas las medidas posibles. Fueron los griegos los que realizaron las aportaciones más valiosas al desarrollo del concepto de número. La escuela pitagórica (siglo V a.C.) descubrió que sólo con los números naturales y las fracciones no pueden realizarse todas las medidas posibles.

4 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. EL MUNDO DE LOS NÚMEROS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Posteriormente se desarrolló el concepto de número negativo. Posteriormente se desarrolló el concepto de número negativo. Fueron los chinos, quienes en el siglo III a.C. emplearon las varas de contar, un conjunto de barras pintadas de rojo para los números positivos, y de negro para los negativos. Fueron los chinos, quienes en el siglo III a.C. emplearon las varas de contar, un conjunto de barras pintadas de rojo para los números positivos, y de negro para los negativos. Los chinos escribieron el libro llamado “Los nueve capítulos del arte matemático”. Fue el primer libro de la historia en el que se hacía una explicación consistente del uso de números negativos. Los chinos escribieron el libro llamado “Los nueve capítulos del arte matemático”. Fue el primer libro de la historia en el que se hacía una explicación consistente del uso de números negativos. Un siglo después, aparecen por vez primera reglas para operar con los números negativos. Un siglo después, aparecen por vez primera reglas para operar con los números negativos.

5 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. EL MUNDO DE LOS NÚMEROS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Siglos después, hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración. Siglos después, hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración. Las nueve cifras y el cero aparecen en las obras del matemático indio Brahmagupta. Los matemáticos indios también aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones. Las nueve cifras y el cero aparecen en las obras del matemático indio Brahmagupta. Los matemáticos indios también aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones. En el año 772, una embajada india llevó hasta Bagdad los libros en que se recogían estos conocimientos. En el año 772, una embajada india llevó hasta Bagdad los libros en que se recogían estos conocimientos. En la primera mitad del siglo IX se recopilaron los nuevos métodos matemáticos en un tratado de Al-Khuwarizmi; en el siglo siguiente se difundieron lentamente por Occidente. Sería la civilización musulmana quien llevó estos conocimientos a Sicilia y a España. En la primera mitad del siglo IX se recopilaron los nuevos métodos matemáticos en un tratado de Al-Khuwarizmi; en el siglo siguiente se difundieron lentamente por Occidente. Sería la civilización musulmana quien llevó estos conocimientos a Sicilia y a España. El mercader Leonardo Pisano, después de haber aprendido aquel arte de los árabes en sus viajes comerciales por Argelia, Sicilia y Oriente, reunió todos los conocimientos de aritmética y álgebra de su tiempo en una obra llamada Liber Abaci (1202). El mercader Leonardo Pisano, después de haber aprendido aquel arte de los árabes en sus viajes comerciales por Argelia, Sicilia y Oriente, reunió todos los conocimientos de aritmética y álgebra de su tiempo en una obra llamada Liber Abaci (1202).

6 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. EL MUNDO DE LOS NÚMEROS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS En Europa, fue Cardano, durante el siglo XV, quien propuso un nuevo tipo de números, que denominó ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos. En Europa, fue Cardano, durante el siglo XV, quien propuso un nuevo tipo de números, que denominó ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos. El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el Siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales. El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el Siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales. Sólo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de -1 el nombre de i (imaginario). Sólo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de -1 el nombre de i (imaginario). En 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número "ordinario" (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de -1, llamado unidad imaginaria. En 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número "ordinario" (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de -1, llamado unidad imaginaria.

7 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LOS NUMEROS COMPLEJOS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS  Fue en Italia, durante el período del Renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números.  Los números complejos aparecen inicialmente en el libro Ars Magna de Gerolamo Cardano, publicado en 1545. Pero… ¿Cómo surge la idea de usar estos números? ¿Por que no aparecieron antes? ¿Quién era Cardano?

8 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LOS NUMEROS COMPLEJOS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debió a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas. Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debió a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas.

9 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. PRINCIPALES AUTORES. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS

10 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. PRINCIPALES AUTORES. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS  Girolamo Cardano (1501-1576). Nació en Pavia el 24 de Septiembre de 1501. Nació en Pavia el 24 de Septiembre de 1501. Matemático, médico, filósofo, astrónomo y teólogo. Matemático, médico, filósofo, astrónomo y teólogo. Fazio, padre de Cardano fue asesor del célebre Leonardo da Vinci. Fazio, padre de Cardano fue asesor del célebre Leonardo da Vinci. Cardano entra a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, en contra del deseo de su padre de seguir la profesión de abogado. Más tarde se cambia a la Universidad de Padua, donde se gradúa de médico. Cardano entra a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, en contra del deseo de su padre de seguir la profesión de abogado. Más tarde se cambia a la Universidad de Padua, donde se gradúa de médico. En el año de 1539, Cardano conoce al célebre matemático Tartaglia, lo cual fue un hecho crucial en su vida, pues desde ese momento comienza a interesarse en las ecuaciones cúbicas. En el año de 1539, Cardano conoce al célebre matemático Tartaglia, lo cual fue un hecho crucial en su vida, pues desde ese momento comienza a interesarse en las ecuaciones cúbicas. En 1545, Cardano publica su obra Ars Magna, donde expone los métodos para la resolución de la ecuación cúbica. En 1545, Cardano publica su obra Ars Magna, donde expone los métodos para la resolución de la ecuación cúbica.

11 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. PRINCIPALES AUTORES. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS  Rafael Bombelli (1526-1572). Nace en enero de 1526 en Bolonia. Nace en enero de 1526 en Bolonia. Bombelli no recibió una educación formal como Cardano, pero desde joven sintió una atracción especial por las matemáticas. Bombelli no recibió una educación formal como Cardano, pero desde joven sintió una atracción especial por las matemáticas. Recibió las primeras lecciones de matemáticas de Pier Francesco Clementi, un arquitecto e ingeniero. Por esta razón, Bombelli se dedica a la ingeniería. Recibió las primeras lecciones de matemáticas de Pier Francesco Clementi, un arquitecto e ingeniero. Por esta razón, Bombelli se dedica a la ingeniería. Bombelli había leído el libro de Cardano Ars Magna, y pensó que algunas cosas estaban todavía algo confusas y que se podan hacer mucho más comprensibles para el gran público. Bombelli había leído el libro de Cardano Ars Magna, y pensó que algunas cosas estaban todavía algo confusas y que se podan hacer mucho más comprensibles para el gran público. Bombelli puede ser llamado con todo derecho, el padre de los números complejos, pues fue el primero que desarrollo el algebra formal para trabajar con las expresiones de la forma: Bombelli puede ser llamado con todo derecho, el padre de los números complejos, pues fue el primero que desarrollo el algebra formal para trabajar con las expresiones de la forma:

12 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. PRINCIPALES AUTORES. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Curiosidad… A pesar de los brillantes trabajos de Bombelli, sobre el empleo de los números complejos en la resolución de la cúbica, los matemáticos de entonces se negaban a aceptarlos. Ellos eran considerados aún como fantasmas de otro mundo, por carecer de representación real, y fueron llamados números imposibles o Imaginarios. Durante el siglo XVII, debido quizás a la aparición del cálculo infinitesimal y la geometría analítica, los números complejos fueron relegados al olvido por los matemáticos. ¡¡¡¡Algunos genios como Newton, Leibnitz y Descartes nunca los comprendieron!!!!!

13 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. PRINCIPALES AUTORES. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS La idea correcta de la representación geométrica de un número complejo z = a + bi en el Plano Cartesiano, fue descubierta por dos matemáticos aficionados, en forma independiente: el danés C. Wessel y posteriormente el suizo J. Argand. Diagrama de Argand Con esta representación, los números complejos dejaron de ser algo misterioso e imposible, pero por razones de tipo histórico, se les sigue llamando imaginarios.

14 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. PEQUEÑA INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS  Definición de número complejo: donde a y b son números reales, e i es la llamada unidad imaginaría  Representación geométrica de los números complejos:

15 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. PEQUEÑA INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS  Módulo y argumento de un número complejo: Sea un número complejo Sea un número complejo. Se define el módulo de z como el número real positivo El argumento de z es un ángulo φ denotado Arg(z) tal que

16 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. PEQUEÑA INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS  Formas de escribir un número complejo:  Forma estándar, binómica o cartesiana:  Forma trigonométrica:  Forma módulo argumental:

17 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. PEQUEÑA INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS  Forma exponencial:  Operaciones elementales con números complejos: Suma: Suma: Resta: Es exactamente igual que la suma. Se resta la parte real con la parte real y la imaginaria con la imaginaria. Resta: Es exactamente igual que la suma. Se resta la parte real con la parte real y la imaginaria con la imaginaria.

18 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. PEQUEÑA INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS  Operaciones elementales con números complejos: Producto: Producto: División: División:

19 Def. Por función compleja de variable compleja, entendemos una función cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C. Es decir, Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja, es muy frecuente escribir Ej. La función puede expresarse En este caso REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIÓN DE VARIABLE COMPLEJA. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS

20 Observación. Principalmente, trataremos con funciones definidas en Ω abierto de C. Entonces, todo punto es de acumulación de Ω. donde D se llama disco (abierto) de centro z 0 y radio ε. Se define: REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIÓN DE VARIABLE COMPLEJA. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS

21 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES HOLOMORFAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Para hablar de lo que son las funciones holomorfas, primero hablaremos de derivación de funciones complejas. Def. Sea Ω un abierto de C y ƒ: Ω C y sea z o Ω. Diremos que ƒ es derivable en z o si existe el límite: El valor de este límite será la derivada de z o en ƒ. Puede ocurrir que una función derivable el sentido real no pueda extenderse a una función derivable en el sentido complejo.

22 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES HOLOMORFAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Recordaremos algunos ejemplos de funciones derivables. Las funciones constantes son derivables en todo C con derivada 0. Las funciones constantes son derivables en todo C con derivada 0. La función identidad es derivable en todo C y su derivada es 1. La función identidad es derivable en todo C y su derivada es 1. Todo polinomio es derivable en C y su derivada tiene la misma expresión que en R. Todo polinomio es derivable en C y su derivada tiene la misma expresión que en R. Toda función racional, puesta en forma irreducible, es derivable en todo C salvo los ceros del denominador. Toda función racional, puesta en forma irreducible, es derivable en todo C salvo los ceros del denominador.

23 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES HOLOMORFAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Una vez sabido esto, definiremos matemáticamente que es una función holomorfa: Def. Sea Ω un abierto de C y ƒ: Ω C. Diremos que ƒ es holomorfa en el punto z o Ω si ƒ es derivable en todos los puntos del entorno z o. Por tanto, diremos que ƒ es holomorfa en Ω si ƒ es holomorfa en z o Ω. De tal manera que ƒ es holomorfa en Ω ƒ es derivable en todos y cada uno de los puntos de Ω. Por tanto si ƒ es derivable en z o Ω entonces existe:

24 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES HOLOMORFAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Algunas de las propiedades de las funciones holomorfas son: Las sumas, productos, y composiciones de funciones holomorfas son también holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas lo será allá donde el denominador sea distinto de cero. Las sumas, productos, y composiciones de funciones holomorfas son también holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas lo será allá donde el denominador sea distinto de cero. Cada función holomorfa es infinitamente diferenciable en cada punto. Cada función holomorfa es infinitamente diferenciable en cada punto. Toda función holomorfa es una función analítica. Toda función holomorfa es una función analítica. Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se le denomina función entera. Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se le denomina función entera.

25 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES ANALÍTICAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Def. Sea Ω ≠ Ø un abierto de C. Una función se dice analítica en, si existe una serie de potencias centrada en a con radio R > 0 tal que: Es decir, ƒ coincide con una serie de potencias en un entorno de a. ƒ se dice analítica en Ω si lo es en cada punto

26 A continuación mostramos algunos ejemplos: 1. Todo polinomio es una función analítica en C. 2. Toda serie de potencias con radio R > 0 es analítica en D (0; R). 3. La función racional es analítica en C - {1}. REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES ANALÍTICAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS

27 Operaciones con funciones analíticas: 1. La suma y el producto de funciones analíticas son analíticas. 2. Sean, con. Si ƒ es analítica en a y g es analítica en ƒ(a), entonces g o ƒ es analítica en a. 3. Si ƒ es analítica en a y ƒ(a) ≠ 0, entonces 1/ƒ es analítica en a. REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES ANALÍTICAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS

28 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Exponencial compleja Logarítmica compleja Trigonométrica compleja Seno complejo Otras funciones complejas Coseno complejo Arco tangente compleja

29 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Exponencial compleja La serie de potencias tiene radio de convergencia +∞, por lo que podemos definir en todo C una función como suma de tal serie.

30 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Exponencial compleja Propiedades

31 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Logarítmica compleja La función logarítmica la podemos definir como la función inversa de la exponencial compleja.

32 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Logarítmica compleja Propiedades

33 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Trigonométrica compleja Seno complejoCoseno complejo

34 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Trigonométrica compleja Propiedades

35 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. INTEGRACIÓN DE CAMINOS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Def. Un camino es una función continua tal que existe una partición a = t 0 < t 1 < … < t k = b de forma que [t j-1,t j ] es una curva de clase C 1 (j = 1, …, k). Esto significa que las partes real e imaginaria son derivables. Def. Sea y sea una función continua. Se llama integral de ƒ sobre a siendo siendo

36 Propiedades. 1. Si y son equivalentes, entonces. 2.. 3.. 4. y. 5. Regla de Barrow. Sea. Supongamos que tal que,. Entonces, tal que,. Entonces, REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. INTEGRACIÓN DE CAMINOS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS

37 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. TEORÍA DE CAUCHY. TEORÍA LOCAL DE CAUCHY. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Teorema y Fórmula De Cauchy. La fórmula de Cauchy, nos sirve como herramienta para expresar el valor en un punto de una función holomorfa. La fórmula de Cauchy descansa, a su vez, en el Teorema de Cauchy: Sea Ω un abierto de C, son equivalentes: (1) existe una primitiva de f en Ω, es decir, una función tal que F’ = f ; ( 2) para todo camino cerrado γ contenido en Ω, (3) para dos caminos cualesquiera γ 1, γ 2 contenidos en Ω que tengan los mismos orígenes e iguales extremos, REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. TEORÍA DE CAUCHY. TEORÍA LOCAL DE CAUCHY.

38 E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Def. Un ciclo Г es una sucesión finita de caminos cerrados, distintos o repetidos, que denotaremos por Г = [ γ 1, γ 2,…, γ n ], en la que no tenemos en cuenta el orden, de modo que dos ciclos Г y Г’ son iguales cuando consten de los mismos caminos. Denominaremos a γ 1, γ 2,…, γ n los caminos que componen Г, y usaremos la notación para indicar que es uno de los caminos que componen Г. REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. TEORÍA DE CAUCHY. TEORÍA GLOBAL DE CAUCHY.

39 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. TEORÍA DE CAUCHY. TEORÍA GLOBAL DE CAUCHY. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS El soporte de un ciclo Г = [ γ 1, γ 2,…, γ n ] es la unión de los soportes de γ 1, γ 2,…, γ n : sop Г = sop γ 1 U sop γ 2 U…U sop γ n Def. Integración sobre ciclos. Dada una función f continua sobre el soporte de un ciclo Г = [ γ 1, γ 2,…, γ n ], se define Denominaremos a γ 1, γ 2,…, γ n los caminos que componen Г, y usaremos la notación para indicar que γ es uno de los caminos que componen Г. TEORÍA DE CAUCHY. TEORÍA GLOBAL DE CAUCHY. REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. TEORÍA DE CAUCHY. TEORÍA GLOBAL DE CAUCHY. REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. TEORÍA DE CAUCHY. TEORÍA GLOBAL DE CAUCHY.

40 E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Teorema. Sea Ω un abierto del plano complejo y Sea Г un ciclo homólogo a 0 respecto de Ω. Entonces si: REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. TEORÍA DE CAUCHY. TEORÍA GLOBAL DE CAUCHY.

41 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. CEROS Y SINGULARIDADES. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS El estudio de los ceros de una función: - Importantísimo a la hora del manejo de una función. - Es una de las principales aplicaciones del teorema de los residuos. Ceros en una función holomorfa. Un polinomio no puede tener infinitos ceros sin ser idénticamente nulo. La situación es algo menos drástica cuando hablamos de funciones holomorfas: conocemos funciones no nulas, como el seno y el coseno, que tienen infinitos ceros. La función es holomorfa en C - {0} En este caso 0 es un punto de acumulación de ceros

42 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. CEROS Y SINGULARIDADES. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Singularidades aisladas. Primero explicaremos lo que es una singularidad: Son puntos que no son regulares: Dado un abierto Ω y una función f : Ω → C se dice que un punto a Ω es un punto regular para f. Def. Sea a C. Decimos que una función f tiene una singularidad aislada en a si f no es derivable en a pero existe un r > 0 tal que f es holomorfa en: D (a; r) = {z C: 0 < |z − a| < r }. D (a; r) = {z C: 0 < |z − a| < r }. Clasificación de las singularidades aisladas a) Existe. Se dice entonces que f tiene en a. a) Existe. Se dice entonces que f tiene en a una singularidad evitable. b) Existe. Se dice entonces que f tiene en a b) Existe. Se dice entonces que f tiene en a un polo. c) No existe. Se dice entonces que f tiene en a c) No existe. Se dice entonces que f tiene en a una singularidad esencial.

43 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. CEROS Y SINGULARIDADES. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Singularidades en el infinito Diremos que ∞ es una singularidad aislada de una función f; si existe R > 0 tal que f H (A), donde A = {z C: |z| > R}. si existe R > 0 tal que f H (A R ), donde A R = {z C: |z| > R}. Clasificación de las singularidades en el infinito Será similar a la considerada para singularidades finitas, supongamos que ∞ es una singularidad aislada de una función f. Entonces: a) Existe. Se dice entonces que f tiene en a a) Existe. Se dice entonces que f tiene en a una singularidad evitable. b) Existe. Se dice entonces que f tiene en a b) Existe. Se dice entonces que f tiene en a un polo. c) No existe. Se dice entonces que f tiene en a c) No existe. Se dice entonces que f tiene en a una singularidad esencial.

44 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. SERIES DE LAURENT. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Las series de Laurent se descubrieron en 1841 por Karl Weierstrass pero el primero en publicarlas fue, el matemático Pierre Alphonse Laurent en el año 1843, del que reciben el nombre. Las series de Laurent se descubrieron en 1841 por Karl Weierstrass, pero el primero en publicarlas fue, el matemático Pierre Alphonse Laurent en el año 1843, del que reciben el nombre. La serie de Laurent de una función compleja, es la representación de la misma función en la forma de una serie de potencias, incluyendo términos de grado negativo. Def. Llamaremos serie de Laurent centrada en a a toda serie de la forma:

45 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. SERIES DE LAURENT. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Las series de Laurent son muy importantes en el análisis complejo, especialmente para investigar el comportamiento de funciones cerca de singularidades. Suponiendo una serie de Laurent: - Con coeficientes a n y centro complejo. Entonces existe un radio interior r y un radio exterior R de forma que: La serie de Laurent es convergente en la corona abierta: La serie de Laurent es convergente en la corona abierta: A = {z : r < |z − a| < R}, tanto para potencias de grado positivo como negativo. A = {z : r < |z − a| < R}, tanto para potencias de grado positivo como negativo. Fuera de la corona, la serie de Laurent es divergente. Fuera de la corona, la serie de Laurent es divergente. Para el disco existe al menos un punto en la frontera interior y otro en la frontera exterior para los cuales no puede ser holomorfa continua. Para el disco existe al menos un punto en la frontera interior y otro en la frontera exterior para los cuales no puede ser holomorfa continua.

46 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. SERIES DE LAURENT. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Las series de Laurent permiten saber qué tipos de singularidades tiene una función. La cantidad de coeficientes negativos en la serie indicará que tipo de singularidad es: Si la serie no tiene términos negativos, la singularidad es removible. Si la serie no tiene términos negativos, la singularidad es removible. Si la serie tiene finitos términos negativos, la singularidad es un polo. Si la serie tiene finitos términos negativos, la singularidad es un polo. Si la serie tiene infinitos términos negativos, la singularidad es esencial. Si la serie tiene infinitos términos negativos, la singularidad es esencial.

47 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. TEOREMA DE RESIDUOS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Def. Sea una singularidad aislada de una función ƒ. Recibe el nombre de residuo de ƒ en a el coeficiente de 1/(z-a) en el desarrollo en serie de Laurent de ƒ en el punto a, de manera que si y denotamos con Res ( ƒ, a) el residuo de ƒ en a, es y denotamos con Res ( ƒ, a) el residuo de ƒ en a, es

48 Teorema de los residuos. Sea Ω un abierto no vacío de C y sea ƒ una función holomorfa en Sea Ω un abierto no vacío de C y sea ƒ una función holomorfa en Ω – {A}, donde consta de singularidades aisladas de ƒ. Para todo ciclo Γ homólogo a 0 respecto de Ω tal que = Ø se verifica Teorema. Sean g(z) y h(z) funciones holomorfas en un punto z 0 de modo que Sean g(z) y h(z) funciones holomorfas en un punto z 0 de modo que p(g, z 0 ) = 0, p(h, z 0 ) = 1 (con lo que ƒ(z) = g(z) / h(z) tiene un polo simple en z 0 ). Entonces REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. TEOREMA DE RESIDUOS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS

49 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. CÁLCULO DE INTEGRALES IMPROPIAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Localización de ceros Sumas de series Cálculo de integrales Aplicaciones del teorema de los residuos

50 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. CÁLCULO DE INTEGRALES IMPROPIAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Consideraciones previas Considerar el integrando como una función de variable compleja. Integrar sobre una curva de Jordan adecuada, usando el Teorema de los Residuos. Se toman límites de manera que una parte de la curva tienda al trozo del eje real donde esté definida nuestra integral de partida y el límite de la integral en el resto de la curva pueda ser estimado fácilmente.

51 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. CÁLCULO DE INTEGRALES IMPROPIAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Integrales de funciones racionales sin polos en el eje real Integrales de Fourier Integrales con polos en el eje real Integrales de Poisson Catálogo de integrales …

52 REPASO DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. TEOREMA DE LOS RESIDUOS. CÁLCULO DE INTEGRALES IMPROPIAS. E.T.S.I.I. DE BÉJAR COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS Integrales de funciones racionales sin polos en el eje real

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