Ángulos Matemática ÁNGULOS

Presentación del tema: "Ángulos Matemática ÁNGULOS"— Transcripción de la presentación:

1 Ángulos Matemática ÁNGULOS
Dando comienzo al curso, haremos una revisión de conceptos básicos de Geometría, para ello hemos elegido como primer tema: “Ángulos”.

2 Ángulos: Definición: Figura geométrica determinada por dos planos o dos rectas que se cortan entre sí DEFINICIÓN: Definir este concepto será nuestra acción inicial; con el fin de que todos entendamos de que estamos hablando. Así podemos decir que es: “La figura geométrica determinada por dos planos o dos rectas que se cortan entre sí” también se define como: “La figura determinada por dos semirrectas que tienen un origen en común”

3 Ángulos: Generación de ángulos Signo de los ángulos α α = ’ ’ +α -α
B Lado final Lado final α α = ’ ’ O A Lado inicial Lado inicial GENERACIÓN DE LOS ÁNGULOS: Veremos a continuación la forma en que se pueden generar estos ángulos. Partiendo del segmento de recta definido como OA, tomando el punto O como pivote y produciendo un giro de otro segmento de recta, hasta encontrar el punto B, vemos que hemos generado el ángulo “α” que también podemos denominar AÔB. Los segmentos de recta OA y OB reciben el nombre de “lados”, denominándose, para este caso: OA → “lado inicial” y OB → “lado final”. Volvamos al tema del giro que habíamos producido con los segmentos de recta, si con ellos realizamos un giro mayor al dado, de forma tal, que supere al “lado inicial” hasta alcanzar la posición del “lado final” obtendremos un ángulo que podrá tener las mismas consideraciones que el ángulo “α” generado originalmente. Por esta coincidencia, estos ángulos se denominan “congruentes”. SIGNO DE LOS ÁNGULOS La lectura normal de la “apertura de un ángulo” se realiza, por convención, en el sentido de giro de las agujas del reloj y su valor, o magnitud, se expresa como “positiva” (+); si la medición la hacemos en sentido inverso al de las agujas del reloj, esta magnitud deberá expresarse como “negativa” (-). De esto podemos deducir que al leer el valor de la apertura de un ángulo, el signo que acompaña al mismo, nos indicará el “sentido de giro” que debemos considerar para leer esa magnitud. Signo de los ángulos +α -α

4 Ángulos: Medición de ángulos Sistema Sexagesimal Sistema Centesimal
Sistema Radialal MEDICIÓN DE ÁNGULOS Se han creado distintos sistemas para la medición de ángulos. En este curso nos ocuparemos de revisar tres de ellos: Sistema Sexagesimal, el Sistema Centesimal y el Sistema Radial. SISTEMA SEXAGESIMAL El sistema se basa en particionar un círculo, de centro O y radio r = 1, en 360 partes iguales. Estas particiones comienzan a enumerarse (por convención) a partir de la posición “Este”, si lo relacionamos con los puntos cardinales o de las “3 en punto” si lo relacionamos a un reloj. Considerándose de valor = 0 (cero) al inicio de la cuenta y de valor = 360 (trescientos sesenta) luego de un giro completo. Si tomamos en consideración el diámetro del círculo que pasa por el valor = 0 y el diámetro perpendicular a este, que pasa por el centro, vemos que este círculo queda dividido en cuatro “cuadrantes”, siendo sus valores limites, 0; 90; 180; 270 y 360, valores muy significativos para el sistema. La unidad de medición de este sistema es el “grado”, o sea cada una de esas 360 partes en la que habíamos dividido, originalmente, el círculo. Sus submúltiplos son: “minutos” y “segundos”. Cada grado contiene: 60 minutos y cada minuto: contiene 60 segundos. Así definidas sus unidades podemos decir que el “Giro Total”, en este sistema, es equivalente a 360º (grados sexagesimales). Los grados se indican con un circulito en forma de superíndice (º); los minutos se indican con una comilla como superíndice (’) y los segundos con doble comillas como superíndice (”)

5 Ángulos: Medición de ángulos Sistema Sexagesimal Unidades de medición:
90º Unidades de medición: 120º 60º nº nn’ nn” 150º 30º segundos minutos MEDICIÓN DE ÁNGULOS Se han creado distintos sistemas para la medición de ángulos. En este curso nos ocuparemos de revisar tres de ellos: Sistema Sexagesimal, el Sistema Centesimal y el Sistema Radial. SISTEMA SEXAGESIMAL El sistema se basa en particionar un círculo, de centro O y radio r = 1, en 360 partes iguales. Estas particiones comienzan a enumerarse (por convención) a partir de la posición “Este”, si lo relacionamos con los puntos cardinales o de las “3 en punto” si lo relacionamos a un reloj. Considerándose de valor = 0 (cero) al inicio de la cuenta y de valor = 360 (trescientos sesenta) luego de un giro completo. Si tomamos en consideración el diámetro del círculo que pasa por el valor = 0 y el diámetro perpendicular a este, que pasa por el centro, vemos que este círculo queda dividido en cuatro “cuadrantes”, siendo sus valores limites, 0; 90; 180; 270 y 360, valores muy significativos para el sistema. La unidad de medición de este sistema es el “grado”, o sea cada una de esas 360 partes en la que habíamos dividido, originalmente, el círculo. Sus submúltiplos son: “minutos” y “segundos”. Cada grado contiene: 60 minutos y cada minuto: contiene 60 segundos. Así definidas sus unidades podemos decir que el “Giro Total”, en este sistema, es equivalente a 360º (grados sexagesimales). Los grados se indican con un circulito en forma de superíndice (º); los minutos se indican con una comilla como superíndice (’) y los segundos con doble comillas como superíndice (”) 0º 180º O 360º grados Giro Total: 360º 210º 330º 240º 300º 270º

6 Ángulos: Medición de ángulos Sistema Centesimal Unidades de medición:
nG nnM nnS Segundos Minutos SISTEMA CENTESIMAL Ahora analizaremos el Sistema Centesimal. El mismo se basa en particionar un círculo, de centro O y radio r = 1, en 400 partes iguales. Estas particiones comienzan a enumerarse, al igual que en el sistema anterior (y por convención), a partir de la posición “Este”, si lo relacionamos con los puntos cardinales o de las “3 en punto” si lo relacionamos a un reloj. Considerándose de valor = 0 (cero) al inicio de la cuenta y de valor = 400 (cuatrocientos) luego de un giro completo. Si tomamos en consideración el diámetro del círculo que pasa por el valor = 0 y el diámetro perpendicular a este, que pasa por el centro, vemos que este círculo queda dividido, también, en cuatro “cuadrantes”, siendo sus valores limites, 0; 100; 200; 300 y 400, que son igual significativos para el sistema, como en el caso anterior. La unidad de medición de este sistema es el “Gradián”, o sea cada una de esas 400 partes en la que habíamos dividido, originalmente, el círculo. Sus submúltiplos son: “Minutos” y “Segundos”. Cada gradián contiene: 100 minutos y cada minuto: contiene 100 segundos. De esta manera, el “Giro Total”, en este sistema, es equivalente a 400G (gradianes centesimales) Los gradianes se indican con una letra “G” (mayúscula) en forma de superíndice (G); los minutos se indican con una letra “M” (mayúscula) como superíndice (M) y los segundos con una letra “S” (mayúscula) como superíndice (S). Dadas las características del sistema, el valor de sus ángulos, también puede encontrarse escrito como un número decimal común acompañado con el superíndice (G); entendiéndose a la parte entera del número, como los gradianes; los decimales: primero y segundo, como “Minutos” (M); los decimales tercero y cuarto, como “Segundos” (S) y el resto de los decimales, como decimales de los Segundos. 0G 200G O 400G Gradianes Giro Total: 400G 350G 250G 300G

7 Ángulos: Medición de ángulos Sistema Radial Unidad de medición:
1 radio Unidad de medición: n,nnnnr 3 r radián SISTEMA RADIAL En el Sistema Radial, la partición del círculo, de centro O y radio r = 1, se realiza en función a las veces que el radio del mismo se halla contenido en la circunferencia que limita a dicho círculo. Si recordamos que la longitud de una circunferencia “C” (cualquiera) es C = 2.π.r y sabiendo que el radio de nuestra circunferencia es r = 1, sabremos que la longitud de nuestra circunferencia es C = 2.π, o sea 6,28318… aproximadamente. Estas particiones comienzan a enumerarse, al igual que en los sistemas anteriores, y por convención, desde el mismo punto que aquellos. Considerándose de valor = 0 (cero) al inicio de la cuenta y de valor = 6,28318… (aproximadamente) luego de un giro completo. La unidad de medición de este sistema es el “Radián”; y se indica con una letra “r” (minúscula) como superíndice (r); el sistema no posee submúltiplos. El “Giro Total”, en este sistema es entonces de, aproximadamente, 6,28318…r (radianes). O 6, r 6 r Giro Total: 6, r 4 r 5 r

8 Ángulos: Medición de ángulos Sistema Radial ½ πr πr 2 πr 3/2 πr
1 radio Unidad de medición: n,nnnnr 3 r radiá O sea también podemos decir que es igual a “2.πr”. Si esto es así, a la mitad de la circunferencia tendremos un valor equivalente a “π”, lo que en los otros sistemas serían: 180º ó 200G. El ¼ de circunferencia tendrá un valor de “½π” que se corresponde con: 90º ó 100G, y los ¾ de circunferencia tendrá un valor de “3/2π” que se corresponde con: 270º ó 300G. Y tal como habíamos dicho el giro total es de “2.πr”. πr 2 πr O 6 r Giro Total: 6, Giro Total: 2π 4 r 5 r 3/2 πr

9 Ángulos: a º 360 a 400 p a 2 = = Medición de ángulos
Equivalencia entre los sistemas analizados S. Radial S. Centesimal S. Sexagesimal B α a 360 a 400 G p a 2 r EQUIVALENCIA ENTRE LOS SISTEMAS ANALIZADOS Conforme a lo que hemos visto, si contamos con un ángulo tal como el que se muestra, el “valor numérico” de la apertura del arco “α” va a depender del sistema elegido para ello. Ahora bien, si se trata de un mismo ángulo, es lógico suponer que haya una correspondencia, o “equivalencia”, entre los distintos sistemas de manera que: si tuviera el valor del ángulo expresado en grados sexagesimales, también pueda enunciar su valor en gradianes o en radianes, dado que estos sistemas usan elementos similares como base para la medición de dicha apertura, que es: “la partición de un círculo”. Veamos entonces, si nuestro ángulo “α” está expresado en grado sexagesimales, podemos establecer una “relación” del valor de este ángulo respecto al “valor total” de las particiones del sistema. El resultado obtenido será igual al “valor del mismo ángulo” expresado en gradianes y relacionado al valor total de dicho sistema; igual sería si consideramos la medida de este ángulo expresado en radianes. Esta igualdad nos permite, dado el valor de un ángulo en un sistema hallar el valor del mismo ángulo en otro sistema; para ello, tomamos los cocientes que nos interesan, reemplazando los símbolos por los valores conocidos y operando debidamente, para obtener el valor buscado. = = O A

10 Ángulos: Ángulos Característicos α = 180º Ángulo Agudo
B A O O A B Ángulos Complementarios ángulo complemento 0º < α < 90º α = 180º O A B Ángulo Llano Ángulo Recto O A B O A B Ángulos Suplementarios ángulo suplemento α = 90º α = 360º O A B Ángulo Completo o Perigonal ÁNGULOS CARACTERÍSTICOS En esta sección revisaremos algunos conceptos sobre ángulos; esto nos permitirá unificar nuestro léxico y reafirmar el conocimiento que tenemos sobre ello. – Cuando hablamos de un “ángulo agudo” nos estamos refiriendo a un ángulo cuyo valor de apertura es mayor a 0º y menor a 90º. – Un “ángulo recto” es aquel cuya apertura es igual a 90º. – El “ángulo obtuso” es aquel cuyo valor de apertura es mayor a 90º y menor a 180º. – Y el “ángulo llano” es aquel cuya apertura es igual a 180º. – Llamamos “ángulo completo o perigonal” al ángulo con una apertura de 360º. – Se denominan “ángulos complementarios” a aquellos que siendo adyacentes, y sumados equivalen a un “ángulo recto”. – Se denominan “ángulos suplementarios” a aquellos que siendo adyacentes, y sumados equivalen a un “ángulo llano”. – Son “ángulos conjugados”, los que sumados equivalen a un “ángulo completo o perigonal” O A B Ángulos Conjugados ángulo conjugado Ángulo Obtuso O A B 90º < α < 180º

11 Ángulos: Ángulos Característicos β α α Ángulos Congruentes
B M N β M N O A B α α O A Ángulos Congruentes Ángulos Adyacentes β β´ α α´ – Decimos que dos “ángulos son congruentes” cuando tiene el mismo valor de giro, es decir que superpuestos coinciden en su apertura. – Decimos que dos “ángulos son adyacentes” cuando estos ángulos tiene un lado en común. – Al intersectarse dos rectas, se forman los “ángulos opuestos por el vértice”, que se caracterizan por ser congruentes, es decir iguales entre si. Tal el caso de α y α’, como así también β y β’ – En los “ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una recta transversal” encontramos características similares a las del caso anterior y debemos sumarle a esto que: – Los ángulos α y γ’, como así también β y δ’ son congruentes y se denominan alternos externos. – Los ángulos α’ y γ, como así también β’ y δ son congruentes y se denominan alternos internos. – Los ángulos externos α y δ’, como así también β y γ’ son suplementarios entre sí. – Los ángulos internos α’ y δ, como así también β’ y γ son, también, suplementarios entre sí. β β´ δ δ´ α α´ γ γ´ Ángulos Opuestos por el Vértice Ángulos formados por 2 rectas paralelas cortadas por una transversal

12 Ángulos: Funciones Trigonométricas sen a cos a tg a y OP PM hipotenusa
opuesto lado = vector rad. ordenada = r y = sen a = B R P y (ordenada) ρ = r = 1 α OP OM = hipotenusa adyacente lado = vector rad. abscisa = r x cos a = O x (abscisa) M Q A x FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Veremos ahora aquellas funciones relacionadas a los ángulos, en forma específica, las “funciones trigonométricas”. Las funciones trigonométricas son números determinados por la razón, o relación, entre dos de los lados de un triángulo rectángulo. Para ordenar nuestro estudio, vamos a considerar el uso de un sistema de ejes cartesianos haciendo coincidir el vértice del ángulo con el origen de dicho sistema y uno de sus lados con el eje “x”, o de las abscisas. También vamos a valernos de una circunferencia cuyo centro “O” coincide con el origen del sistema y su radio: “ρ” (ro), de valor igual a 1. La intersección del lado del ángulo con la circunferencia nos determina el punto “P” que usaremos para nuestro estudio. Dado que, las funciones trigonométricas están asociadas a los triángulos rectángulos, consideraremos el segmento de recta que une el punto “P” al eje de las abscisas en forma perpendicular al mismo. De esta manera se nos genera el triángulo rectángulo MOP. Ahora vamos a ocuparnos de las relaciones: - MP/OP, es decir Lado Opuesto / Hipotenusa, - OM/OP, es decir Lado Adyacente / Hipotenusa, y - PM/OM, es decir Lado Opuesto / Lado Adyacente. Si lo referimos a los ejes cartesianos podríamos decir: - Ordenada / Radio Vector, o y/ρ, - Abscisa / Radio Vector, o x/ρ, y - Ordenada / Abscisa, o y/x. Estas relaciones se corresponden: - En el primer caso con la función trigonométrica “seno α”, - En el segundo caso con la función trigonométrica “coseno α”, y - En el tercer caso con la función trigonométrica “tangente α”. El valor de la función tangente, corresponde al segmento de recta, perpendicular al eje “x”, que va desde la intersección de la circunferencia con este eje y la intersección con el lado final del ángulo y que en el gráfico se identifica como QP. Como el estudio de estas funciones está asociado a un sistema de ejes cartesiano es imprescindible considerar la ubicación de abscisa y ordenada para tomar en cuenta el signo que acompaña a su valor, ya que es fundamental en las operaciones a realizar. OM PM = adyacente lado opuesto = abscisa ordenada = x y tg a =

13 Ángulos: Algunas Aplicación de las Funciones Trigonométricas l B A” B”
función sen α proy. vertical A” B” función cos α proy. horizontal A’ B’ función tg α α B cota A pendiente (%) α alejamiento A ALGUNAS APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ahora veremos algunas aplicaciones de las funciones trigonométricas en lo referente al diseño. Si nosotros necesitáramos conocer “el valor de las proyecciones” – horizontal o vertical – de un segmento de recta tal como el que se muestra, que une los puntos A y B, y que presenta una inclinación que responde al ángulo “α”, valiéndonos de la función: “cos α” y conociendo el largo del segmento “l”, podemos averiguar el valor de la proyección horizontal A’B’ del segmento AB. De manera similar al procedimiento anterior, pero usando la función: “sen α”, podemos averiguar el valor de la proyección vertical A”B” del segmento AB. Una forma bastante común de indicar la inclinación de una recta, tal como AB, es dando como dato “la pendiente”, indicada en porcentaje, de la misma (por ejemplo: 30%). Este valor el valor de la función trigonométrica: “tan α”, aumentada 100 veces. Esto resulta una herramienta de suma utilidad, ya que, tomando como referencia el punto A, alejándonos 100 unidades tendremos una cota, o alzada, de tantas unidades como las indicadas por el valor de la pendiente. En el caso indicado como ejemplo, pendiente = 30%, por cada 100 unidades de alejamiento deberemos debemos tener una cota, o alzada, de 30 unidades.

14 Ángulos: Tabla de Funciones Trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º
0º 30º 45º 60º 90º sen 1 cos tg  TABLA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 30º, 45º, 60º Y 90º La tabla de funciones trigonométricas que se muestra a continuación, referida a ángulos medidos en sistema sexagesimal, resulta una herramienta práctica y de fácil memorización. Si se observa con atención, vemos que los valores correspondientes a la función seno de los ángulos indicados, resultan de operar: √0/2 ; √1/2 ; √2/2 ; √3/2 ; √4/2 . Los valores correspondientes a la función coseno de los ángulos es similar a la anterior pero ordenados en forma inversa a la anterior, es decir: √4/2 ; √3/2 ; √2/2 ; √1/2 ; √0/2 . Los valores correspondientes a la función tangente de los ángulos resulta de operar seno / coseno de cada ángulo.

15 Ángulos: Fin Con esto damos por concluido el desarrollo teórico del tema y los invito a realizar la ejercitación prevista para el mismo.