ALGUNAS VIEJAS ECUACIONES María Leonor Varas Santiago, 4 de Enero del 2000.

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1 ALGUNAS VIEJAS ECUACIONES María Leonor Varas Santiago, 4 de Enero del 2000

2 OBJETIVOS §H§Herramienta de modelamiento de fenómenos §M§Método de análisis §L§Lenguaje §C§Construcción viva §A§Actividad humana Ayudar a descubrir las matemáticas como:

3 ELEMENTOS CENTRALES DEL CÁLCULO QUE QUISIÉRAMOS INTRODUCIR CAMBIO APROXIMACIÓN

4 TEMAS QUE TRATAREMOS FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS aspectos gráficos razonables e insensatos significado de los parámetros razones de cambio y modelos ¿SABEMOS RESOLVER ECUACIONES? ¿COMO CONOCEMOS? ¿CUANTO CONOCEMOS?

5 MÉTODOS QUE PROMOVEMOS ENSAYO Y ERROR ANÁLISIS DEMOSTRACIÓN MÉTODO INDUCTIVO MÉTODO DEDUCTIVO

6 AVANT PREMIERE ALGORITMO CONVERGENCIA LIMITE DENSIDAD DE LOS RACIONALES EN LOS REALES

7 EJEMPLOS QUE PROPONEMOS SIMPLES LARGOS COMPLETOS CERCANOS SIGNIFICATIVOS QUE SIRVAN A VARIOS OBJETIVOS QUE USEN VARIOS MÉTODOS QUE INCORPOREN VARIOS CONCEPTOS

8 EL CAMBIO; ¿COMO LO MEDIMOS? ¿PARA QUE SIRVE? §Derivadas §Diferencias Divididas Saber cuando una función crece y cuando decrece Saber donde una función tiene un máximo y donde un mínimo

9 DIFERENCIAS DIVIDIDAS; esas derivadas discretas. Diferencia Dividida de orden cero Diferencia Dividida de orden k+1 Definición por recurrencia. Dada una función f y una colección de puntos de su dominio.

10 Ejemplos de Diferencias Divididas de orden 1 y 2 Si entonces Si además entonces

11 PROPIEDAD IMPORTANTE (Si la función f tiene derivada k-ésima continua)

12 CONSECUENCIA DE ESTA PROPIEDAD Las Diferencias Divididas de primer orden de una función lineal son constantes. Las Diferencias Divididas de segundo orden de una función cuadrática son constantes. Si entonces Sientoncesy

13 UTILIDAD PRACTICA Dada una tabla de valores de una función, analizando sus razones de cambio (diferencias divididas) de primer y segundo orden podremos saber si se trata de una función lineal o cuadrática. Si sabemos que una función tiene razón de cambio de segundo orden constante entonces sabremos que se trata de una función cuadrática.

14 Ejemplo 1 Se pide encontrar la producción de petróleo en función del número de pozos. Determinar a partir de que cantidad de pozos la producción de petróleo comienza a decrecer y para cual número de pozos, la napa se agota por completo. Un campo petrolero con 20 pozos ha estado produciendo 4000 barriles diarios. Si la napa de petróleo fuera muy abundante y con flujo de reposición mayor que el de extracción, entonces por cada nuevo pozo se tendría un aumento proporcional, es decir, la producción diaria aumentaría en 200 barriles. Este no es el caso y se sabe que por cada nuevo pozo, la producción diaria de cada uno de ellos individualmente decrece en 5 barriles.

15 TABLA DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS EN EL EJEMPLO DEL PETROLEO -5

16 Como la diferencia dividida de orden 2 es constante, entonces la función buscada es una cuadrática; el coeficiente del término cuadrático será Como en ausencia de pozos no hay producción de petróleo, entonces y usando un punto de la tabla, por ejemplo Se obtiene

17 Las respuestas a las demás preguntas son directas: Las Diferencias Divididas de Orden 1 son positivas hasta antes de los 30 pozos, en cambio a partir de los 30 pozos son negativas. Por lo tanto a partir de de 30 pozos la producción de petróleo decrece. La producción de petróleo es nula tanto en ausencia de pozos como para 60 pozos, pues y son raíces de la función cuadrática.

18 Ejemplo 2 (con variable continua). ¿Cuanto tiempo le toma alcanzar la velocidad permitida en la ruta?, ¿A qué distancia del control de carabineros debe recibir el aviso para que no le cursen una infracción? Un automóvil circula por la carretera Norte-Sur a exceso de velocidad ( 170 km/hr) cuando, a la altura del kilómetro 120, el conductor, advertido de un control, aplica los frenos a fondo. Las siguientes marcas camineras (se encuentran cada 5 kilómetros) las alcanza a los 2 y 5 minutos respectivamente.

19 Los estudiantes saben que la velocidad es una razón de cambio (o Diferencia Dividida) del desplazamiento y que al mantener pisados los frenos tendrán desaceleración constante, es decir, la razón de cambio de la velocidad (Diferencia Dividida de segundo orden del desplazamiento) será constante. En consecuencia, el desplazamiento será una función cuadrática del tiempo, mientras se mantenga esta condición. Además se ve que

20 Tabla de Diferencias Divididas del desplazamiento De lo cual se tiene

21 ¿PODEMOS EVITAR LA DERIVADA? Para la velocidad inicial, o el parámetro b en la expresión del desplazamiento en función del tiempo del segundo ejemplo, subsiste el problema de identificar una razón de cambio instantánea. Pero en Física las dimensiones importan. Se hace la diferencia entre lo macroscópico y lo microscópico y tiene mucho sentido despreciar un incremento microscópico. Sin usar la definición matemática de límite se puede concluir que su razón de cambio instantánea en el tiempo t será la velocidad y por lo tanto

22 EL CONTINUO; ese otro infinito, el que nos regaló CANTOR (1854-1918) §Tablas §Gráficos §Soluciones de Ecuaciones §Puntos relevantes de una función

23 PRODUCCION DE PETROLEO EN FUNCION DEL NUMERO DE POZOS

24 (A propósito de insensateces) Tanto el Dominio como el Recorrido son de cuidado en los dos ejemplos propuestos. La función del desplazamiento del automóvil del segundo ejemplo solo es válida en el tiempo en que se llevan los frenos pisados a fondo y por lo tanto la aceleración es constante. No tiene sentido la producción de petróleo de una fracción de pozos ni de un número negativo de pozos ni una producción negativa de petróleo.

25 LAS RAICES SON PUNTOS RELEVANTES DE UNA FUNCION..... Y SABEMOS CALCULARLAS? SABEMOS CALCULAR LA SOLUCION DE ?

26 Expresamos la solución Dibujamos la solución CONOCEMOS ESTA SOLUCION por definición como límite

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28 DEFINICION DE LIMITE La sucesiónconverge al límite L si y solo si tal que Esto es una síntesis de un conocimiento que se adquiere de otro modo.

29 Para adquirir la idea de límite, proponemos ejemplos simples pero desafiantes. A quien podría interesar calcular 0 como límite de cuando k tiende a infinito?

30 En cambio es un número común, aparece como la diagonal de un cuadrado de largo uno, es solución de una ecuación trivial y...... jamás lo podremos conocer.

31 UN ALGORITMO PARA CALCULAR RAICES DE FUNCIONES NO LINEALES BISECCION Dados a, b tales que f(a)f(b)<0 y una tolerancia k =1 si fin si si no k = k +1

32 PRIMERAS ITERACIONES DE BISECCION PARA ENCONTRAR

33 BISECCION CONVERGE COTA DEL ERROR DE LA APROXIMACION K-ESIMA Si es tal que y f es continua, entonces

34 PRIMERAS ITERACIONES DE BISECCION PARA ENCONTRAR

35 Para encontrar una aproximación de tan precisa como se quiera basta aumentar, el número de iteraciones. Por ejemplo, si se parte del intervalo y se quiere una aproximación que no difiera de en mas de, bastará calcular. Pues

36 TODA LA SUCESIÓN DE APROXIMACIONES ESTÁ FORMADA POR NÚMEROS RACIONALES.......SE ACERCARÁ TANTO COMO SE DESEE A..........Y NUNCA ALCANZARÁ A PUES ESTE NÚMERO NO ES RACIONAL.

37 Se ha establecido una forma de conocer, como un límite. Se ha garantizado que podremos conocer este número tanto como queramos y que jamás podremos conocerlo por completo. El concepto de límite da cuenta de un fenómeno ligado a la esencia del ser humano y de su capacidad de conocer, de un modo preciso y poético, que difícilmente expresan mejor las más inspiradas metáforas.