{ La polémica entre Frege y Hilbert En torno al método axiomático.

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1 { La polémica entre Frege y Hilbert En torno al método axiomático

2 {{ Hilbert  Más grande lógico en vida.  Publicación de Grundlagen der Geometrie.  Universidad de Göttingen  Propuso la lista de 100 problemas. Frege  14 años más viejo, sin el reconocimiento debido de su trabajo.  Universidad de Jena Los personajes

3  Se conocieron en 1895 en un congreso en Lübeck e intercambiaron opiniones sobre el papel de los signos en matemáticas.  1898-99 Hibert dio un curso en Göttingen sobre geometría axiomática y las nota le fueron enviadas a Frege por Liebmann.  Frege lee poco después los Grundlagen der Geometrie, publicados poco después y en diciembre de 1899 escribe a Hilbert una crítica dura, acusándole de falta de rigor.  Hilbert le contesta dos días después.  6 de enero de 1900 Frege replica con otra carta polémica que Hilbert no responde  Unos meses después Frege insiste con otra carta que Hilbert responde escuetamente.  En 1903 Hilbert lo invita a Göttingen para discutir sus ideas, pero éste prefiere no hacerlo. (Hilbert prefiere no publicar el intercambio epistolar). Ahí termina el contacto.  En 1903 Frege publicó dos artículos “Sobre los fundamentos de la geometría”.  Korselt replicó a Frege en defensa de Hilbert.  En 1906 Frege replicó a su vez a Korselt en tres artículos. Desarrollo de la polémica

4  Su concepción está formulada con claridad en los Analíticos Posteriores de Aristóteles y está plasmada paradigmáticamente en los Elementos de Euklides.  Teoría axiomática: conjunto de verdades en un ámbito de la realidad; los conceptos son definidos a partir de un conjunto de conceptos primitivos que no se definen, y las verdades que componen la teoría son demostradas a partir de poco axiomas que no se demuestran (evidentes o intuitivas).  Aplicar le método axiomático consiste en organizar nuestro saber acerca de algún ámbito en forma de teoría axiomática.  Aristóteles pensaba que captamos la verdad de los axiomas mediante el νους, Kant consideraba que la verdad de los axiomas de la geometría se captan en una especial intuición pura del espacio. Había acuerdo en que los axiomas se captan por algún tipo de intuición, incluso los empiristas extremos, por inducción. (hasta s. XIX esencialmente inalterada).  Frege perfeccionó el método axiomático mediante la formalización.  El método consistía en que las verdades evidentes fueran explicitadas y todas las demás ideas demostradas a partir de los axiomas.  Frege explicitó además los métodos admisibles de demostración, las reglas de inferencia (una precisión sintáctica, no cambios semánticos). El método axiomático clásico

5  Gauss había descubierto la posibilidad de desarrollar geometrías distintas a la euklídea.  Bolyai y Lobatchevski desarrollaron geometrías que tomaban como axioma la negación del axioma de las paralelas.  Entre los geómetras fue creciendo la idea de que no había razón para considerar una más verdadera que otra. Considerando que los axiomas son esquemas abstractos (inaceptable para los defensores de la concepción clásica del método axiomático). Cita, p. 292.  Una geometría no era verdadera o falsa, sólo su aplicabilidad a un ámbito determinado de la realidad (el espacio?).  Frege tenía una concepción kantianade la geometría cuyos axiomas se captarían por una intuición pura del espacio “Al llamar sintéticas a priori a las verdades de la geometría, Kant había descubierto su verdadera esencia”. Las geometrías que no son eucklideanas

6  Se desarrollo una axiomatización lógicamente satisfactoria de la geometría euklidea, una concepción más abstracta del método axiomático.  De tal forma que Hilbert afirma (carta Frege) “Cada teoría no es sino un tinglado o esquema de conceptos junto con ciertas relaciones necesarias entre ellos, y sus elementos básicos pueden ser pensados arbitrariamente. Si entiendo por puntos, etc. cualquier sistema de cosas, por ejemplo el sistema formado por amor, ley deshollinador, etc. y considero que todos mis axiomas resultan válidos para esas cosas, entonces también resultan válidos para esas cosas mis teoremas como, por ejemplo el de Pythagoras. Con otras palabras: cada teoría puede ser aplicada a una infinidad de sistemas de elementos básicos.”.  Con la publicación de su obra se impuso un nuevo método axiomático, aunque no lo exponía, simplemente lo aplicaba. El método axiomático hilbertiano

7  Frege propone comparar la teoría axiomática de Hilbert con un sistema de ecuaciones con varias incógnitas. Cada sistema de conceptos que satisface la teoría es una como una solución de esas ecuaciones.  Pero la solución no pretende de ser unívoca y esos es un problema para Frege. Todo lo contrario en la multiplicidad de soluciones está la matemática posterior.  En el desarrollo, la aclaración y explicitación del nuevo método era muy útil el rigor de Frege, que Hibert no tomó en cuenta. Frege, analista del método de Hilbert

8  Frege considera inútil ofrecer una prueba de consistencia como hace Hilbert, pues la consistencia se sigue de la verdad y los axiomas son por definición verdaderos. Frege escribe a Hilbert: “Llamo axiomas a los enunciados verdaderos, pero indemostrados… De la verdad de los axiomas ya se sigue que estos no se contradigan entre sí. Por tanto esto no requiere prueba alguna adicional”.  En una teoría axiomática abstracta los teoremas se prueban a partir de axiomas según reglas de inferencia establecidas sin tener en cuenta las posibles interpretaciones de los mismos. Sólo garantiza que si las reglas son correctas, cada interpretación que satisfaga los axiomas, que los convierta en ideas verdaderas, satisfará también los teoremas (ideas verdaderas). Para Frege una formulación sin contenido no puede ser probada!  Frege no admite las pruebas abstractas por dos razones: porque parten de axiomas abstractos que no expresan idea alguna, mientras que una inferencia sólo puede partir de una idea y llevar a otra. No acepta la inferencia basada en las solas reglas de ésta, aplicada a meras formulaciones, sino que exige que la inferencia se base en actos psíquicos de juicio (no se puede hacer una inferencia a partir de una premisa cuya verdad no se reconoce, perdiendo su intersubjetividad).  Con esto Frege cae en el psicologismo que tanto había combatido (separación entre lógica y psicología). Consistencia y deducción

9  Es curioso que Hilbert empleando palabras cargadas de significado intuitivos pretenda emplearlas como signos vacíos de significación, y que, careciendo de un cálculo deductivo o de reglas de inferencia explícitamente formuladas, pretenda proceder de un modo forma y abstracto en sus deducciones, mientras que Frege, empleando signos y expresiones formalizadas, pretende escribir enunciados de significación unívoca, y disponiendo de un cálculo deductivo formal perfectamente desarrollados, pretenda limitarse a registrar la cadena de juicios por la que un sujeto va reconociendo la verdad de ciertas ideas.

10  Mientras Hilbert hablaba de teorías abstractas, Frege hablaba de teorías concretas.  Las categorías básicas de la ontología de Frege son el objeto y función.  Una teoría concreta es un determinado objeto (conjunto de ideas sobre un cierto sistema).  Una teoría abstracta, por el contrario no sería objeto, sino una función que tiene como dominio de definición el conjunto de sistemas.  La teoría concreta también es la interpretación de la teoría abstracta en ese sistema. Teorías concretas y abstractas

11  ¿Es consistencia lo mismo que verdad? En una carta a Frege, Hilbert dice: “Si los axiomas arbitrariamente establecidos junto con sus consecuencias, no se contradicen entre sí, entonces existen las cosas definidas por los axiomas. Este es para mi el criterio de verdad y de la existencia.  En la polémica se evidencia que están usando la palabra verdad en sentidos muy diferentes. Frege sostiene contra Hilbert que si la geometría euklideana es verdadera las otras geometrías han de ser falsas. Ambos autores se refieren a la verdad formal. A una verdad que no remite contexto empírico alguno. Pero mientras que para Frege se trata de una verdad absoluta en que cada una de las proposiciones que la integran es una contradicción al ser negada (analítica) para Hilbert la verdad de las proposiciones es relativa al contexto total y descansa en la consistencia de éste (las proposiciones una a una no son analíticas).  La verdad Hibertiana es como la verdad de Frege independiente de lo empírico, a priori. Pero para uno es en todos los mundos posibles y para el otro justamente apoya la creación de muchos mundos (pluralismo).  Todo esto es problema del primer tercio del siglo XX y su esclarecimiento subyace a una gran parte de la enorme actividad lógico-filosófica. Los problemas de la verdad

12  Aplicación a la filosofía de la ciencia del marco logicista.  A la clásica idea de verdad como correspondencia con la realidad se contrapone con especial énfasis la verdad sintáctica o formal.  El positivismo lógico, es representante paradigmático de esta postura. Los viejos términos kantianos analítico y sintético cobran en él un carácter de total oposición al representar a lo puramente formal por un lado y a la correspondencia con los hechos por otro.  El positivismo lógico se plantea en primer lugar la dicotomía a nivel proposición. Una proposición es analítica cuando es verdadera por su forma, su negación la convierte en contradictoria. Una proposición es sintética cuando sólo desde el “exterior” puede determinarse su valor de verdad (verdad formal y verdad por correspondencia).  En el positivismo lógico