@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATRICES U.D. 2 * 2º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATRICES U.D. 2 * 2º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 APLICACIONES U.D. 2.8 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 Fabricando estanterías 1.-Una empresa fabricó tres tipos de estanterías: A, B y C. Para ello se utilizaron unidades de madera, plástico y aluminio, tal como figura en la siguiente tabla: TIPOS MADERA PLÁSTICO ALUMINIO A1 unidad1 unidad2 unidades B1 unidad1 unidad3 unidades C1 unidad2 unidades5 unidades La empresa tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 de aluminio. Sabiendo que utilizó todas sus existencias, calcular cuántas estanterías de cada tipo fabricó.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 RESOLUCIÓN: Llamemos x, y, z al número de estanterías de tipo A, B y C respectivamente. El sistema de ecuaciones quedará así: x+ y+ z= 400 x+ y+2z= 600 2x+ 3y+ 5z= 1500 Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes: 1 11 400 1 12 600 2 35 1500

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 Aplicando el método de Gauss: A la tercera fila o ecuación la resto dos veces la primera fila o ecuación. F3 = F3 – 2F1 A la segunda fila o ecuación la resto la primera fila o ecuación. F2 = F2 - F1 111400 001200 013700 Permutamos las dos últimas filas: 111400 013700 001200 Vemos que el sistema ha quedado escalonado.

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 Aplicando el método de Jordan: A la primera fila o ecuación la resto la tercera fila o ecuación. F1 = F1 – F3 A la segunda fila o ecuación la resto tres veces la tercera fila o ecuación. F2 = F2 – 3.F3 1 10 200 0 10 100 0 01 200 Por último a la primera fila la resto la segunda. F1 = F1 – F2 100100x = 100 010100y = 100 001200z = 200 Vemos que x = 100, y = 100, z = 200

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 Buscando el número 2.-La suma de las tres cifras de un número es 14. La cifra de las centenas y la de las decenas suman la de las unidades. Si invertimos el orden de las cifras el número aumenta en 396 unidades. ¿De qué número se trata?. Resolución: Sea N = zyx el número pedido Sea x = la cifra de las unidades. Sea y = la cifra de las decenas. Sea z = la cifra de las centenas. Tenemos: x+y+z = 14  x + y + z = 14 z+y=x  x – y – z = 0 xyz=zyx+396  100.x+10.y+z = 100.z + 10.y + x + 396

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 El sistema de ecuaciones quedará así: x + y + z= 14 x – y – z= 0 99.x – 99.z= 396 Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes: 1 11 14 1 -1-1 0 99 0-99 396 Aplicando el método de Gauss: F3 = F3 – 99F1 y F2 = F2 - F1 11114 0 – 2 – 2 – 14 0 – 99 – 198 – 990

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 Dividiendo entre - 2 la segunda y entre – 99 la tercera, queda: 1 1 114 0 1 1 7 0 1 2 10 A la tercera fila o ecuación la resto la segunda fila o ecuación. F3 = F3 – F2 11114 0117 0013 Aplicando el método de Jordan: A la primera fila la resto la segunda y a la segunda la resto la primera: 1007  x = 7 0104  y = 4 0013  z = 3 Solución: N = 347

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 En numerosas situaciones del mundo económico se presentan casos en los que aparece: 1.Una serie de elementos de un colectivo (por ejemplo, un holding empresarial). 2.Unos recursos o beneficios obtenidos por cada elemento (cada empresa del holding, por ejemplo) 3.Una normativa que obliga a que cada elemento transfiera a los demás parte de sus recursos o beneficios. La normativa puede ser representada por una matriz de transferencia M, que se formará poniendo en cada columna los porcentajes que obligan a cada elemento. Recursos Recursos Tendremos así: M. = Iniciales Finales Holding empresarial

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 En una familia el padre (P), la madre (M) y el hijo (H) ganan 1.600 €, 1.100 € y 900 € al mes respectivamente. El padre da el 50% a la madre, el 30% al hijo y el resto se lo queda él. La madre se queda la mitad y la otra mitad se lo da al hijo. El hijo por su parte se queda con un 70% de lo que gana y el resto se lo da a la madre. ¿Qué cantidad de dinero corresponderá a cada uno al mes ?. RESOLUCIÓN Sabiendo queM.(RI) = (RF) PMH 0,200 1600 320 P 0,50,50,3 1100 = 800+550+270 M 0,30,50,7 900 480+550+630 H corresponde a cada uno ( P, M e H, en € ) Al padre 320 €, a la madre 1620 € y al hijo 1660 € Economía familiar

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 Una empresa fabrica cuatro tipos de artículos: A, B, C y D. Los precios de coste de cada unidad son 6, 9, 14 y 20 € respectivamente. Los precios de venta de cada unidad son 18, 28, 40 y 52 € respectivamente. El número de unidades vendidas anualmente es de 2240, 1625, 842 y 530 respectivamente.. Hallar los beneficios. Resolución: Las matrices de costes, ingresos y ventas son: COSTES INGRESOS VENTAS 6 0 0 0 18 0 0 0 0 9 0 0 0 28 0 0 2240 1625 842 530 0 0 14 0 0 0 40 0 0 0 0 20 0 0 0 52 Beneficios empresariales

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13 … Resolución: Sabemos que: BENEFICIOS = INGRESOS - COSTES = V.I – V.C V.I. – V.C = V.(I – C) 18 0 0 0 6 0 0 0 2240 1625 842 530.[ 0 28 0 0 0 9 0 0 ] = 0 0 40 0 – 0 0 14 0 0 0 0 15 0 0 0 20 12 0 0 0 = 2240 1625 842 530 0 19 0 0 = 0 0 26 0 0 0 0 – 5 = 12.2240 19.1625 26.842 - 5.530 = = 26 880 30 875 21 892 - 2 650, de beneficios por artículos. Total de beneficios: 26 880 + 30 875 + 21 892 – 2 650 = 76 997 €