Optimización para Ingenieros La Universidad del Zulia Facultad de Ingeniería División de Estudios para Graduados Programa: Computación Aplicada Asignatura: Optimización para Ingenieros Optimización sin restricciones Condiciones de primero y segundo orden para la existencia de extremos Búsqueda Lineal Métodos básicos de descenso para funciones de varias variables Prof. Luis Zerpa, M.Sc. Email: lzerpa@ica.luz.ve

Derivada direccional D f(p) = f(p)T  La derivada direccional permite tener información del comportamiento de la función si sus variables se modifican siguiendo el sentido indicado por el vector gradiente La Derivada direccional de f en p según el vector unitario  [ D f(p) ] es el producto escalar del gradiente en p, por  : D f(p) = f(p)T  ¿En qué sentido deberían desplazarse las variables de f, partiendo del punto p, para que los valores de f crezcan más rápidamente?

Derivada direccional Como la rapidez está dada por : f(p)T  En esta expresión se suponen ya conocidos f y p; faltando conocer “” que haga máximo el producto escalar Siendo f(p)T  = f(p).  Cos  = f(p).(1). Cos  Donde :  , es el ángulo formado por los vectores f(p) y  f(p)T , será máximo si y sólo si Cos  es máximo, ósea cuando  = 0 y f(p) con  son colineales. Lo cual significa que el vector unitario  debe tener el mismo sentido que el vector gradiente de f en p significa que el vector gradiente de una función f en un punto p, f(p), de su dominio se orienta en el sentido en el cual f crece mas rápidamente

Gradiente El gradiente de una función escalar de n variables f(x1, x2,…, xn,), denotado por f, es el vector n-dimensional El gradiente de una función en un punto indica la dirección, a partir de ese punto, en la que dicha función crece más rápidamente y, además, la dirección ortogonal a las curvas de nivel de f (curvas en las que la función tiene un valor constante)

Matriz Hessiano El Hessiano de una función escalar de n variables f(x1, x2,…, xn,), denotado por Hf, es la matriz de dimensión nxn Una matriz cuadrada A es definida positiva si : y es negativa si la desigualdad es la contraria

Optimización Sin Restricciones Formulación del problema de optimización Cualquier problema de optimización, por complejo que sea, puede expresarse en los siguientes términos Encontrar un vector x tal que se minimice una función objetivo f(x) Sujeto a restricciones de la forma: donde x es un vector de variables independientes La función objetivo puede tener un solo mínimo, en cuyo caso se denomina unimodal, o varios mínimos locales o globales, en cuyo caso se denomina multimodal

Clasificación de problemas de optimización De acuerdo a la forma de f(x) y las restricciones: Programación Lineal: f(x) y las restricciones son lineales Programación No-lineal: f(x) es no-lineal y las restricciones pueden ser no-lineales De acuerdo a la presencia o no de restricciones: Optimización no restringida: El problema de optimización no tiene restricciones Optimización restringida: El problema de optimización tiene restricciones Según su dimensionalidad: Optimización unidimensional: función objetivo de una variable Optimización multidimensional: función objetivo de varias variables Según el número de funciones objetivo: Optimización con un objetivo: Una sola función objetivo Optimización con múltiples objetivos: varias funciones objetivo

Clasificación de problemas de optimización Existen varios métodos para resolver un problema de optimización Estos métodos pueden agruparse en dos grandes clases: Métodos de optimización basados en derivadas Métodos de optimización no basados en derivadas

Métodos de optimización basados en derivadas Métodos básicos de descenso Son técnicas básicas utilizadas en la solución iterativa de problemas de minimización sin restricciones Ofrecen la forma más simple y directa de resolver estos problemas Ofrecen en términos prácticos una referencia con relación a la dificultad de implementación y velocidad de convergencia En general, las técnicas avanzadas se comparan con estas técnicas básicas

Estructura básica de los métodos básicos de descenso Se inicia en un punto, x0 Se determina la dirección de descenso mediante una regla fija (Primera diferencia entre algoritmos) Luego, se busca el mínimo en esa dirección (Búsqueda lineal) La forma general de los métodos básicos de descenso se puede expresar como,

Búsqueda Lineal Las técnicas de búsqueda lineal son realmente procedimientos de optimización para una sola variable, los cuales son realizados repetidamente en problemas de varias variables La elección de una dirección de búsqueda tiene un alto costo computacional, es por ello que los métodos de descenso basados en gradiente sufren modificaciones con el objeto de minimizar o reducir el número de cálculos de gradiente, Hessiano, e inversión de matrices La modificación fundamental consiste en reducir el problema a uno de optimización a lo largo de la dirección de descenso

Búsqueda Lineal Específicamente se debe resolver el sub-problema de optimización: Encontrar , tal que donde d es la dirección de descenso Hallado el  óptimo se inicia una nueva iteración de descenso

Búsqueda Lineal Este sub-problema es sensiblemente más sencillo que la optimización general ya que es un problema de una dimensión con una única variable,  La elección de un método adecuado de búsqueda lineal es de gran importancia en un algoritmo de optimización La búsqueda lineal es responsable de un alto porcentaje del costo de la evaluación de la función objetivo

Tipos de Métodos de Búsqueda Lineal Directos Gradiente Newton Quasi-Newton Secante Interpolación Polinómica Cuadrática Cúbica DSC (Davies, Swann y Campey) Basados en intervalos Bisección Búsqueda de Fibonacci Búsqueda Dorada Métodos Inexactos Armijo Goldstein

Búsqueda de Fibonacci Este método determina el mínimo valor de una función f sobre un intervalo cerrado [c1, c2] Esta función puede estar definida en un dominio más amplio, pero el método requiere que dicho intervalo de búsqueda sea definido Se asume que f es unimodal El mínimo es determinado (al menos aproximadamente) mediante la evaluación en un cierto número de puntos Se pretende definir una estrategia de búsqueda que seleccione la observación siguiente basada en los valores funcionales de las observaciones anteriores

Búsqueda de Fibonacci Esto se define según el siguiente problema: Encontrar como seleccionar sucesivamente N observaciones, sin contar con un conocimiento explícito de la función, de forma tal que podamos encontrar la más pequeña región de incertidumbre posible en donde se encuentre el mínimo Esta región de incertidumbre es determinada en cualquier caso por: las observaciones (sus valores funcionales) y la suposición de que f es unimodal. Luego que encontremos los valores funcionales en N puntos dentro del intervalo cerrado [c1, c2] c1  x1  …  xN-1  xN  c2 La región de incertidumbre es el intervalo [xk-1, xk+1] donde xk es el mínimo de los N puntos evaluados. En ese intervalo se encuentra el mínimo

Búsqueda de Fibonacci La estrategia para seleccionar sucesivamente observaciones para obtener la región de incertidumbre más pequeña se describe a continuación: d1 = c2 – c1; es la amplitud inicial de la incertidumbre dk  es la amplitud de la región de incertidumbre luego de k observaciones Si son realizadas N observaciones se tiene que Donde Fk son los números de la secuencia Fibonacci generados por la relación: FN = FN -1 + FN -2 donde F0 = F1 = 1 Donde cada número después de los dos primeros representa la suma de los dos precedentes

Búsqueda de Fibonacci Procedimiento para la reducción de la sección de incertidumbre: Especificar N, y calcular los números de la serie Fibonacci {F0, F1,…, FN} Calcular Colocar simétricamente desde los extremos del intervalo inicial a distancia dos observaciones De acuerdo a donde se encuentre la muestra con menor valor funcional se determina la región de incertidumbre, La tercera muestra es colocada simétricamente dentro de este nuevo intervalo con respecto a la observación ya incluida en el intervalo, de forma tal que la amplitud de la región de incertidumbre sea

Búsqueda de la Sección Dorada Pertenece a los métodos de búsqueda lineal basados en intervalos, además es una versión mejorada de la búsqueda de Fibonacci En la búsqueda de la Sección Dorada se usan tres valores de la función para detectar el valor extremo, se toma un cuarto número, y se determina donde ocurre el mínimo, en los primeros tres o los últimos tres valores Se minimiza la evaluación de la función objetivo al reemplazar los valores anteriores con los nuevos, haciendo que se cumplan las siguientes condiciones

Búsqueda de la Sección Dorada La primera condición específica que la suma de las dos sublongitudes l1 y l2 debe ser igual a la longitud original del intervalo La segunda indica que el cociente o razón de las longitudes debe ser igual La Razón Dorada

Búsqueda de la Sección Dorada Se comienza con los valores extremos del intervalo xl, xu que contienen el extremo local de f(x) Dos puntos interiores de escogen de acuerdo a x1 = xl + d x2 = xu - d Se evalúa la función en los dos puntos interiores Si f(x1) < f(x2)  xl = x2; x2 = x1; Si f(x2) < f(x1)  xu = x1; x1 = x2; x2 x1 xl x1 xu

Ajuste Cuadrático (Método DSC, Davies, Swann y Campey) El método DSC es un método de búsqueda lineal por ajuste de curvas (interpolación polinómica), es recomendado para determinar la región donde se encuentra el mínimo en funciones de una sola variable En la búsqueda unidimensional DSC, se toman pasos cuya dimensión se va incrementando sucesivamente hasta que el mínimo es sobrepasado y luego se realiza una interpolación cuadrática

Ajuste Cuadrático (Método DSC, Davies, Swann y Campey) Se evalúa f(x) en el punto inicial x(0) - Si f(x(0) + x)  f(x(0)), pase al paso 2 - Si f(x(0) + x) > f(x(0)), haga x = x/2 y repita el paso 1 Calcule x(k+1) = x(k) + x Calcule f(x(k+1)) Si f(x(k+1))  f(x(k)), duplique x (x = 2x) y regrese al paso 2 con k = k+1 Si f(x(k+1)) > f(x(k)), denote x(k+1) como x(m), x(k) como x(m-1), etc., se reduce x a la mitad y se regresa al paso 2 y 3 para un solo cálculo adicional

Ajuste Cuadrático (Método DSC, Davies, Swann y Campey) De los 4 valores igualmente espaciados de x en el conjunto {x(m+1), x(m), x(m-1), x(m-2)}, descarte x(m) o x(m-2), el que esté más lejano de la x de menor valor funcional. Los tres valores restantes del conjunto pueden ser denotados como x(a), x(b), x(c), donde x(b) es el punto central y x(a) = x(b) - x y x(c) = x(b) + x Se realiza una interpolación cuadrática para estimar x* (el valor de la variable independiente correspondiente al mínimo de f(x)) donde x = x(a) - x(b)

Ajuste Cúbico Dados xk-1 y xk junto a f(xk-1), f ’(xk-1), f(xk), y f ’(xk) es posible ajustar una ecuación cúbica en los puntos El punto xk+1 (mínimo) puede ser determinado como el punto mínimo relativo de esta ecuación cúbica donde,

xk+1 = xk – f ’(xk)  Método del gradiente modificado Supongamos que f(x) es una función de una variable a ser minimizada y que f(x) y f ’(x) existen xk+1 = xk – f ’(xk) Un factor de escalamiento es empleado para escalar el gradiente xk+1 = xk – f ’(xk)  Método del gradiente modificado El valor de   (0,1], es decir, es un parámetro ajustable seleccionado por el usuario Es deseable que  decrezca a medida que progresa la búsqueda, lo que hace que tengamos dos parámetros por ajustar: 0 y la tasa de disminución de  Con el método de Newton tales parámetros son calculados directamente en cada iteración

Método de Newton Supongamos una función f de una variable a ser minimizada y supongamos que en xk es posible evaluar f(xk), f ’(xk) y f ”(xk) Entonces es posible construir una función cuadrática a partir del desarrollo de Taylor: Se puede estimar xk+1 determinando el punto donde la derivada de q se hace cero

Método de Newton Implementación Para la implementación de este método en una función de varias variables es necesario calcular la primera y segunda derivada de la función como derivadas direccionales, obteniendo un valor escalar, de la siguiente manera, donde d es el vector unitario de la dirección de descenso

Método Quasi-Newton Cuando no es posible evaluar analíticamente las primeras y segundas derivadas, se pueden emplear métodos de diferencias finitas para calcularlas:

Búsqueda Lineal Inexacta En la práctica no se determina el mínimo de la búsqueda lineal en forma exacta En este sentido, es deseable sacrificar precisión en la búsqueda lineal con el propósito de favorecer el tiempo de computo general Recordemos que el mínimo en una búsqueda local no tiene porque ser el mínimo de la función La imprecisión es generalmente introducida simplemente terminando la búsqueda lineal antes de que converja La naturaleza exacta de la imprecisión depende de: La técnica de búsqueda empleada El criterio de parada

Búsqueda Lineal Inexacta Criterios de terminación de la búsqueda lineal Prueba de porcentaje: Sea xk+1 = xk + d; este criterio determina  para estar dentro de un porcentaje del verdadero valor Específicamente, se selecciona una constante c tal que 0 < c < 1 (típicamente c = 0.1) y el parámetro  en la búsqueda lineal es determinado de forma tal que satisfaga | - *| ≤ c* donde * es el verdadero valor de minimización

Búsqueda Lineal Inexacta Regla de Armijo Primero garantiza que  no sea muy grande y luego que no sea muy pequeño La regla de Armijo es implementada al considerar la función (0) +  ’(0) para 0 <  < 1 Esta función está representada por la línea segmentada en la figura

Búsqueda Lineal Inexacta Regla de Armijo Un valor de  se considera que no es muy grande si el valor de la función cae debajo de la línea punteada; es decir, si ()  (0) +  ’(0)  Para asegurar que  no sea muy pequeño, se selecciona un valor de  > 1, y se considera que  no es muy pequeño si () > (0) +  ’(0)  , Esto quiere decir que si  es aumentado por un factor , falla el criterio anterior que requería que el valor de la función estuviera por debajo de la línea punteada La región aceptable definida por la regla de Armijo en la figura corresponde a un valor de  igual a 2

Búsqueda Lineal Inexacta Regla de Armijo En la práctica, la regla de Armijo es utilizada para definir una técnica de búsqueda lineal simplificada que no utiliza el ajuste de curvas Se define un  arbitrario Si se satisface ()  (0) +  ’(0)  ; el valor de  es aumentado repetidas veces por  hasta que ya no se satisface esta desigualdad y se selecciona el penúltimo  Si () > (0) +  ’(0)  ; el  inicial se considera muy grande y se divide repetidas veces por  hasta que se consiga un  apropiado Valores típicos:  = 2, y  = 0.2

Criterios de parada para métodos de búsqueda Lineal Derivada direccional sobre la dirección de descenso se aproxima a cero Valor de la función objetivo varia muy poco Máximo número de iteraciones alcanzado Donde  es un número muy pequeño, e.g., 1e-5, y maxIter es el número máximo de iteraciones especificado por el usuario

Métodos Básicos de Descenso para funciones de varias variables La forma general de los métodos básicos de descenso se puede expresar como Determinación de Direcciones de Descenso Si θ > 90º, entonces cos(θ ) < 0 Si sabemos que el gradiente es la máxima dirección de crecimiento en un punto Cualquier vector que tenga más de 90º con el gradiente define una dirección de descenso d f θ a b

Método del Descenso más Rápido Este método, denominado también método del gradiente, es una de las técnicas más antiguas para minimizar una función definida en un espacio multidimensional Su filosofía es muy sencilla: la dirección contraria a la del vector gradiente en un punto es la dirección de más rápido decrecimiento de la función en ese punto El procedimiento a seguir es el siguiente: Se selecciona un punto inicial sobre la superficie y se determina el gradiente en ese punto Se determina un nuevo punto según la fórmula: donde  es un número positivo, dado por algún método de búsqueda lineal Se repite el paso 2 hasta que se encuentre un punto xi+1 tal que

Método del Descenso más Rápido Ejemplo 1: Se desea minimizar la función Esta función es unimodal El mínimo está ubicado en el punto (0,0) Supongamos que se asume como punto inicial, el punto (-1.7, 1.7635) El gradiente en un punto cualquiera es, f = {2x, 2y} x

Método del Descenso más Rápido Ejemplo 1: Evolución del método para un  = 0.25 Evolución del método para un  = 0.9

Método del Descenso más Rápido Ejemplo 2: Se desea minimizar la función Esta función es unimodal El mínimo está ubicado en el punto (0,0) Supongamos que se asume como punto inicial, el punto (-1.7, 1.7) El gradiente en un punto cualquiera es, f = {6x, 2y}

Método del Descenso más Rápido Ejemplo 2: Se desea minimizar la función Las curvas de nivel de esta función son de forma elíptica, y el cambio de la dirección de búsqueda de una iteración a otra, se observa en la trayectoria en forma de zigzag

Método de Newton En este caso, la dirección de búsqueda se determina utilizando la segunda derivada de la función objetivo El método aproxima la función objetivo f en la vecindad de un mínimo con una serie de Taylor truncada hasta el término de segundo orden, Dado que la aproximación fa es una función de segundo orden, ésta es unimodal, y su mínimo es una buena aproximación del mínimo de la función objetivo El mínimo de la función fa se determina haciendo fa´= 0 y calculando el valor de xi que satisface la ecuación

Método de Newton Si la inversa de Hf existe, se tiene que: Que es el denominado método de Newton o de Newton-Raphson Direcciones de búsqueda calculada por los métodos de descenso más rápido y de Newton

Método de Newton Ejemplo 3: Se desea minimizar la función utilizando el método de Newton El gradiente en un punto cualquiera es, f = {6x, 2y} mientras que el Hessiano es la matriz La aproximación de esta función utilizando la serie de Taylor es exacta, debido a que es una función cuadrática

Método de Newton En los casos en los que la función no es cuadrática, se hacen aproximaciones sucesivas del mínimo utilizando la ecuación donde  es positivo, hasta que se encuentra un valor cercano al extremo mínimo relativo, según una tolerancia especificada En cada punto en los que se evalúe la ecuación anterior, debe ocurrir que el Hessiano sea una matriz positiva definida, para que la dirección de búsqueda sea una dirección descendente En general, la condición de matriz positiva definida se cumple en la vecindad del mínimo, pero no existe garantía que ocurra en puntos lejanos al mismo

Método de Levenberg-Marquardt Está dado por la ecuación donde  y  son positivos e I es la matriz identidad La idea es seleccionar  de manera que la matriz I - Hf sea positiva definida La ecuación anterior se aproxima al método del descenso más rápido si   , y al método de Newton   0

Estrategia de descenso En la práctica se utilizan estrategias de descenso que utilizan varios métodos, de la siguiente manera: Se inicia con el método de Newton, si no hay descenso (la matriz Hessiano NO es definida positiva) Se emplea el método de Levenberg-Marquardt con un  inicial, por ejemplo k = 0.001, se realiza la factorización de Cholesky a la matriz para verificar si es definida positiva. Si la factorización de Cholesky falla (i.e. la matriz no es definida positiva) se incrementa en una razón, k = k Si no hay descenso después de varios intentos (por ejemplo 10), se emplea el método del descenso más rápido

ANEXO

Descomposición de Cholesky La descomposición o factorización de Cholesky expresa una matriz simétrica como el producto de una matriz triangular y su transpuesta A = L∙LT  L: matriz triangular inferior No todas las matrices simétricas se pueden factorizar de esta forma Las matrices que tienen este tipo de factorización son las matrices simétricas definidas positivas. Esto implica que todos los elementos de la diagonal sean positivos y que los elementos fuera de la diagonal no sean muy grandes

Descomposición de Cholesky Los términos de la descomposición se pueden multiplicar entre si. El resultado se puede expresar en forma simple por relaciones recurrentes Para la fila k

Descomposición de Cholesky Ejemplo, Para k = 1 Para k = 2 Para k = 3 Sustitución hacia adelante Sustitución hacia atrás

Seudo código para la descomposición de Cholesky for k = 1:n for i = 1:k-1 sum = 0; for j = 1:i-1 sum = sum + A(i,j)*A(k,j); end A(k,i) = (A(k,i) - sum)/A(i,i); for j = 1:k-1 sum = sum + A(k,j)^2; A(k,k) = sqrt(A(k,k) - sum);