FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA Juan C. Fernandez 6.1 – Comportamiento no ideal de Componentes

FIUBA Un circuito electrónico está formado por un conjunto de componentes concentrados y/o distribuidos, pasivos y/o activos, interconectados entre sí. El diseño electrónico consiste en elaborar un circuito para obtener un cierto comportamiento deseado. Para ello se utilizan los modelos ideales de los componentes del circuito, su soporte e interconexiones. En el caso del soporte, habitualmente dieléctrico, se lo considera neutral para el comportamiento del circuito. En el caso de las interconexiones, se las considera como volúmenes equipotenciales conductores perfectos. Todas estas suposiciones configuran el llamado comportamiento ideal del circuito y sus componentes. En esta clase analizaremos en forma introductoria la influencia del comportamiento no ideal de los elementos de un circuito. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 6 COMPORTAMIENTO NO IDEAL DE COMPONENTES Introducción

FIUBA Modelos básicos: Para modelar el comportamiento no ideal de componentes pasivos (R,L,C) se usan los modelos básicos RLC serie y paralelo. En esta presentación no vamos a modelar el comportamiento no ideal de componentes activos. Para modelar el comportamiento no ideal del soporte e interconexiones del circuito se usan modelos de constantes concentradas o distribuidas de acuerdo a la longitud eléctrica de las interconexiones. Se debe tener en cuenta el efecto pelicular en función de la frecuencia. Se debe tener en cuenta el efecto de proximidad. Finalmente, se debe tener en cuenta los efectos de la radiación de campos EM en el ambiente, que producirán tensiones y corrientes inducidas en el circuito. En un diseño bajo normas de EMC se debe tener en cuenta también la emisión de radiación EM por el circuito. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 6 COMPORTAMIENTO NO IDEAL DE COMPONENTES distribución inhomogénea de corrientes en las secciones transversales de los conductores distribución inhomogénea de corrientes en las secciones transversales de los conductores por fuerzas

FIUBA Modelos básicos RLC serie y paralelo : RLC serie: RLC paralelo: MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 6 COMPORTAMIENTO NO IDEAL DE COMPONENTES L R +  C L R C

FIUBA Modelos básicos de resistores: Los resistores reales tienen una inductancia serie parásita L y una capacidad entre terminales parásita C. Por ejemplo, un resistor típico de carbón tiene L  5nH y C  1pF ( f 0  2.25 GHz ). MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 6 COMPORTAMIENTO NO IDEAL DE COMPONENTES L R C R = 10k  R eff X eff R = 50  R eff X eff

FIUBA L = 20mH f0  1.1 MHz R eff X eff Modelos básicos de inductores: Los inductores reales tienen una resistencia serie parásita R y una capacidad entre terminales parásita C. Por ejemplo, un inductor común tiene R  1  y C  1pF. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 6 COMPORTAMIENTO NO IDEAL DE COMPONENTES L R C L = 20mH f0  1.1 MHz R eff X eff L = 2  H f0  MHz R eff X eff L = 2  H f0  MHz R eff X eff

FIUBA Modelos básicos de capacitores: Los capacitores reales tienen una resistencia serie parásita R, una inductancia serie parásita L y una capacidad entre terminales parásita C. Como en los casos anteriores, tomamos R  1  y C  1pF. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 6 COMPORTAMIENTO NO IDEAL DE COMPONENTES L R C C0C0 C 0 = 1 nF f 0  71.2 MHz f 1  2.25 GHz R eff X eff C 0 = 1 nF f 0  71.2 MHz f 1  2.25 GHz R eff X eff

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA Juan C. Fernandez 6.2 – Modelo BF-Teoría del Potencial

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1 MODELO CUASIESTATICO – MODELO DE CAMPOS También las corrientes cuasi-estacionarias cumplen una ecuación de Laplace:  j(r,t) = 0   [  E(r,t)] = 0   [-  (r,t)] = 0   2  (r,t) = 0 Las ecuaciones del campo para fenómenos cuasiestáticos:  2  (r,t) = -  (r,t)/   2 A(r,t) = -  j(r,t) son ecuaciones de Poisson, o de Laplace para puntos donde se anulan las fuentes (cargas y Corrientes) Luego el paradigma para la solución de problemas cuasiestáticos es la ecuación de Poisson, para puntos con fuentes. o la ecuación de Laplace, para puntos sin fuentes. En general:  2¨ f(r,t) = g(r,t) La especificación de una ecuación de este tipo dentro de un recinto, junto con las condiciones de contorno, constituye un problema de potencial. S1S1 S2S2

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1 Propiedades fundamentales de las soluciones de un problema de potencial: Unicidad: La solución de un problema de potencial es única. MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DEL POTENCIAL Superposición: La suma de soluciones de la Ec. de Laplace es también solución de la Ec. de Laplace. S1S1 S2S2 Dirichlet Neumann Las líneas equipotenciales eléctricas son paralelas a contornos donde se aplica la condición de Dirichlet y normales a contornos donde se aplica la condición de Neumann. Las líneas de campo magnético B son paralelas a contornos donde se aplica la condición de Dirichlet A = 0 y normales a contornos donde se aplica la condición de Neumann.

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1 MODELO CUASIESTATICO – SEPARACION DE VARIABLES Este método se aplica a ecuaciones diferenciales cuyas soluciones son funciones de varias variables: f(x 1,x 2,…x N ) Métodos Analíticos – Separación de variables El método plantea que la función de varias variables puede expresarse como un producto de funciones de una sola variable: f(x 1,x 2,…x N ) = X 1 ( x 1 ) X 2 (x 2 ) … X N (x N ) lo que permite simplificar la resolución de la ecuación diferencial. Ecuación de Laplace – Separación de variables (coords. cartesianas)

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1 Estas soluciones surgen de la elección particular de signos para cada constante de separación. Esta elección depende de las condiciones de borde del problema. En todos los casos al menos una de las constantes de separación debe ser de signo diferente a las otras dos. MODELO CUASIESTATICO – SEPARACION DE VARIABLES

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1 MODELO CUASIESTATICO – SEPARACION DE VARIABLES EJEMPLO: Hallar el potencial dentro de la región 2D de la figura. y d    = 0 00 0 x Condiciones de borde: Solución: Condiciones de borde: x  ,  (x,y)  0  A = 0  y = 0  V(x,0) = C 2 e –kx = 0  C 2 = 0 y = d  V(x,d) = C 1 e –kx sen(kd) = 0  k = n  /d  Superposición:

FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1 MODELO CUASIESTATICO – SEPARACION DE VARIABLES y Toda separación de variables lleva a una representación de Fourier en coordenadas cartesianas.

FIUBA PROBLEMA DE POTENCIAL S1S1 S2S2 Diferencias finitas Grilla de puntos discretos: x i = x 0 + i h y j = y 0 + j h paso h uniforme (no siempre) MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1 MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS h h  i,j+1  i,j-1  i+1,j  i-1,j  i,j Se aproximan las derivadas por diferencias finitas:

FIUBA PROBLEMA DE POTENCIAL S1S1 S2S2 MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1 MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS Diferencias finitas La ecuación de Poisson queda así: de donde: h h  i,j+1  i,j-1  i+1,j  i-1,j  i,j SOLUCIONES Resolución directa del sistema de ecuaciones Resolución iterativa.

FIUBA DIFERENCIAS FINITAS MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1 MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS h h  i,j+1  i,j-1  i+1,j  i-1,j  i,j Resolución directa del sistema de ecuaciones El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial: [A][  ] = [  ] donde: [  ] = {  i,j } es la matriz de potenciales (incógnitas) [  ] = {  i,j } es la matriz de densidades de carga, y es una matriz tridiagonal. La solución de este sistema de ecuaciones es: [  ] = [A] -1 [  ] y como la matriz inversa A -1 es la inversa de una matriz tridiagonal, se simplifican los cálculos.

FIUBA DIFERENCIAS FINITAS MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1 MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS h h  i,j+1  i,j-1  i+1,j  i-1,j  i,j Ventajas y características: Método en el dominio de la frecuencia. Fácil programación. Puede usarse hoja de cálculo. La convergencia habitualmente es lenta. Permite una primera estimación de los campos. Resolución iterativa del sistema de ecuaciones RELAJACIÓN

FIUBA DIFERENCIAS FINITAS - RELAJACIÓN MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1 MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS h h  i,j+1  i,j-1  i+1,j  i-1,j  i,j RESIDUO Sobrecorrección: SOBRERRELAJACIÓN Factor de Convergencia

FIUBA ELEMENTOS FINITOS (FEM) MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1 MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS Ventajas y características : Método en el dominio de la frecuencia Formulación simple pero profesional, aplicable a problemas con recintos complejos Puede introducir características materiales y no-linealidades Amplia experiencia en el uso y conocimiento de sus limitaciones Aplicaciones típicas en la Ingeniería Eléctrica Determinación de campos eléctricos y magnéticos Análisis de dispositivos: l máquinas, relés, bobinas, transformadores, actuadores l biomédica: modelado de campos en seres vivos l análisis y modelado de dispositivos semiconductores Optimización de dispositivos: l mejor desempeño l reducción de peso, volumen y costos l optimización de parámetros geométricos

FIUBA ELEMENTOS FINITOS (FEM) – Etapas del cálculo MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 1 MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS dividir el recinto de integración en un número finito de regiones o elementos, establecer las soluciones del potencial y/o los campos dentro de un elemento, plantear las condiciones de ajuste de las soluciones en las fronteras entre elementos, y resolver estas ecuaciones. La geometría de la generación de los elementos finitos es crítica para que el problema sea resoluble. La forma matemática de las soluciones en cada elemento debe ser al menos cuadrática, Las condiciones de borde requieren cuidadoso análisis. La resolución del sistema lineal es muy costosa desde el punto de vista computacional.