Departamento de Ingeniería Matemática y CMM, UMR 2071 CNRS-UChile Universidad de Chile 28 de Septiembre de 2009 Carlos Conca Rosende IX Escuela de Primavera DIM-CMM 28 Septiembre - 9 Octubre 2009 Problemas Inversos en Mecánica de Fluidos

Detección de un Organismo en Movimiento

Problema Modelo

Restricciones Geométricas (Sólidos Admisibles)  D al interior de Ω  D convexo  Complemento de D conexo  Borde de D “suave”

a b xbaxax     0  cbbxcbxbxx ,1 2    ¿Qué es un Problema o Modelo Inverso?

x b a baxax     0 bbax  ax  0 Problema Inverso: Caso Lineal

   b xx c cbbx      cx x b cbbx   Problema Inverso con 1 Medición ( x 1 )

Luego,   21 21, xxcxx b     c bb x    c bb x  Problema Inverso con 2 Mediciones ( x 1, x 2 )

Preguntas Relevantes (I) Sean (v,P) los campos de velocidad y presión que alcanza el fluido en la región Ω, en presencia de un cuerpo rígido D, cuando es estimulado sobre el borde con una velocidad fija w, conocida. Denotaremos por ∑ la presión P del fluido sobre la parte del borde donde se hacen las mediciones (  m, en la figura). Ciertamente, ∑ = ∑ (D,w)

Preguntas Relevantes (II) 1. Identificabilidad Se trata de estudiar propiedades de injectividad del mapeo ∑, en particular, de responder a la pregunta: Si ∑ 1  ∑ 2 entonces ¿ es D 1  D 2 ? 2. Estabilidad Se trata de estudiar propiedades de continuidad de la inversa del mapeo ∑, en particular, Si tenemos dos medidas ∑ 1 y ∑ 2, cercanas, entonces ¿ es D 1 cercano a D 2 ? 3. Reconstrucción Computacional de D, a partir de ∑

Aplicaciones  Pareciera ser un campo ilimitado en aplicaciones; se encuentran en todas las ciencias  Imágenes médicas (técnicas no invasivas): Tomografía, Espectrografía (ultrasonido), Escaners (resonancia magnética), …  Técnicas no-destructivas de evaluación de materiales y piezas de maquinaria, detección de fallas, fisuras (ciencias de los materiales)  Problemas de origen industrial: Detección de fuentes de contaminación, prospecciones meteorológicas (Geofísica), …  Métodos naturales y artificiales de reconocimiento de imágenes

Esquema del Problema Inverso Contaminación Chuquicamata q*q* Dispersión de PM10 C(q * ) Flujo desconocido C0C0 Medición Estaciones Concentración de PM10 En todo el dominio Este es el problema inverso

Experiencias de Laboratorio

Teorema Principal C 2, L. Friz, O. Kavian & J. Ortega, Inverse Problems 21, 2005 Teorema (Identificabilidad) Sea Ω un región acotada en 2 o 3 dimensiones espaciales, y sean D 1, D 2, dos cuerpos rígidos admisibles. Denote ∑ 1 (resp., ∑ 2 ) la presión del fluido medida sobre  m, en presencia del cuerpo D 1 (resp., D 2 ). Luego, Si ∑ 1 = ∑ 2 entonces D 1 =D 2

Reconstrucción Numérica de Cuerpos Esféricos y Elipsoidales

Caso de un Cuerpo Esférico

Caso de un Cuerpo Elipsoidal

Generalizaciones  Varios cuerpos  Régimen no-estacionario, de evolución  Colisiones (con el borde, entre cuerpos)

Kiss & Go

Mickey’s Reconstruction