Permutaciones y Variaciones con elementos repetidos IIIº Medio 2015

Objetivo Comprender el concepto de permutaciones con elementos repetidos. Resolver situaciones de probabilidad utilizando permutaciones y variaciones, valorando la flexibilidad y creatividad en la búsqueda de soluciones.

Permutaciones con elementos repetidos Cuando se tienen “n” objetos que se quieren ordenar, pero dentro de ellos existen elementos iguales entre si, hablamos de una permutación con elementos repetidos o con repetición.

Entonces, si dentro del total de n elementos hay uno que se repite “a” veces, otro “b” veces, otro “c” veces, etc. La notación para esta permutación es: nPa,b,c,… ó Pna,b,c… ó nPRa,b,c,… ó PRna,b,c… ¿Cómo será la cantidad de maneras de ordenar estos elementos en comparación con una permutación sin elementos repetidos?

Sí, son menos posibilidades, ya que al existir elementos repetidos hay opciones que se repiten. Ejemplo: ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer con 6 banderines si de ellos 2 son rojos, 3 verdes y uno morado

Variación con repetición Se denomina variación con repetición al proceso de seleccionar y ordenar “n” objetos de un conjunto de “m”, donde se pueden repetir los elementos o existen elementos repetidos. Su notación es:

Como las identificamos Permutaciones Variaciones Se ordenan todos los elementos SI SI y NO Importa el orden Se repiten elementos

Ejemplo ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? m = 5     n = 3 No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321 Sí se repiten los elementos.

Ejercicios 1. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar? n = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9

2. ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos? 3.  Si un equipo de fútbol participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos? Respuestas: 2. 1260 3. 7.920

4. Cuántos resultados diferentes se producen al lanzar 5 dados de distinto color y anotar los resultados de la cara superior? 5. Con un punto y una raya ( símbolos clásicos del alfabeto Morse) ¿ Cuántas señales distintas de 5 dígitos pueden hacerse? 6. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5? Respuestas 4. 7776 5. 32 6. 180