CAPITULO 11 Análisis de Circuitos en Resonancia Teoría de Circuitos I

Introducción Hasta ahora hemos analizado circuitos con fuentes senoidales, cuya frecuencia se mantenía constante. En este capítulo analizaremos el efecto de variación de la frecuencia de la fuente sobre las tensiones y corrientes del circuito. Las impedancias inductivas y capacitivas son función de la/s frecuencia/s de excitación, Así, una elección cuidadosa de dichos elementos nos permitirá construir circuitos selectivos en frecuencia (o filtros), en cuya salida sólo existan componentes de las frecuencias que nos interesan. Filtro: Circuito capaz de eliminar/atenuar determinadas señales de entrada, o componentes de la señal de entrada, en base a si su frecuencia pertenece o no a una banda determinada.

Resonancia de Fase El fenómeno de resonancia de fase aparece en un circuito cuando, a una frecuencia particular, los efectos capacitivos e inductivos se cancelan uno a otro, es decir, las reactancias tienen el mismo valor absoluto, por lo que el circuito se comporta como puramente resistivo. Este hecho puede justificarse como una consecuencia del intercambio de energía entre el campo magnético de las inductancias y el campo eléctrico de los capacitores.

Frecuencia de Resonancia de fase Resonancia de fase de un Circuito Serie Consideremos el siguiente circuito serie RLC. Para esta rama la impe-dancia genérica en función de la frecuencia estará dada por la suma de las impedancias individuales de cada elemento. Así, podemos encontrar una frecuencia 0 para la cual las reactancias seran iguales y opuestas, como: Frecuencia de Resonancia de fase

Curva de reactancia y módulo de Impedancia

Resonancia de fase de un Circuito Serie Si trazamos los diagramas fasoriales correspondientes a los distintos com-portamientos (inductivo, resistivo, ca-pacitivo), veremos que, efectivamen-te, las tensiones en bornes de L o C pueden superar la tensión de alimen-tación !!! I V Resonancia de fase

Curva de Admitancia w0 Módulo de admitancia Ángulo admitancia Desde el punto de vista práctico, casi toda la información importante acerca del comportamiento del circuito en resonancia está contenida en el extremo redondeado de la curva en V (curva impedancia). Por eso es mas útil representar la admitancia, Y = 1 / Z donde se ve claramente el efecto de distintos valores de R. Como Y es pequeña a frecuencias lejanas de la de resonancia, se ha representado con una escala de frecuencias extendida, dejando solo un 10% a cada lado de o. La escala de frecuencias es logaritmica, lo cual simetriza la curva respecto a la recta vertical o. La característica del ángulo de la admitancia es positivo a bajas frecuencias (circuito capacitivo), cero en resonancia (circuito resistivo) y negativo a altas frecuencias (circuito inductivo). Sin pérdida Poca pérdida Sin pérdida Poca pérdida

Ejercicio: En el circuito de la figura: L = 65 H C = 1,56nF R = 5,1  Calcular: a) Frecuencia de resonancia. b) Factor de mérito.

Ejercicio: Para el siguiente circuito obtener: a) Frecuencia de resonancia de fase. b) Factor de mérito.

Expresión general de Z A efecto de facilitar el análisis de las modificaciones de la impedancia en función de la frecuencia, es conveniente modificar la expresión de Z, poniéndola en función de ciertos parámetros: a) Frecuencia de Resonancia b) Desintonización Fraccional Relativa c) Reactancia del inductor a w0 d) Factor de Mérito o Calidad del Inductor

Expresión general de Z Retomando la expresión de Z: Como la desintonización relativa es:

Expresión general de Z Sobre esta expresión surgen distintas aproximaciones posibles.  Considerar la resistencia constante para el rango de frecuencias de análisis (R = R0)  Considerar el valor de la resistencia proporcional a la frecuencia Y si consideramos frecuencias próximas a la de resonancia ( << 1) Audiofrecuencias Radiofrecuencias

Curva Universal de Resonancia Son las curvas de amplitud, parte real y parte imaginaria de la expresión:

Debajo de la resonancia Arriba de la resonancia Componente Total Admitancia o impedancia relativa: Y/Y0 o Z/Z0 Componente Real Componente Imag. Frecuencia (Q0)

Ejercicio: Un circuito serie RLC con Q0 = 250 está en resonancia a 1,5Mhz. Encontrar las frecuencias a las que la potencia activa del circuito resonante es un décimo de la potencia en resonancia, permaneciendo el voltaje de entrada constante. I V = cte Curva Comp. Total

Debajo de la resonancia Arriba de la resonancia Componente Total 0,31 Admitancia o impedancia relativa: Y/Y0 o Z/Z0 Frecuencia (Q0)

Puntos de potencia mitad De las expresiones de las componentes real e imaginaria vemos que las mismas son numéricamente iguales cuando Q0 = ± 1/2. Y reemplazando en la expresión de la componente total: Como la corriente es proporcional a la admitancia, cuando la desinto-nización a partir de la frec. de resonancia es ± 1/2, el valor eficaz de la corriente será menor que el valor eficaz de la corriente en condiciones de resonancia, I < I0 de forma que: Puntos del 70 % de corriente

Puntos de potencia mitad Veremos qué ocurre en función de la potencia: La potencia útil de salida en los puntos del 70 % de corriente, se reduce a un 50 % de la potencia en resonancia. Puntos del 50 % de potencia Q0 Admitancia o impedancia relativa: Y/Y0 o Z/Z0 Q02 Q01

Puntos potencia mitad en circuitos con difrente Q

Ancho de Banda El ancho de banda del circuito resonante es la distancia horizontal entre los puntos de potencia mitad. Fuera del mismo una señal se transmite con menos del 50 % de la potencia máxima. Así: 1/2 -1/2 simbolizamos AB = 1- 2 , y vemos que el parámetro AB muestra la relación entre Q0 y la frecuencia de resonancia 0 de manera tal que si dos circuitos tienen igual frecuencia de resonancia y distintos factores de calidad, Q01< Q02, aquel con mayor factor de calidad tendrá mejor sintonización selectiva (es decir, AB estrecho). Veamos como expresar las frecuencia extremas del ancho de banda en función de parámetros conocidos del circuito:

Variación de la Corriente a partir de variar Q Recordando que:

Simetría de la curva universal de resonancia Se puede "simetrizar " la característica de resonancia mediante una representación en escala logarítmica. Partiendo de la expresión de admitancia de un circuito serie RLC: w Vemos que esta expresión: Es máxima si =0 (frec. alimentación igual a frec. resonancia). A medida que  aumenta o disminuye en forma monótona a partir de 0, la expresión también crece o decrece en forma monótona. Analizando en la expresión del módulo para que valores [ … ] =  1: Q0 Plantear Ráices

Simetría de la curva universal de resonancia Tomando como variable w/w0, las raíces de la ecuación de segundo orden serán, respectivamente: Considerando que las frecuencias 0 < 2 < 0 < 1 , podemos descartar las soluciones con el signo – de ambas ecuaciones. Así: Restando (1) – (2):

Simetría de la curva universal de resonancia Si en cambio multiplicamos (1) y (2): Es decir que, tomando una escala logarítmica de frecuencias, ambas frecuencias quedan ubicadas simétricamente respecto a 0.

Simetría de la curva universal de resonancia Y() R 0,6 R 0,2 R Q = 10 Q = 1 0,5 0 0 1,5 0 (escala aritmética) 0,5 0 0 2 0 (escala log)

Energía en un circuito resonante - Definiciones de Q La energía total almacenada en un circuito resonante puro LC es constante, ya que la energía almacenada en el campo magnético de la bobina varía de cero a máximo y vuelve a cero cada medio ciclo al igual que la energía de campo eléctrico del capacitor. La frecuencia de resonancia es la frecuencia a la que la bobina suministra energía tan rápidamente como el condensador la requiere durante un cuarto de ciclo, y la absorbe tan rápidamente como la descarga el capacitor en el siguiente. Así, en resonancia, el circuito externo solo debe suministrar la energía necesaria para cubrir las pérdidas resultantes de la presencia de una resistencia en el circuito resonante. Es decir, el circuito externo solo suministra la potencia activa necesaria para compensar las pérdidas en la resistencia, por lo que V e I están en fase, y el f.p. es unitario.

Energía en un circuito resonante - Definiciones de Q Si las expresiones de la tensión y la corriente son: La energía en los elementos será: En resonancia La energía total en resonancia será entonces: Como es constante, vemos que el intercambio de energía entre campo magnético y eléctrico se realiza entre los componentes, sin intervención "aparente" de la fuente.

Energía en un circuito resonante - Definiciones de Q La potencia instantánea será: Si la frecuencia es f0, la energía discipada en un ciclo será: El cociente entre la energía almacenada y la energía disipada:

Resonancia de fase en un circuito paralelo La expresión de la admitancia será: Al igual que en la expresión de la impedancia de un circuito serie, habrá algún valor de  para el cual Im{Y}=0. Esta es la frecuencia de resonancia, y su expresión resulta ser: I V

Curva de reactancia y módulo de Admitancia

Factor de Mérito en un circuito paralelo Dado que, según sabemos, el circuito serie RLC y el circuito paralelo GCL son duales, todo el análisis realizado tendiente a la obtención de la curva universal de resonancia es válida, con la sola diferencia de que ahora nos dará información acerca de la relación entre la impedancia a una frecuencia cualquiera y la impedancia a frecuencia de resonancia ( z/z0 ). Con respecto al factor de mérito de un circuito paralelo:

Ejercicio: Datos: R = 10 C = 10F L = 2mH R1 = 20 En el circuito de la figura con “S” abierto, determinar: a) Frecuencia de resonancia wo. b) Impedancia del circuito en resonancia c) Valor que debe tomar R para que le circuito no resuene a ninguna frecuencia. Con “S” cerrado, calcular: a) La o las nuevas frecuencias de resonancia wo. b) Impedancia del circuito en resonancia.

Resonancia Gráfica

Resonancia de Amplitud Para entender el fenómeno de resonancia de amplitud es necesario definir primero las funciones de redes. Función de red: Toda relación entre dos tensiones y/o corrientes complejas, tal como lo son la ganancia en tensión, la impedancia de salida, etc, Propiedad 1: Todas las funciones de redes pueden escribirse como la relación de dos polinomios en jω con coeficientes reales donde los ai (i = 0,1, ... , n) y los bj (j = 0,1, ... , m) son números reales.

Resonancia de Amplitud Propiedad 2: Para todas la funciones de redes, las raíces (valores de jω que hacen cero el polinomio) del numerador y del denominador o son reales o son complejos conjugados. Esto surge del hecho que los coeficientes son reales. Propiedad 3: Para cualquier función H(jω) puede demostrarse que: es una función par de ω, y que el ángulo de H(jω) es una función impar de ω. Una primera definición de frecuencia de resonancia de amplitud será entonces, el valor de la frecuencia ω a la cual la expresión de la función de red | H(jω) | es máxima.

Gráficos de magnitud y fase en función de  El gráfico de respuesta en frecuencia muestra como cambian la amplitud y la fase de H(jω) a medida que varía la frecuencia de la fuente de alimentación. La representación de la respuesta en frecuencia se hace en dos partes: una, la representación de |H(jω)| en función de ω, que se denomina gráfico de amplitud o magnitud, y otra, la representación del argumento H(jω) vs. ω, que se denomina gráfico de fase. PASABAJOS PASAALTOS PASABANDA RECHAZABANDA

Resonancia de Amplitud – Circuito PasaBajos Circuito RC Pasabajos El circuito RC serie de la figura se comporta como un filtro pasabajos, hecho que podemos verificar fácilmente haciendo un análisis cualita-tivo de su comportamiento cuando =0 y ∞.   ∞  = 0 En forma exacta, por divisor resistivo:

Resonancia de Amplitud – Circuito PasaBajos Amplitud RC como pasabajos Fase RC como pasabajos

Resonancia de Amplitud – Circuito PasaBajos Circuito RL Pasabajos Análogamente al estudio realizado anterior-mente, =0 y ∞. vemos que el circuito RL serie de la figura se comporta también como un filtro pasabajos.  = 0   ∞ En forma exacta, por divisor resistivo:

Resonancia de Amplitud – Circuito PasaBajos Amplitud RL como pasabajos Fase RL como pasabajos

Resonancia de Amplitud – Circuito PasaAltos Circuito RC Pasaaltos  = 0   ∞

Resonancia de Amplitud – Circuito PasaAltos Circuito RL Pasaaltos Amplitud R/L Fase

Ejercicio: Vi  H(j) 1 En el siguiente circuito hallar: a) H() b) Frecuencia de resonancia de amplitud (comparar con la de fase) Vi R   H(j) 1 Max(H(j0)) = 1  0L = 1/0C

Demostración por la derivada de H()2

Circuito pasabanda RLC (salida sobre resist.) Según vimos en el ejemplo anterior el circuito RLC serie con salida sobre la resistencia funciona como pasabanda. jL 1/C

Circuito pasabanda RLC (salida sobre resist.) A contiuación se muestra como varia la gráfica del módulo de la función transferencia a partir de variar R. Aumentando R

Circuito pasabanda RLC (salida sobre resist.) A contiuación se muestra como varia la gráfica de la fase de la función transferencia a partir de variar R. Aumentando R

Circuito pasabanda RLC (salida sobre capacit.) jL 1/jC Ojo ! Las bajas frecuencias también pasan

Circuito pasabanda RLC (salida sobre capacit.) A contiuación se muestra como para los mismos valores del caso salida sobre la resistencia 0 es menor.

Circuito pasabanda RLC (salida sobre capacit.)

Justificación de la resonancia: ubicación de las raíces

Ejercicio: En el siguiente circuito hallar: a) H() = V2() / V1() b) Frecuencia de resonancia de amplitud (comparar con la de fase) c) Analizar el comportamiento en alta y baja frecuencia y justificar de qué tipo de filtro se trata d) Obtener las frecuencias de corte

Evolución temporal para distintos x

Modulo de H con salida sobre C, R y L

Circuito eliminador de banda