Clase N°13 Comparación de configuraciones alternativas de un sistema ICS3723 Simulación Profesor Pedro Gazmuri

Comparación de configuraciones alternativas de un sistema Comparación entre 2 sistemas Comparación entre más de 2 sistemas Comparación contra un estándar Comparación entre todos los pares de alternativas Selección del mejor de k sistemas Uso de números aleatorios comunes en la selección del mejor de k sistemas Otras alternativas Subset selection Fully sequential procedure

1. Comparación entre 2 sistemas Simulación terminal: n réplicas en el sistema: Las réplicas son independientes entre sí, luego son Z1, Z2,…, Zn i.i.d. Definimos: Corrección: fórmula de la varianza

1. Comparación entre 2 sistemas Intervalo de Student: El criterio que se usa es que si el intervalo de confianza no contiene el 0, los dos sistemas difieren entre sí. También podemos usar números aleatorios comunes para disminuir varianza.

1. Comparación entre 2 sistemas Largo plazo: podemos usar: Replication/Deletion. Batch Means o Ciclos de Regeneración.

2. Comparación entre más de 2 sistemas Comparación contra un estándar Tenemos k sistemas: 1,2,…,k. Supongamos que el sistema 1 es el estándar. Supongamos que los valores esperados de las medidas de desempeño son μ1, μ2,…, μk.

2. Comparación entre más de 2 sistemas Comparación contra un estándar Debemos construir k – 1 intervalos de confianza para: Debemos usar la desigualdad de Bonferroni. El criterio nuevamente es que, si el intervalo no contiene al 0, la alternativa difiere del estándar.

EJEMPLO: POLÍTICA DE INVENTARIO Una compañía mantiene inventario de un producto; tiempos entre llegadas de demandas son v.a.i.i.d. exponenciales con media de 0.1 mes. Cada demanda es aleatoria con valores posibles: 1,2,3,4 con probabildiades1/6,1/3,1/3, 1/6. Al principio e cada mes, la compañía revisa el inventario y utiliza un política de reposición tipo (s,S). Si pone una orden de tamaño X, incurre en un costo de $32+$3X. Si se pone una orden, el lead time es una v.a. uniforme entre 0.5 y 1 mes. Se acepta la posibilidad de tener venta pendiente, que se satisface con las órdenes posteriores.

EJEMPLO: POLÍTICA DE INVENTARIO Existe un costo de mantener inventario de $1 por cada item por mes, y un costo por cada demanda pendiente de $5 por item por mes Se desea simular este sistema de inventario en un horizonte de 120 meses; inicialmente el inventario es 60; se desea estimar el costo promedio por mes Se desea comparar 4 políticas contra un estándar; la política estándar es (20,40). Se hicieron 5 réplicas independientes, se deseaba un nivel de significancia conjunta de 90%, por lo cual cada intervalo se construyó al 97.5 %

EJEMPLO: POLÍTICA DE INVENTARIO s S 1 20 40 2 80 3 60 4 100 5

EJEMPLO: POLÍTICA DE INVENTARIO Costo promedio mensual , 5 réplicas, para c/u de las políticas j X1j X2j X3j X4j X5j 1 126.97 118.21 120.77 131.64 141.09 2 124.31 120.22 129.32 137.07 143.86 3 126.68 122.45 120.61 129.91 144.30 4 122.66 122.68 123.65 129.97 141.72 5 127.23 119.40 127.34 131.08 142.61 Media 125.57 120.59 124.34 131.93 142.72 DV 2.00 1.94 3.90 2.96 1.37

EJEMPLO: POLÍTICA DE INVENTARIO Intervalos de confianza para las comparaciones de a pares i Xi -X1 ½ intervalo Intervalo 2 -4.98 5.45 (-10.44;0.48) 3 -1.23 7.58 (-8.80;6.34) 4 6.36 6.08 (0.27;12.46)* 5 17.15 3.67 (13.48;20.81)*

2. Comparación entre más de 2 sistemas Comparación entre todos los pares de alternativas En este caso hay que construir k(k – 1)/2 intervalos de confianza. Esto aplica cuando se quiere detectar cuáles son los sistemas significativamente distintos entre sí. También hay que acordarse de Bonferroni.

3. Selección del mejor de k sistemas Xij: valor de la réplica j en el sistema i; j = 1,…,n; i = 1,…,k. Definimos μi = E(Xij). Se supone que las réplicas de un sistema son independientes entre sí e independientes de las réplicas de los otros sistemas. Esto puede modificarse más adelante.

3. Selección del mejor de k sistemas Sea el l-ésimo menor valor de μ1, μ2,…, μk; es decir: Suponemos que es el mejor sistema. Pero nunca podemos estar totalmente seguros de hacer la selección correcta. Lo que se hace es especificar una probabilidad de hacer una selección correcta.

3. Selección del mejor de k sistemas Si por ejemplo, está muy cerca de no nos debería importar mucho que seleccionáramos i1 en lugar de i2. Se definen dos parámetros: P* y d*. El método que describiremos permite asegurar que con una probabilidad de al menos P*, el valor esperado de la medida de desempeño del sistema seleccionado será .

3. Selección del mejor de k sistemas El método consiste en 2 etapas: Se hacen n0 réplicas de cada sistema. Obtenemos media y varianza de cada uno: Corrección: promedio en la fórmula de la varianza

3. Selección del mejor de k sistemas Se calcula el número Ni – n0 de réplicas adicionales requeridas para el sistema i, i = 1,…,k. Ni se obtiene a partir de una fórmula que se explicita más adelante. Se obtiene: Media final:

3. Selección del mejor de k sistemas Wi1,Wi2 son dos pesos relativos tales que: Se selecciona el sistema con el menor valor de [x] es el mayor entero ≤ x.

3. Selección del mejor de k sistemas El valor de h1 se obtiene de una tabla: P* n₀ k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 0.90 20 1.896 2.342 2.583 2.747 2.870 2.969 40 1.852 2.283 2.514 2.669 2.785 2.878 0.95 2.453 2.872 3.101 3.258 3.377 3.472 2.386 2.789 3.003 3.150 3.260 3.349

4. Uso de números aleatorios comunes para la selección del mejor de k sistemas Estos números inducen dependencia en el output y luego hay que usar Bonferroni. Aunque no construiremos un intervalo de confianza en forma explícita. El procedimiento es el siguiente…

4. Uso de números aleatorios comunes para la selección del mejor de k sistemas Especificar ω, α y n0 (ω juega el rol de d*). Tomar muestras i.i.d. para los k sistemas usando CRN a través de los sistemas. Calcular las estimaciones muestrales de las varianzas de las diferencias entre diseños: media muestral para el diseño i. Corrección: “varianzas las” por “varianzas de”

4. Uso de números aleatorios comunes para la selección del mejor de k sistemas Calcular el número final de réplicas Tomar las N – n0 réplicas adicionales usando CRN a través de los sistemas. Calcular las medias muestrales finales: Seleccionar el sistema con menor valor de . El proceso garantiza que con probabilidad 1 – α se hace la selección correcta.

5. Otras alternativas Subset selection: Fully sequential procedure: Se selecciona primero un subconjunto de m de las k alternativas iniciales (las otras se descartan). Luego se busca la mejor de entre las m alternativas. Fully sequential procedure: Se hace una réplica a la vez y se van descartando diseños en base a la información acumulada.