LA MULTIPLICACIÓN

¿Qué enseño primero: la cuenta de multiplicar o los problemas de aplicación ?

ACTIVIDAD Nº 1

DE LA ADICIÓN A LA MULTIPLICACIÓN Diferentes caminos…. Calcular cuántas figuritas hay en 8 paquetes si en cada paquete hay 4 figuritas. Los chicos no tienen una estrategia experta , pero pueden generar una respuesta 5

Se espera con este tipo de problemas que los niños: - reconozcan puntos de contacto con la suma y a la vez, que establezcan diferencias : -se suma muchas veces el mismo número; no hay que sumar dos números diferentes-. -El 8 te dice cuántas veces sumar- . avancen en la comprensión de los enunciados y en las estrategias de resolución.

Calcular cuántas figuritas hay en 5 paquetes si en cada paquete hay 11 figuritas. Con este tipo de problemas se espera que algunos niños puedan empezar a pensar: « si los paquetes fueran de 10, haría 10,20,30,40 y 50 y 5 más son 55 «.

En el campo de problemas multiplicativos encontramos según G En el campo de problemas multiplicativos encontramos según G.Vergnaud problemas en Un espacio de medidas Dos espacios de medidas Tres espacios de medidas

UN SOLO ESPACIO DE MEDIDAS Andrés tiene 4 caramelos y Juan tiene el triple. ¿Cuántos caramelos tiene Juan? Andrés 4 Juan 12 x 3 Un espacio de medida: caramelos Relación entre dos cantidades: 4 y 12 ( medida en caramelos) Operador – escalar: 3 B1 X ..... B2  

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DOS ESPACIOS DE MEDIDAS PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD Relación entre series de cantidades organizadas en tablas ¿Cuánto tendré que pagar por 4 ramos de flores si cada uno cuesta $3? Ramos de flores Dinero ($) 1 3 4 x= 3.4 Dos espacio de medidas: flores – dinero Cuatro cantidades: 1 y 4 ( del espacio de medida: flores) 3 y x= 12 (del otro espacio de medida: dinero)

Por donde empezar…. Construcción colectiva de cuadros a partir de las relaciones de proporcionalidad entre ciertos elementos: Bicicletas Ruedas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 Triciclos Ruedas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 18 21 24 27 30 11

TABLAS PARA COMPLETAR Y CONSULTAR Completá las siguientes tablas:

Tablas y cálculos 1)¿Cuáles de las multiplicaciones que siguen se pueden resolver usando esta tabla? 2) Resolvé estos problemas. Podés usar los resultados de las tablas . Cada linterna lleva 2 pilas. ¿Cuántas pilas hay que comprar para 6 linternas iguales? En cada carpa pueden dormir 4 personas. ¿Cuántas personas pueden dormir en 7 carpas iguales?

TRES ESPACIOS DE MEDIDAS PROBLEMAS DE ORGANIZACIONES RECTANGULARES Las cantidades se presentan organizadas en filas y columnas Este es el piso rectangular de un patio. ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo el piso? 6 baldosas por fila x 4 baldosas por columna = 24 baldosas Dos espacio de medidas se combinan para dar lugar a un tercer espacio

PROBLEMAS DE FILAS Y COLUMNAS ¿Cuántos ravioles trae cada plancha? ¿Cuántos huevos hay en el cartón?

¿Cuántos casilleros tiene un tablero de ajedrez ¿Cuántos casilleros tiene un tablero de ajedrez? ¿Cuántas baldosas hay en la figura? Y en este piso donde sólo se ve las baldosas de los bordes?

¿Cómo harían para averiguar cuántos cuadraditos de colores tiene el cubo mágico, sin contarlos?

¿Es cierto que hay la misma cantidad de huevos?

¿Cuántos paquetes de 6 huevos se pueden preparar con esta plancha ¿Cuántos paquetes de 6 huevos se pueden preparar con esta plancha? y con este cartón, ¿cuántos paquetes de 6 huevos puede prepararse?

PROBLEMAS DE COMBINATORIA Determinar la cantidad que resulta de combinar elementos de distintas colecciones por medio de diversas estrategias Si Natalia tiene una bufanda blanca, otra azul y otra celeste y un par de guantes blanco y otro par azul, ¿ de cuántas maneras diferentes puede combinarlos? Bufanda blanca Guantes blanco Bufanda Celeste Guantes azul Bufanda azul bufanda Celeste bufanda azul bufanda blanca bufanda guante 3 bufandas x 2 pares de guantes = 6 combinaciones

DIAGRAMA DE ÁRBOL Bufanda blanca Guante blanco + Bufanda azul Bufanda celeste Guante blanco Guante azul 3 + 6 2 + 2 + 2 = 6 3 pares de bufandas x 2 guantes = 6 combinaciones

¿Cuántos licuados diferentes se pueden preparar usando una sola fruta?

En una repostería se ofrecen distintos tipos de tortas En una repostería se ofrecen distintos tipos de tortas. Pueden ser de vainilla, chocolate o coco, Y se les puede agregar una capa de dulce de leche, una de crema o no ponerles nada. ¿Cuántas tortas distintas se pueden preparar?

Manuel trabaja en un quiosco Manuel trabaja en un quiosco. Cada día puede retirar un producto salado, otro dulce y algo para beber, Si no quiere comer siempre lo mismo, ¿cuántas posibilidades distintas tiene? Dulce: Alfajor Chocolate caramelos Salado: Empanada Pancho sándwich Bebida: jugo Gaseosa

En la revista hay una variada cantidad de problemas del campo multiplicativo.

¿CÓMO Y CUÁNDO TRABAJAR LOS PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN EN EL PRIMER CICLO? 1° 2° 3° Resolución de problemas que involucran series proporcionales y organizaciones rectangulares mediante diferentes procedimientos: dibujos, conteo, sumas reiteradas, etc. Explicitación y comparación de las estrategias utilizadas Resolución de problemas correspondientes a diferentes significados de la multiplicación (series proporcionales, organizaciones rectangulares, combinatoria) por medio de variados procedimientos inicialmente y luego por medio de escrituras multiplicativas. Interpretación de los significados y usos de la multiplicación con números naturales, elaborando e implementando estrategias de cálculo en forma exacta y aproximada, produciendo y resolviendo situaciones problemáticas.

MEMORIZACIÓN DE RESULTADOS «Hay que aprender las tablas porque es importante para que los niños puedan resolver las cuentas» 2 x 4 2 x 5 «No hay que enseñar las tablas de memoria porque es un aprendizaje mecánico sin sentido»

Reconocer algunas propiedades….

MULTIPLICACIONES POR 10 Y POR 100 En una librería se venden cajas de 10 lápices cada una. ¿Cuántos lápices llevarías si compraras más cajas?. Completá la tabla. Encontrá una manera de saber el resultado de estas multiplicaciones. Podés controlar los resultados usando la calculadora. Cantidad de cajas 1 2 3 4 5 6 Cantidad de lápices 10 4 x 10 = 5 x 10 = 7 x 10 = 9 x 10 = 4 x 100 = 5 x 100 = 7 x 100 = 9 x 100 =

¿CÓMO COMPLETAR LA TABLA? LA TABLA PITAGÓRICA ¿CÓMO COMPLETAR LA TABLA?

En este cuadro están escritos los resultados de algunas multiplicaciones por 2 y por 3 en las columnas respectivas Si averiguan el doble de todos los números de la columna del 2, ¿es cierto que obtienen todos los resultados de la columna del 4?.Escriban los números de la columna del 4. 2) ¿Es cierto que los números de la columna del 9 son el triple que los resultados de la columna del 3? Escriban los números de la columna del 9. 3) Si multiplican por 4 los números de la columna del 2, obtienen los resultados de otra columna. ¿De cuál se trata? . Ubíquenlos. 4) Completen las filas del 5 y del 10. 5) Completen la columna del 6. Pueden usar los resultados de las columnas del 2 y del 3. 31

HACIA UN REPERTORIO MULTIPLICATIVO COMPLETA ESTAS TABLAS SIN MIRAR LA PITAGÓRICA

¿CÓMO Y CUÁNDO TRABAJAR LA MULTIPLICACIÓN COMO CÁLCULO EN EL PRIMER CICLO? 1° 2° 3° Estimación e interpretación de resultados de cálculos en forma mental, por escrito y con uso de calculadora, comprobando su razonabilidad y justificando los procedimientos empleados Investigación de regularidades y propiedades de una colección de productos organizados en tablas y cuadros con la finalidad de ser reutilizados en otros problemas y posteriormente memorizados. Dominio progresivo de variados recursos de cálculo que permitan realizar multiplicaciones. Utilización de resultados numéricos conocidos (multiplicación seguida de ceros y productos de la tabla pitagórica) y de las propiedades de los números y las operaciones (diferentes escrituras) para resolver otros cálculos. Elaboración de distintas estrategias de cálculo aproximado para resolver problemas en los cuales no sea necesario un cálculo exacto. Investigación y reconstrucción del algoritmo de la multiplicación a partir de los recursos elaborados por los alumnos para realizar cálculos mentales.

Trabajamos la resolución de problemas… Discutimos procedimientos.. Mis alumnos utilizan intuitivamente la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma… Analizamos recurso de cálculos para obtener resultados de los productos.. Multiplican por la unidad seguida de ceros!!!

….ES HORA DE COMENZAR A TRABAJAR CON EL ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIÓN!!!!

DE LOS DISTINTOS PROCEDIMIENTOS AL ALGORITMO CONVENCIONAL Las actividades de los alumnos

DE LOS DISTINTOS PROCEDIMIENTOS AL ALGORITMO CONVENCIONAL La puesta en común

¿QUÉ SIGNIFICA APRENDER A DIVIDIR? 1º MOMENTO ¿QUÉ SIGNIFICA APRENDER A DIVIDIR? LA DIVISIÓN EN EL 1º CICLO

Elaborar y dominar recursos de obtención de resultados Elaborar y dominar recursos de obtención de resultados. (entre ellos el algoritmo). Aprender a reconocer cuáles son los problemas que se pueden resolver utilizando la división y cuáles no. Reconocer las relaciones que se pueden establecer entre la división y las demás operaciones aritméticas: suma, resta y multiplicación. Reconocer cuáles son las propiedades que verifica. Poder validar los resultados obtenidos. Usar distintos tipos de representaciones.

APRENDER A DIVIDIR NO SE REDUCE A APRENDER EL ALGORITMO. EL ALGORITMO NO ES EL CONOCIMIENTO CENTRAL DE ESTE APRENDIZAJE.

¿CUÁNDO SE DEBE INICIAR EL ESTUDIO DE LA DIVISIÓN? Se puede comenzar a trabajar con la división desde primer grado, haciendo uso de variedad de estrategias de resolución. Un Sr. Tiene 8 caramelos y se los da a dos niños. ¿Cuántos les da a cada uno? Es importante que los maestros vean que los chicos pueden decir 4 a cada uno o bien responder que le dará 5 a uno y 3 al otro. En este último caso, los niños podrían comentar que sería injusto, entonces proponer volver a redactar el problema para evitar esto. Lo importante es el registro que hagan los alumnos en los cuadernos. (Broitman, Itzcovich, 2001) 41

¿ EMPEZAR A TRABAJAR CON LA DIVISIÓN? El estudio sistemático de la división puede iniciarse a fines de segundo grado, y desarrollarse a lo largo de tercero e incluso cuarto grado. ¿ EMPEZAR A TRABAJAR CON LA DIVISIÓN?

Para iniciar este estudio se puede plantear problemas de división sin haberles enseñado a resolverlos. Los alumnos recurrirán a sus conocimientos previos para hacerlo, es decir, a sus conocimientos de suma, resta y multiplicación.

Las latas de gaseosas se pueden reciclar Las latas de gaseosas se pueden reciclar. Por ello, algunas escuelas hacen campañas para juntarlas. En la escuela de Tomás recogieron latas de gaseosas para enviarlas a reciclar. Los chicos juntaron 75 latas. Para mandarlas, las colocaron en cajas de 25 latas cada una. ¿Cuántas pudieron llenar?

- - - Resolver con restas 75 50 25 25 25 25 50 25 0 ¿Cómo saber cuándo parar? ¿Hasta cuando seguir restando? Resolver con restas 75 50 25 25 25 25 50 25 0 - - - ¿Cuándo detener la suma? Resolver con sumas 25 + 25 + 25 = 75 ¿Cómo y dónde leer el resultado? ¿Cómo obtener el resultado? Resolver con restas: Los niños podrían seguir restando hasta obtener 0 como resultado (no sobran latas) , o bien hasta obtener un número menor a 25, ya que no podrían llenar otra caja. Convenir que el resultado de los cálculos no coincide con la respuesta al problema. La respuesta al problema exige una interpretación de los cálculos realizados. (Parra – Saiz, 2007) Resolver con sumas: Habrá que controlar que la suma de 25 no supere la cantidad total de latas disponibles (75). Otra vez el resultado no aparece escrito. Resolver con multiplicaciones Si hay 25 latas en cada caja, para llenar 2 cajas, se necesitan 50 latas y para 3 se ocuparán 75 latas. Es el camino menos probable. Para recurrir a él, los alumnos deben haber desarrollado suficientemente los conocimientos multiplicativos. 45

ACTIVIDAD Nº 2

PROBLEMAS QUE INVITAN A LA DIVISIÓN 1º MOMENTO ¿QUÉ SIGNIFICA APRENDER A DIVIDIR? PROBLEMAS QUE INVITAN A LA DIVISIÓN

REPARTO Y PARTICIÓN Mariana tiene 24 caramelos y quiere darle 4 a cada uno de sus amigos. ¿A cuántos amigos podrá darles? María tiene 18 revistas y quiere repartirlas en partes iguales entre sus tres amigos. ¿Cuántas les dará a cada uno?

REPARTOS EQUITATIVOS Y NO EQUITATIVOS Marcela tiene 16 chupetines y quiere dárselos a sus 4 hijos. ¿Cuántos le dará a cada uno? Para la biblioteca del aula juntamos 15 libros. Tenemos que acomodarlos en 5 estantes y que en todos los estantes haya la misma cantidad de libros. ¿Cuántos libros pondremos en cada uno?

PROCEDIMIENTOS POSIBLES DE RESOLUCIÓN

CANTIDADES CONTINUAS Y DISCRETAS Lucas tiene 18 lápices y quiere repartirlos entre 4 amigos en partes iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad de lápices que puede darle a cada uno? Martín tiene 18 alfajores y quiere repartirlos entre sus 4 amigos en partes iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad de alfajores que puede darle a cada uno?

CONSIDERACIÓN DEL RESTO Se deben transportar 17 personas en autos alquilados. En cada uno sólo pueden entrar 4 personas. ¿Cuántos autos son necesarios alquilar?

LOS DE PROPORCIONALIDAD Compré 4 cuadernos iguales y todos me costaron $12. ¿Cuál es el precio de cada cuaderno?

LOS DE DISTRIBUCIONES RECTANGULARES Tengo 17 baldosas para armar un patio rectangular. Si pongo 3 baldosas en cada fila. ¿Cuántas filas puedo armar? ¿Sobran baldosas? ¿Cuántas?

PROCEDIMIENTOS POSIBLES DE RESOLUCIÓN

OTROS BUENOS PROBLEMAS ¿Cuántas cajas con capacidad para 6 bombones cada una pueden llenarse completamente con 40 bombones? ¿Cuántas cajas de media docena se necesitan para acomodar 55 bombones?. Si las cajas fueran para una docena..¿Cuántas necesitaría? En la panadería envasan los panes para panchos de a 6 por bolsita. ¿Cuántas bolsitas necesitaría para envasar 60 panes? ¿Y 120 panes? En la panadería cocinaron 96 facturas repartidas en 6 bandejas iguales. ¿Cuántas facturas acomodaron en cada una de las bandejas?