P y E 2014 Clase 4Gonzalo Perera1 Repaso de clase anterior Probabilidad condicional, independencia de sucesos. Distribución Binomial e Hipergeométrica

P y E 2014 Clase 4Gonzalo Perera2 Observación muy importante: La distribución Binomial corresponde a contar el número de “éxitos” en n intentos independientes de un suceso de probabilidad p. La Hipergeométrica corresponde a contar también éxitos, pero los intentos ya no son independientes.

P y E 2014 Clase 4Gonzalo Perera3 Presentaremos ahora una nueva distribución que aparece en determinaciones de tamaño muestral y que será el primer ejemplo de una distribución que puede tomar una cantidad infinita de valores: la distribución Binomial Negativa. Problema: en una prospección minera, se desea determinar cuántas excavaciones (cuya ubicación se elige al azar dentro del área de estudio ) deben realizarse para conseguir m muestras de un determinado mineral, sabiendo que: *una proporción p de las excavaciones realizadas son exitosas y obtienen muestras del mineral *el hecho de tener éxito o no en cada excavación es completamente aleatorio.

P y E 2014 Clase 4Gonzalo Perera4 Nos quieren contratar para esa tarea, que debemos presupuestar. A priori, es impredecible cuál es el número de excavaciones que debemos realizar (X) pues es aleatorio, depende de qué tanta “suerte” tengamos al excavar. Suponiendo que cada excavación cuesta 1000 dólares, se desea determinar la suma que debemos cobrar por el trabajo para que, con alta probabilidad (95%, por ejemplo) la suma cobrada sea suficiente y no debamos pagar excavaciones de nuestro propio bolsillo.

P y E 2014 Clase 4Gonzalo Perera5 Es decir:  si nos contratan por un presupuesto determinado y esa plata sobra (o al menos alcanza) para pagar las excavaciones necesarias para encontrar las m muestras de mineral, nos habrá salido bien el negocio;  si esa plata no alcanzara, al habernos comprometido a encontrar las m muestras de mineral deberíamos cubrir excavaciones por nuestra cuenta. Por otra parte, como es obvio, no podemos dar un presupuesto “inflado”, disparatadamente caro, pues podríamos perder el contrato.

P y E 2014 Clase 4Gonzalo Perera6 Observar que X puede tomar cualquier valor entero a partir de m (por lo que tiene infinitos valores posibles), ya que a priori, uno podría tener muchísima mala suerte y necesitar una enorme cantidad de excavaciones para hallar m muestras de mineral. Si m=1, entonces es fácil verificar que para cualquier k entero positivo Una tal X ( en algunos libros, X-1) se dice que tiene distribución Geométrica de parámetro p. P(X=k) = p (1-p) k-1

P y E 2014 Clase 4Gonzalo Perera7 En el caso general puede verse que Una tal X ( en algunos libros, X-1) se dice que tiene distribución Binomial Negativa (o de Pascal) de parámetros m y p. (El caso particular m=1 corresponde a la Geométrica) P(X=k) = C m-1 k-1 p m (1-p) k-m

P y E 2014 Clase 4Gonzalo Perera8 ¿Por qué se llama “Binomial Negativa”? Porque “funciona al revés” que la Binomial: En la Binomial se cuentan cuántos éxitos se obtienen en una muestra de tamaño dado y aquí se cuenta cuánto tiene que ser la muestra para lograr una cantidad dada de éxitos.

P y E 2014 Clase 4Gonzalo Perera9 Calculemos ahora nuestro presupuesto El costo es 1000 X dólares, con X una Binomial negativa de parámetros m y p. Si calculamos el menor t que cumpla Entonces con más de 95% de probabilidad el costo de las excavaciones será menor o igual a 1000 t y 1000t es el presupuesto que debemos dar. Veamos entonces en la gráfica el cálculo en el ejemplo concreto en que m=5, p=0.30 P(X ≤ t) ≥ 0.95

P y E 2014 Clase 4Gonzalo Perera10 Resulta t=28 y por lo tanto nuestro presupuesto es de: dólares

P y E 2014 Clase 4Gonzalo Perera11 Nos contratan y hacemos las excavaciones... vemos qué tal nos va??? (“E” indica éxito, “F”, fracaso) O sea que cumplimos el contrato y ganamos 1000 dólares.

P y E 2014 Clase 4Gonzalo Perera12 En otra ocasión, bajo las mismas condiciones, tuvimos mucha más suerte: Ganamos dólares!! El resultado concreto es impredecible, pero ésta estrategia nos asegura que en la mayor parte de las veces que hagamos el trabajo (más del 95% de las veces) saldremos ganando. Más adelante (al llegar a Valor Esperado) veremos que se puede predecir la ganancia media que nos deja esta estrategia. ExcavaciónResultadoCostoCosto acumulado 1E1000 2F F E F E F F E F F F E