P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera1 Repaso de la clase anterior. Métodos de estimación.

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera2 5. El Teorema Central del Límite. Para una variable X con valor esperado finito, su varianza es Var(X) = E{(X-E(X)) 2 } = E(X 2 )-(E(X) 2 ) La varianza es una medida de dispersión.

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera3 En efecto, una aplicación de la Ley Fuerte de los Grandes Números muestra que si X 1,..., X n iid con varianza finita σ 2, entonces, si  X n = (X X n )/n, σ 2 n = ((X 1 -  X n ) (X n -  X n ) 2 ) / n, se tiene que, para n tendiendo a infinito, σ 2 n tiende a σ 2.

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera4 Observaciones a partir de las propiedades de esperanza y varianza. a) Si X1,..., Xn iid con esperanza μ y varianza finita σ 2, entonces, si  X n = (X X n ) / n, Se tiene que: E(  X n ) = μ, Var(  X n ) = σ 2 /n.

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera5 Observaciones a partir de las propiedades de esperanza y varianza. b) Si X VA con varianza positiva y finita y Z=(X-E(X))( Var(X)(-1/2) ), entonces E(Z)=0, Var(Z)=1 (Pero, obviamente Z puede no tener nada que ver con la N(0,1)!!)

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera6 Lo que dice el Teorema Central del Límite (TCL) es que: Si X1,..., Xn iid con esperanza μ y varianza finita σ 2, y si  X n = (X X n )/n, entonces, para n grande, la distribución de √n (  X n - μ)/ σ se puede aproximar por una N(0,1).

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera7 Ejemplo: tomemos X 1,..., X 12 iid con distribución U[0,1], en las que (verificarlo como ejercicio!) μ=1/2 y σ2=1/12, por lo que √n (  X n - μ)/ σ= X X 12 – 6 y comparemos las probabilidades empíricas (frecuencias) con las de la N(0,1)

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera8 Es decir, tomamos muchas muestras de 12 datos iid con distribución U[0,1], en cada una de ellas calculamos √n (  X n - μ) / σ y nos fijamos con qué frecuencia obtenemos valores dentro de determinados intervalos, comparando estas frecuencias con las probabilidades que la N(0,1) asigna a dichos intervalos.

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera9 Obtenemos la siguiente comparación: Hay una muy marcada coincidencia!!

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera10 Primera utilidad del TCL (aproximación de algunas distribuciones conocidas ). En el cálculo realizado del IdC para el parámetro p de una Binomial, se usó el siguiente resultado: Si X 1,...,X n iid con distribución Ber(p), entonces para n grande, la distribución de √n (M n - p) se aproxima a una N(0, p(1-p)). Teniendo en cuenta que X X n tiene distribución Bin(n,p) y que M n =(X X n )/n, se deduce entonces la siguiente aproximación: Si n grande y p no muy pequeño y no muy cercano a 1, la distribución Bin(n,p) se puede aproximar por una N(np,np(1-p))

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera11 Observación: Al aproximar una distribución discreta por una continua (en el caso, la Binomial por la gaussiana) se tiene el problema que para la continua los puntos tienen probabilidad cero, por lo que si se aproxima la probabilidad de cualquier valor particular, la aproximación sería cero!!! La corrección por continuidad indica como subsanar este inconveniente: Si por ejemplo se tiene una VA X con distribución Bin(n,p) y se desea aproximar P(X=k), observando que P(X=k)= P(k-1/2 < X  k+1/2), la corrección por continuidad consiste en aproximar ésta última probabilidad por la gaussiana y utilizarlo como aproximación de P(X=k).

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera12 Veamos ahora qué tan buena es la aproximación gaussiana a la Binomial, en un sencillo ejemplo. * Lanzamos un dado equilibrado 30 veces de manera independiente, y contamos el número de veces que sale el seis: esta VA obviamente responde a una distribución Bin(30, 1/6). Primero observamos la frecuencia de cada uno de los resultados posibles (0, 1, 2,...., 30) en la realización de 5000 series de 30 lanzamientos independientes de un dado equilibrado (estos experimentos fueron en realidad simulados, utilizando el llamado método de Monte Carlo que veremos un poco más adelante); a estas estimaciones a partir de los experimentos referimos como “distribución empírica”. Y por otro lado calculamos las mismas probabilidades a partir de la N(5, 25/6).

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera13 La siguiente gráfica muestra la anterior comparación. Se observa una razonable concordancia.

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera14 Comparemos ahora el cálculo exacto de las probabilidades de los diversos resultados a partir de la Bin(30, 1/6) con la aproximación gaussiana. Dan valores muy similares!

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera15 Finalmente grafiquemos la función de distribución de la Bin(30,1/6) y la de la gaussiana aproximante N(5, 25/6).

P y E 2012 Clase 15Gonzalo Perera16 Otras distribuciones conocidas como la Poisson, la Binomial Negativa y la Chi- cuadrado pueden ser aproximadas por gaussianas en ciertas condiciones. Referimos al texto por los detalles al respecto.