APLICACIÓN A LA DERIVADA Daniela Gómez Meza 2142892
Ejercicio La manecilla de los minutos de un reloj mide 8mm de largo y la manecilla de las horas mide 4 mm de largo. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre las puntas de las manecillas cuando es la 1 de la tarde?
Antes de empezar pon tu calculadora en Radianes. Advertencia Antes de empezar pon tu calculadora en Radianes. Solución: Z 1. Aplicamos “Ley del coseno” 8 mm Y 𝜃 X 𝒁 𝟐 = 𝒀 𝟐 + 𝑿 𝟐 −𝟐 𝑿𝒀 .𝒄𝒐𝒔(𝜽) 4 mm
𝒅𝜽 𝒅𝒕 = ? 𝒁 = ? 1. Aplicamos “Ley del coseno” 2. Reemplazamos: 8 mm 𝑍 2 = 𝑌 2 + 𝑋 2 −2 𝑋𝑌 .𝑐𝑜𝑠 𝜃 2. Reemplazamos: 𝑍 2 =64+16−2 8.4 .𝑐𝑜𝑠 𝜃 Y 𝜃 X 4 mm 𝑍 2 =80−64.𝑐𝑜𝑠 𝜃 3. Derivamos: 2Z 𝑑𝑍 𝑑𝑡 = -64.(-sen𝜃). 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑍 𝑑𝑡 = 64.sen𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2𝑍 = 𝑑𝑍 𝑑𝑡 = 32.𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑍 Encontramos dos incógnitas en nuestra expresión: 𝒅𝜽 𝒅𝒕 = ? 𝒁 = ?
4. Hallamos Z: Al hacer “Ley del coseno” obtuvimos que: Hay que tener en cuenta que: 1 HORA 𝑍 2 =80−64.𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝜃 = 360° 12 = 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝜃 = 360° 12 =30°= 𝜋 6 𝑅𝑎𝑑 Así que cuando es la 1 de la tarde: 𝑍 2 =80−64. cos 𝜋 6 Z =𝟒, 𝟗𝟓 𝒎𝒎
dθ dt Significa “cambio de ángulo” es decir: 5. Hallamos 𝒅𝜽 𝒅𝒕 : dθ dt Significa “cambio de ángulo” es decir: Planteamos un plano cartesiano. 2. Corremos el ángulo guardando la misma distancia para su mayor comprensión en el plano cartesiano. θ
θ = 𝛼 −𝛽 dθ dt = d𝛼 dt − d𝛽 dt dθ dt = 360° 1 ℎ𝑟 − 360° 12 ℎ𝑟
6. Reemplazamos en nuestra expresión: Ya encontramos las dos incógnitas que necesitábamos: 𝐝𝜽 𝒅𝒕 = 11𝜋 6 𝑅𝑎𝑑/ℎ 6. Reemplazamos en nuestra expresión: Z =4, 95 𝑚𝑚 𝑑𝑍 𝑑𝑡 = 32.𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑍 𝑑𝑍 𝑑𝑡 = 32×𝑠𝑒𝑛 𝜋 6 × 11𝜋 6 4, 95 𝑑𝑍 𝑑𝑡 =18,6 𝑚𝑚/ℎ
Respuesta: La distancia entre las puntas de las manecillas del reloj cambia a razón de 18,6 𝑚𝑚/ℎ cuando es la 1 de la tarde.