MOVIMIENTO SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA Grupo 9 Cuéllar Aguilar Juan Manuel

Movimiento sobre una superficie parabólica En el proyecto se describirá el movimiento de una partícula de masa m, que parte del reposo desde la posición x0 y se desliza a lo largo de una superficie parabólica en posición vertical cuya ecuación es y=ax2/2.

Ecuaciones del movimiento Las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando se encuentra en la posición x, moviéndose hacia la derecha son: El peso, mg La reacción de la superficie, N La fuerza de rozamiento, Fr=μN, siendo μ el coeficiente de rozamiento Cuando la partícula en el instante t, se encuentra en la posición x, el vector velocidad v (cuya dirección es tangente a la trayectoria) forma un ángulo θ con el eje X.

Movimiento hacia la derecha La partícula inicialmente en reposo, parte de la posición x0, y se moverá hacia la derecha si la componente tangencial del peso es mayor que la fuerza de rozamiento mgsen|θ0|≥μsmgcosθ0     tan|θ0|≥μs   Siendo μs=μ el coeficiente de rozamiento estático Descomponemos las fuerzas, y escribimos las ecuaciones del movimiento a lo largo del eje X y del eje Y

Relacionamos x e y y sus derivadas respecto del tiempo t Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento, nos queda la ecuación diferencial        (1) Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con la condición inicial de que la partícula está en reposo vx=dx/dt=0 en el instante t=0, cuando se encuentra en la posición x0.

Posición de pausa La partícula se mueve hacia la derecha, hasta que se para momentáneamente en la posición x1. Para calcular esta posición trasformamos la ecuación diferencial de segundo orden en una de primer orden. Integramos la ecuación diferencial entre x0 ó θ0 donde la velocidad es 0 y x ó θ donde la velocidad de la partícula es vx. En la posición θ=θ1 la velocidad es cero, esta posición se calcula poniendo vx=0 en la ecuación anterior y resolviendo la ecuación trascendente Una vez calculado la raíz θ1, se calcula la posición x1 a partir de tanθ1= a·x1 (2) (3)

Movimiento hacia la izquierda Cuando la partícula llega a la posición x1, se para momentáneamente e inicia el camino de vuelta si la fuerza de rozamiento es menor que la componente tangencial del peso mgsenθ1≥μmgcosθ1     tan θ1≥μ  La fuerza de rozamiento cambia de sentido, y las ecuaciones del movimiento son

Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento nos queda la ecuación diferencial Es la misma ecuación que hemos obtenido anteriormente (1) cambiando μ→-μ La partícula sale de la posición x1 se mueve hacia la izquierda y se para en la posición x2, que se obtiene resolviendo la ecuación trascendente (3) en la que se ha efectuado el cambio  μ→-μ Una vez calculado la raíz θ2, se calcula la posición x2, tal que tanθ2= a·x2 Y así sucesivamente, hasta que el ángulo tan|θn|<μ

Trabajo de la fuerza de rozamiento Fr=μN es la fuerza de rozamiento dr es el vector desplazamiento cuyo módulo es ds. Calculamos la reacción N de la superficie La ecuación del movimiento en la dirección normal es donde ρ es el radio de curvatura y el punto C el centro de curvatura

Sabiendo que la componente x de la velocidad de la partícula (2) vale La reacción de la superficie N es Calculamos el trabajo W

Balance energético Podemos calcular el trabajo W, como diferencia entre la energía final (cuando la partícula se encuentra en la posición x)  y la energía inicial 8cuendo la partícula se encuentra en la posición x0) Expresamos las variables y y v en función del ángulo θ  de la tangente a la curva. Sabiendo que la componente x de la velocidad de la partícula (2) vale Después de realizar algunas operaciones llegamos a la misma expresión para el trabajo W.

Ejemplo Sea la parábola y=x2, con a=2.0. El coeficiente de rozamiento vale μ=0.1 La partícula sale de la posición x0=-2.0. Determinar la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria x=0.0 El ángulo que forma la recta tangente a la curva con el eje X en el punto x0=-2.0 es tanθ0=ax0, θ0=-1.32 rad El ángulo que forma la recta tangente a la curva con el eje X en el punto x=0.0 es θ=0.0 rad. Calculamos la componente X de la velocidad vx y a continuación, el módulo de la velocidad v.

Posiciones de pausa La posición de pausa se calcula resolviendo la ecuación trascendente como tanθ1>μ la partícula desliza hacia la izquierda, hasta que se detiene momentáneamente en la posición que se calcula resolviendo la ecuación trascendente en la que se ha sustituido μ→-μ como tan|θ2|>μ la partícula desliza hacia la derecha y así sucesivamente, hasta que tan|θn|<0.1

Efectuamos el balance energético entre las posiciones inicial x=-2 Efectuamos el balance energético entre las posiciones inicial x=-2.0 y la posición x=0 . Energía inicial cuando la partícula se encuentra en x0=-2.0 La energía final cuando la partícula se encuentra en x=0 Trabajo de la fuerza de rozamiento Comprobamos que W=E-E0