La mediana La mediana es el valor tal que el 50 % de las observaciones son menores y 50 % de ellas son mayores a dicho valor. En otra palabras, la mediana es el valor medio de un arreglo ordenado de datos. Si no hay empates, la mitad de las observaciones será menor y la otra mitad será mayor. Es importante notar que la mediana no se ve afectada por valores extremos, por lo que es adecuado usarla en lugar de la media para describir un conjunto de datos. La mediana puede calcularse para datos agrupados y no agrupados.

La mediana para datos NO agrupados Para calcular la mediana de un conjunto de datos no agrupados, primero es necesario organizar los datos de manera ordenada. Entonces la mediana puede obtenerse como: Mediana = n + 1 2 La ecuación anterior se usa para encontrar el lugar correspondiente a la mediana en el arreglo ordenado según una de las dos reglas siguientes: Regla 1: Si el tamaño de la muestra es un número impar, entonces la mediana está representada por el valor numérico que corresponde a la posición (n+1)/2 de las observaciones ordenadas.

La mediana para datos NO agrupados Ej.: Se tiene el porcentaje de rendimientos que obtuvieron los fondos de acciones generales ( datos sin procesar): 32.2, 29.5, 29.9, 32.4, 30.5, 30.1, 32.1 35.2, 10.0, 20.6, 28.6, 30.5, 38.0, 33.0, 29.4, 37.1, 28.6 Calcule la mediana. EL conjunto de datos ordenados es el siguiente: 10.0 , 20.6, 28.6, 28.6, 29.4, 29.5, 29.9, 30.1, 30.5, 30.5, 32.1, 32.2, 32.4, 33.0, 35.2, 37.1, 38.0. Calculando la posición con la fórmula (17+1)/2 = 9, por lo tanto en la posición 9 se encuentra la mediana. Contando tenemos que la posición 9 la ocupa el 30.5, por lo tanto esta es nuestra mediana.

La mediana para datos NO agrupados Regla 2: Si el tamaño de la muestra es un número par, entonces la posición se encuentra entre las dos observaciones que están en la mitad del arreglo ordenado. La mediana es el promedio de los valores numéricos de estas 2 observaciones. Ej.: Suponga que la muestra está integrada por los valores netos de los activos de 14 fondos de acciones generales nacionales. Los datos sin procesar, que presentan los valores netos de activos (en dólares) para estos fondos, son los siguientes: 7.35, 17.30, 11.62, 26.10, 21.69, 21.17, 14.07, 14.09, 24.01, 20.34, 18.26, 37.61, 18.60, 16.95 Calcule la mediana

La mediana para datos NO agrupados El arreglo ordenado es el siguiente: 7.35, 11.62, 14.07, 14.09, 16.95, 17.30, 18.26, 18.60, 20.34, 21.17, 21.69, 24.01, 26.10, 37.61. Para estos datos, el lugar de la mediana es (n+1)/2 = (14+1)/2 = 7.5. Por lo tanto, la mediana se obtiene con el promedio de las observaciones en las posiciones 7 y 8 del arreglo ordenado. Entonces la mediana para este caso es: 18.26 + 18.60 = 18.43 2

La mediana para datos agrupados Si se han registrado datos en una tabla de frecuencia, no pueden colocarse en un arreglo ordenado para calcular la mediana. Para ello existe una fórmula para calcular la mediana de datos agrupados: Donde = limite inferior de la clase de la mediana. N = nº de datos (es decir, la frecuencia total). F = frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase de la mediana. L = longitud de clase de la mediana. = frecuencia absoluta de la clase de la mediana

La mediana para datos agrupados Ej.: Se tiene la siguiente tabla de frecuencia agrupada en 6 clases. Encuentre la mediana. En primer lugar se debe hallar la clase de la mediana de la distribución de frecuencia. La clase mediana es la clase cuya frecuencia acumulada es mayor o igual a n/2 Limites Frecuencia Abs. Frecuencia Acum. 49.5 – 59.5 3 59.5 – 69.5 7 10 69.5 – 79.5 18 28 79.5 – 89.5 12 40 89.5 – 99.5 8 48 99.5 – 109.5 2 50

La mediana para datos agrupados Debido a n = 50, se necesita localizar la primera clase con una frecuencia acumulada de 25 o más. La tercera clase tiene una frecuencia acumulada de 28 , entonces esta es la clase mediana. Entonces la mediana puede calcularse como:

La moda La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. A diferencia de la media aritmética, la ocurrencia de algún valor extremo no afecta a la moda. Sin embargo la moda sólo se usa para fines descriptivos, porque varía más entre muestras que otras medidas de tendencia central. Al igual que la media y la mediana, existen formas de encontrar la moda, ya sea en datos agrupados y no agrupados

La moda para datos no agrupados Ej.: Del conjunto de datos ordenados de los rendimientos totales que obtuvieron las acciones de los fondos generales nacionales , encuentre la moda. 10.0, 20.6, 28.6, 28.6, 29.4, 29.5, 29.9, 30.1, 30.5, 30.5, 32.1, 32.2, 32.4, 33.0, 35.2, 37.1, 38.0 Se observa que hay dos valores “que aparecen más”, o dos modas: 28.6 y 30.5. Estos datos se describen como bimodales.

La moda para datos agrupados Existe un método con el cual es posible encontrar la moda en un conjunto de datos agrupados. La siguiente ecuación nos muestra la forma: Donde Li = limite inferior de la clase modal f i = frecuencia absoluta de la clase modal f i-1 = frecuencia absoluta de la clase inferior a la clase modal f i+1 = frecuencia absoluta de la clase superior a la clase modal L = longitud de clase

La moda para datos agrupados Ej.: Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla de frecuencia: En primer lugar se debe encontrar la clase modal, por definición es aquella que tiene la mayor frecuencia absoluta, en este caso la clase nº 3, ya que tiene una frecuencia de 42 Limites Frecuencia Abs. 60 – 63 5 63 – 66 18 66 – 69 42 69 – 72 27 72 - 75 8

La moda para datos agrupados Entonces, siguiendo la fórmula tenemos que: Moda = 66 + (42-18) * 3 = 67,846 (42-18) + ( 42-27) Entonces la moda para este conjunto de datos es 67,8 aprox.