Autocorrelación

Gauss-Markov y OLS Condiciones de Gauss-Markov en modelo lineal yi = xi‘β + εi, (1) (A1) E{εi}=0 (A2) {εi ,… εN} es independente de {x1,… xN} (A3) Todos los errores tienen la misma varianza (homoscedasticidad): V{εi} = σ2. (A4) Los errores no estan mutuamente correlacionados (no autocorrelación): cov{εi,,εj} = 0, i ≠ j.

Propiedades de los Estimadores Bajo (A1) y (A2): Estimadores OLS insesgados E{b} = β. Bajo (A1), (A2), (A3) y (A4): 2. La variancia de los estimadores OLS es V{b} = σ2( Σi xi xi’ )-1 3. s2 es insesgada para σ2. 4. Estimadores OLS son BLUE-MELI: Best Linear Unbiased Estimator para β.

Condiciones Gauss-Markov Vector N-dimensional de errores: ε, Matriz de variables explicativas: X E{ ε | X} = 0 (3) y V{ε | X} = σ2I, (4) Donde I es una matriz identidad NxN La distribucion de los termnos de error, dado X, tiene media cero y variazas y covarianzas constantes.

Violación 1: heteroscedasticidad Diferentes terminos de errror tienen distintas varianzas. Por qué? Varianzas evolucionan en el tiempo Varianzas dependen de una o mas variables explicativas (ej. Tamaño de firma, ingreso) Ejemplo : Gasto de hogares en alimentos en funcion de ingreso o gasto total. Para ingresos altos esperamos altos ahorros, pero también mas variabilidad.

Violacion 1: heteroscedasticidad (c) John Wiley and Sons, 2012

Violación 2: autocorrelación Autocorrelación (correlation serial) ocurre si diferentes terminos de error terms estan correlacionados. Ocurre en series de tiempo Cuando puede ocurrir? No observables (imperfecciones en el modelo) de un periodo se pasan parcialmente al siguiente El Modelo no capta patrones estacionales El Modelo se basa en muestras solapadas (ej. Retornos trimestrales observados mensualmente) Modelo mal especificado: variable omitida, dinamica incorrecta, etc.) (c) John Wiley and Sons, 2012

Consecuencias Ambos casos son similares Si (3) se cumple, OLS es insesgado Sin embargo, si (4) no se cumple: OLS no es mas BLUE Los standard errors son incorrectos. Tres formas generales para encarar el problema: Usar un estimador alternativo (mas eficiente que OLS); Usar standard errors alternativos; o Reconsiderar el modelo. La primera opción es cada vez menos popular La tercera es la mas empleada en caso de autocorrelación.

Autocorrelacion Autocorrelacion ocurre con series de tiempo donde los datos tienen un ordenamiento secuencial Indexamos las observaciones en estos casos como t = 1,…,T, mas que i = 1,..,N. El error recoje la influencia de todas las variables no incluidas en el modelo Si hay alguna persistencia de esos factores, la autocorrelación (positiva) puede aparecer Autocorrelacion puede ser un indicador de mala especificación (variable omitida, forma funcional, dinamica). De esta forma, los test de autocorrelacion son tambien interpretados como tests de especificiación

Autocorrelacion Las consecuencias de la autocorrelación son idénticas a las de la heteroscedasticidad. Los estimadores por MCO son insesgados pero ineficientes. Estimadores eficientes pueden ser obtenidos incorporando la estructura específica de la autocorrelación del error en el proceso de estimación. (c) John Wiley and Sons, 2012

Autocorrelacion Las expresiones convencionales para las variancias de los estimadores por MCO serán sesgadas y por lo tanto, toda hipótesis de prueba será inválida. En particular la presencia de autocorrelación serial sesga negativamente las varianzas de los estimadores, generando estadísticos t artificialmente altos. (c) John Wiley and Sons, 2012

Autocorrelacion Positiva Demanda de helado explicada por ingreso y precios

Autocorrelation de primer orden Existen muchas formas de autocorrelacion. La mas popular es la de primer orden Consideremos Donde el termino de error depende de su predecesor en forma lineal donde vt es un error con media cero y varianza constante. Entonces las condiciones de Gauss-Markov se cumplen si ρ = 0.

Propiedades de εt Para determinar las propiedades de εt, suponemos | ρ | < 1 (estacionariedad). Entonces: (note que esto requiere -1 < ρ < 1.) (c) John Wiley and Sons, 2012

Propiedades de εt Ademas y En general (s > 0).

Autocorrelación de primer orden Esta forma de autocorrelacion implica que todos los terminos de errror estan correlacionados. Sus covarianzas decrecen si la distancia en el tiempo es mayor. Para transformar el modelo en uno que satisfaga las condiciones de Gauss-Markov usamos Si conocemos ρ, esto produce el estimador GLS. Nota: la primera observacion se pierde con esta transformacion. En general ρ es desconocido

Estimacion de ρ 1. Estimar el modelo original por OLS. Esto nos da los residuos de OLS. Paritmos del supuesto Es natural estimar ρ regresando el residuo de OLS et contra su lag et-1. Esto nos da Si bien este estimador es sesgado, es consistente para ρ.

Test para auto-correlacion de primer orden - Durbin-Watson test Es el test mas usual y se presenta como rutina en estimaciones Requerimientos: (a) intercepto en el modelo, (b) supuesto (A2), no debe haber variables dependientes rezagadas El estadistico esta definido como Que es aproximadamente:

Test para auto-correlacion de primer orden - Durbin-Watson test La distribution es “particular”. Depende de las xt. En general, valores de dw cercanos a 2 estan bien. Mientras que valores de dw cercanos a 0 implican autocorrelacion positiva El valor crítico exacto es desconocido, pero se pueden conocer limites superiores e inferiores de la distribucion. Entonces para auto positiva: dw < limite inferior: rechazo dw > limite superior: no rechazo dw en el medio : duda. La región de duda se hace mas pequeña cuando crece T

Limites de valores criticos del Durbin-Watson test

El Test LM de correlación Serial (Breusch-Godfrey) Esta prueba es una alternativa para probar la correlación serial. La prueba pertenece a la clase de pruebas conocidas como multiplicadores de Lagrange (LM). A diferencia del Durbin-Watson para la AR (1), la prueba LM puede ser utilizada para mayores ordenes de autocorrelación y es aplicable si hay variables dependientes rezagadas como explicativas. Por lo tanto, se recomienda su uso en lugar de la estadística DW en estos casos.

El Test LM de correlación Serial (Breusch-Godfrey) La hipótesis nula de la prueba LM es que no hay correlación serial del orden pre-especificado. El Obs * R-cuadrado es el estadístico LM Breusch-Godfrey. La prueba LM se distribuye asintóticamente como una Chi2. La hipótesis nula de la prueba es que no hay correlación serial en los residuos hasta el orden especificado. EViews reporta una estadística con la etiqueta "estadístico F" y un "Obs * R al cuadrado" (-el número de observaciones por el R-cuadrado).

Ejemplo: demanda de helado Articulo clásico de Hildreth y Lu (1960), 30 (!) observaciones de cuatro semanas entre 1951-1953. (c) John Wiley and Sons, 2012

Ejemplo: demanda de helado

OLS resultados

Valores observados y estimados

METODOS DE CORRECCION – FGLS-EGLS

El procedimiento conocido como “Cochrane – Orcutt” (FGLS) realiza esto de manera iterativa para ajustar el valor del rho a partir de sucesivas regresiones del término de error y recalculando la regresión en variables transformadas por cada nuevo valor obtenido del rho. Este proceso iterativo continúa hasta que las diferencias en el estimado son minimas. La mayoría de los paquetes econométricos para computadora contienen una rutina para los estimadores Cochrane – Orcutt. En EViews la rutina se invoca incorporando el término AR(1) al final de la ecuación a estimar.

Estimacion de ρ OLS de residuos contra lags R2 = 0.149 test: Se rechaza la H 0 de ausencia de autocorrelacion. FGLS (EGLS) o cambio de especificación de modelo?

Nota: estadisticos con * refieren al modelo transformado FGLS/EGLS Nota: estadisticos con * refieren al modelo transformado

Modelo alternativo: temperatura con rezago .

Patrones Alternativos de autocorrelacion Consideremos con autocorrelacion positiva de primer orden Esto implica que los todos los errores estan correlacionados, con autocorrelaciones descendentes en la medida en que estan mas separados en el tiempo. Dos alternativas: 1. Patrones de mayor orden 2. Patrones tipo Media Movil

Higher order autocorrelation Con datos trimestrales o mensuales (macro) , ordenes mayores de autocorrelacion son posibles. Por ejemplo, con datos trimestrales: o Conocido como autocorrelacion de 4o orden. (c) John Wiley and Sons, 2012

Autocorrelacion por Media Movil en los errores Ocurre si la correlacion entre diferentes errores se limita a un rezago temporal limitado. El caso mas simple (1er orden): εt se correlaciona con εt-1 , pero no con εt-2 o εt-3, etc. Los errores por media movil surgen por construccion cuando hay muestras superpuestas.

Que hacer cuando encontramos autocorrelacion? En orden de preferencia: 1. Reconsiderar el modelo: 1a: cambiar la forma funcional (ej use log(x) en lugar de x), 1b: extender el modelo incluyendo variables explicativas adicionales (estacionales) o rezagos; 2. Computar errores standard consistentes con heteroscedasticidad y autocorrelacion (HAC standard errors) para el estimador OLS; 3. Reconsiderar opciones 1 y 2; 4. Use EGLS/FGLS .

Forma funcional incorrecta

Dinamica incompleta Supongamos yt = xt’β + εt Que describe E{yt | xt } = xt’β, aun cuando εt = ρεt-1 + vt Sin embargo, tambien describe E{yt | xt, xt-1, yt-1} = xt’β + ρ (yt-1 – xt-1’β). Entonces, tambien podemos escribir yt = xt’β + ρ yt-1 – ρxt-1’β + vt, Donde el termino de error no presenta correlacion serial. En muchos casos incluir valores rezagados de x e y elimina la correlacion serial.

HAC standard errors Similar a los White standard errors para heteroscedasticitdad, es posible corregir los OLS standard errors por hetero y autocorrelation. Esto se conoce como correccion de Newey-West. Es apropiado si la autocorrelacion esta restringida a un maximo numero de lags (errores MA) El numero de lags puede ser elegido por el investigador, aunque muchos programas (e.g. Eviews/Stata) tienen elecciones por defecto que dependen del tamaño de la muestra.