Control Moderno de Motores Eléctricos Jorge Rivera Dominguez jorge.rivera@cucei.udg.mx www.cucei.udg.mx/~jrivera

Contenido Fundamentos Matemáticos Modelo Matemático del Motor de Corriente Directa Esquema universal moderno del control de motores eléctricos: “Control Maestro-Esclavo” Control Maestro-Esclavo Diseño del controlador para el motor de cd Diseño del observador para el par de carga Control por modos deslizantes Aspectos prácticos para la implementación en tiempo real

Fundamentos Matemáticos Analicemos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden encontrando su solución. Multiplicando por el factor de integración

Fundamentos Matemáticos Integrando en ambos lados Para facilitar los cálculos vamos a considerar que u es constante, u=u0

Fundamentos Matemáticos Sin perdida de generalidad vamos a considerar que u0=0 Supongamos que a>0 Supongamos que a<0 Constante de tiempo

Fundamentos Matemáticos Respuesta en estado estable Ahora consideremos que u0¹0 Supongamos que a>0 Supongamos que a<0 Respuesta transitoria Constante de tiempo

Fundamentos Matemáticos El signo de “a” determina si la solución de la ecuación diferencial tenderá a infinito (a>0) o a un valor finito (a<0). En caso de ser negativo, el valor finito depende de tipo de la señal de entrada. A la constante “a” se le conoce por los siguiente nombres: Polo Valor propio Eigenvalor

Fundamentos Matemáticos Relación con la transformada de Laplace. Tomemos ahora la transformada de Laplace de la ecuación diferencial: Polo en s=a Se observa entonces que tiene la siguiente ecuación característica

Fundamentos Matemáticos Ahora surge la siguiente pregunta: Como se determinan los valores propios de un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales? Ejemplo: La mejor manera de representar un sistema de ecuaciones diferenciales es usando matrices

Fundamentos Matemáticos Para esto definimos el siguiente vector Derivando este vector tenemos que En donde

Fundamentos Matemáticos Comparando la ecuación diferencial escalar y matricial Notamos entonces que los polos de la ecuación diferencial matricial están relacionados con la matriz A de hecho, estos polos se encuentran dentro de dicha matriz. Los polos se despejan de la ecuación característica usando la siguiente formula

Modelo Matemático del Motor de Corriente Directa Funcionamiento básico del motor de cd

Modelo Matemático del Motor de Corriente Directa Diagrama esquemático del motor de CD Variables i - Corriente de armadura u – Voltaje en terminales – Velocidad del eje del rotor tL – Par de carga Constantes R – Resistencia de armadura L – Inductancia de armadura - Constante de la fuerza contraelectromotriz J – Momento de inercia del rotor y la carga

Modelo Matemático del Motor de Corriente Directa Modelo matemático del motor de CD Ecuación eléctrica Ecuación mecánica Voltaje contra electromotriz Par desarrollado por el motor Par mecánico kT es la constante del par

Modelo Matemático del Motor de Corriente Directa Reordenado las ecuaciones tenemos el modelo final con el que vamos a trabajar Como elegir el voltaje u para que la velocidad w sea igual a una de velocidad de referencia deseada wref?

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Control Maestro-Esclavo Lazo interno de control conocido como control esclavo Lazo externo de control conocido como control maestro

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del controlador para el motor de cd Empecemos por definir error en velocidad como la diferencia entre la velocidad del motor y su velocidad de Referencia Entonces el objetivo de control es hacer que el error “ew” tienda a cero. Para esto tomemos la derivada de “ew”.

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del controlador para el motor de cd Como lograr que ew =0? Si logramos hacer que Entonces tenemos que Para lograrlo partimos de Constante de tiempo

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del controlador para el motor de cd De la última ecuación despejaremos la corriente como corriente de referencia (iref) o deseada esto solo representa un valor deseado para la corriente. Para lograr que la corriente real del motor “i”, sea igual a la de referencia “iref”, introducimos el error en corriente “ei”

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del controlador para el motor de cd Esto es, Tomando la derivada de “ei” De la misma forma, proponemos para así poder garantizar ei=0 Constante de tiempo

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del controlador para el motor de cd Para lograrlo tenemos que Y finalmente despejamos el control o voltaje “u” como Este voltaje es tal que si lo ponemos en las terminales del motor tendremos que “w=wref” para un tiempo dado.

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del controlador para el motor de cd Comprobación: Tenemos que Sustituyendo o aplicando el voltaje de control diseñado Lo que lleva a

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del controlador para el motor de cd Haciendo lo mismo para la ecuación de error de velocidad Recordemos que definimos Sustituyéndola en la ecuación de error de velocidad Recordemos también que Reemplazando arriba:

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del controlador para el motor de cd Resumiendo los resultados Nos lleva al siguiente análisis: Debido a que a2<0, “ei” tenderá a cero en t=5/a2 Por lo que el conjunto de ecuaciones se reduce a De la misma forma, ya que a1<0, “ew” tenderá a cero en t=5/a1 Finamente, como ew =0, tenemos que w=wref, cumpliéndose así con el objetivo de control

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del observador para el par de carga Ahora analicemos el voltaje de control diseñado Para poder implementar este voltaje de control se necesitan medir las siguientes variables La corriente i (Se utiliza sensor de corriente) La velocidad w (Se utiliza sensor de velocidad) El par de carga tL que es desconocido (Sensor muy costoso)

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del observador para el par de carga Para superar el problema del par de carga desconocido se procede a diseñar el estimador u observador para el par de carga, para esto se hace la siguiente asunción: Esto significa que se asume que la variación del par de carga con respecto del tiempo es muy lento, por decir, constante. Esto es valido ya que la velocidad y la corriente varían más rápido con respecto al tiempo. Por lo que la ecuación anterior representa el modelo matemático del par de carga.

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del observador para el par de carga Agregando la ecuación de la velocidad El observador es una copia exacta de las ecuaciones diferenciales más unas ganancias para garantizar la Estimación. El gorro indica que es una variable estimada

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del observador para el par de carga El objetivo del observador es garantizar que las variables estimadas tiendan a ser iguales que las variables reales. Para poder lograr esto introducimos los errores de estimación. Tomemos ahora las derivada de estos errores

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del observador para el par de carga La ecuaciones de error del observador se pueden arreglar en forma matricial Entonces se debe elegir l1 y l2 para que la matriz A tenga sus polos negativos y así los errores de estimación tiendan a cero

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del observador para el par de carga La ecuación característica es Reformulando lo anteriormente dicho, se deben elegir l1 y l2 para que P(s) tenga sus raíces (Polos) negativos para que los errores de estimación tiendan a cero

Esquema universal moderno del control de motores eléctricos Diseño del observador para el par de carga Para elegir correctamente l1 y l2 propondremos una ecuación característica deseada con polos deseados p1<0 y p2<0 Comparándola con P(s)

Control por modos deslizantes El control por modos deslizantes es una técnica de control originaria de Rusia. Actualmente es muy usada en muchas aplicaciones como motores eléctricos, robótica, industria automotriz (frenos abs, fuel injection, control de crucero, etc.). Recordando las ecuaciones de error de velocidad y de corriente

Control por modos deslizantes El control por modos deslizantes se elige como una función signo Mediante un análisis avanzado pero ya bien conocido se sabe que este controlador garantiza ei=0 Cumpliéndose de nuevo con el objetivo de control, como se ha visto anteriormente

Control por modos deslizantes El control por modos deslizantes tiene dos ventajas principales sobre el controlador anteriormente diseñado Es robusto ante variaciones de parámetros, por ejemplo, supongamos que la resistencia empieza a incrementarse en una cantidad desconocida DR de la cual solo se conoce su valor máximo DRmax porque el motor se está calentando, entonces k debe ser mayor. No requiere de modulación de ancho de pulso, PWM por sus siglas en ingles, ya que la señal signo produce una señal que switchea entre dos estados ideal para ser aplicada en drivers de motores de cd como el puente H.

Aspectos prácticos para la implementación en tiempo real A continuación conoceremos más detalles para la implementación del controlador en tiempo real

Aspectos prácticos para la implementación en tiempo real Sensores de velocidad Tacogenerador (Analógico) Encoder (Digital) Voltaje proporcional Tren de pulsos a la velocidad

Aspectos prácticos para la implementación en tiempo real Sensor de corriente Entrega un voltaje proporcional a la corriente

Aspectos prácticos para la implementación en tiempo real Puente H Los pares de switches 1, 4 y 2, 3 se enciende simultáneamente

Aspectos prácticos para la implementación en tiempo real PWM Convierte una señal analógica en una señal de dos estados