Punto de Equilibrio Concepto y Aplicaciones

Los pescadores del Puerto de la Libertad desean saber cual es la tensión que se ejerce en los cables, si el peso de la panga y las personas de 1800 lb.? 1,800 libras

?? Hay una fuerza de 1,800 libras hacia abajo Hay una fuerza de 1,800 libras hacia arriba

TATA TBTB ?? X Y

X Y TATA TBTB T AY T AX T BX T BY 60°60°

60° TBTB T BX TBTB 60° TATA T AY T AX 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX

60° TBTB T BX T BY 60° TATA T AY T AX T BY = Sen(60°)*T B T BY TBTB TBTB = Sen( )= Sen( ) * 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX

T BX = Cos( )= Cos( ) 60° TBTB T BX 60° TATA T AY T AX T BY = Sen(60°)*T B T BY TBTB TBTB * T BX = Cos(60°)*T B Y sucede lo mismo en el triángulo A: T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX

60° TBTB T BX T BY 60° TATA T AY T AX T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B Y sucede lo mismo en el triángulo A: T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A TATA TBTB T AY T AX T BX T BY 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX

T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A TATA TBTB T AY T AX T BX T BY Como puede verse, la suma de T AY y T BY es igual al peso (1,800 libras). En fórmula: +=1,800 ó T AY T BY +=1,800 - = 0 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX

T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A TATA TBTB T AX T BX T AY + T BY – 1,800 = 0 T AY + T BY = 1,800 Como puede verse, la suma de T AY y T BY es igual al peso (1,800 libras). En fórmula: Como puede verse, T AX y T BX son iguales. En fórmula: T AX T BX == - = 0 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX

T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A TATA TBTB T AY + T BY – 1,800 = 0 T AY + T BY = 1,800 Como puede verse, la suma de T AY y T BY es igual al peso (1,800 libras). En fórmula: T AX = T BX T AX - T BX = 0 Como puede verse, T AX y T BX son iguales. En fórmula: 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX

T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A T AY + T BY – 1,800 = 0T AX - T BX = 0 Sen(60°)*T A + Sen(60°)*T B 1,800= 0– Cos(60°)*T B Cos(60°)*T A = 0- = 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX

T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A T AY + T BY – 1,800 = 0T BX - T AX = 0 Sen(60°)*T A +Sen(60°)*T B 1,800= Cos(60°)*T A Cos(60°)*T B = 0- 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX

T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A Sen(60°)*T A + Sen(60°)*T B = 1,800 Cos(60°)*T A - Cos(60°)*T B = 0 Para poder encontrar los valores de T A y T B utilizamos el concepto de los determinantes = 0 - Cos(60°) 1,800 Sen(60°) Cos(60°) - Cos(60°) Sen(60°) TATA TATA = * ,800 * (- 0.5) 0.5 * * (- 0.5) = ,000 libras = 0 Sen(60°) - Cos(60°) () Cos(60°) 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX Sen(60°) - Cos(60°) ()

T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A Para poder encontrar los valores de T A y T B utilizamos el concepto de los determinantes TATA = 0 - Cos(60°) 1,800 Sen(60°) Cos(60°) - Cos(60°) Sen(60°) = Cos(60°)*T A - Cos(60°)*T B = 0 Sen(60°)*T A + Sen(60°)*T B = 1,800 0* *(-0.5) 0.5* *(-0.5) = ,000 libras = TATA 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX

T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A Para poder encontrar los valores de T A y T B utilizamos el concepto de los determinantes = Cos(60°) 0 Sen(60°) 1,800 Cos(60°) - Cos(60°) Sen(60°) TBTB TBTB = * Sen(60°) * 0.5 * * (- 0.5) = ,000 libras = Cos(60°) 1,800 0 Cos(60°) 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX Sen(60°) - Cos(60°) () Cos(60°)*T A - Cos(60°)*T B = 0 Sen(60°)*T A + Sen(60°)*T B = 1,800 T A = 1,000 libras TATA = 0 - Cos(60°) 1,800 Sen(60°) Cos(60°) - Cos(60°) Sen(60°)

T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A Para poder encontrar los valores de T A y T B utilizamos el concepto de los determinantes TBTB = Cos(60°) 0 Sen(60°) 1,800 Cos(60°) - Cos(60°) Sen(60°) = Cos(60°)*T A - Cos(60°)*T B = 0 Sen(60°)*T A + Sen(60°)*T B = 1,800 0* *(-0.5) 0.5* *(-0.5) = ,000 libras = TBTB 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX T A = 1,000 libras TATA = 0 - Cos(60°) 1,800 Sen(60°) Cos(60°) - Cos(60°) Sen(60°)

T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A Para poder encontrar los valores de T A y T B utilizamos el concepto de los determinantes Cos(60°)*T A - Cos(60°)*T B = 0 Sen(60°)*T A + Sen(60°)*T B = 1,800 T B = 1,000 libras 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX T A = 1,000 libras TATA = 0 - Cos(60°) 1,800 Sen(60°) Cos(60°) - Cos(60°) Sen(60°) TBTB = Cos(60°) 0 Sen(60°) 1,800 Cos(60°) - Cos(60°) Sen(60°)

Repaso de Conceptos

T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX (1)Utilizamos el concepto de razones trigonométricas para definir las variables a averiguar. (2) 1.1 Aislamos el objeto bajo el estudio. 1.2 Determinamos las fuerzas y luego realizamos un Diagrama de Cuerpo Libre (DCL). Un DCL consiste en esquematizar el elemento con las cargas que recibe, sus magnitudes, ubicación y las reacciones que genera en sus apoyos. 1.3 Descomponemos las fuerzas del DCL en vectores. 1,800 libras 60° TATA T AY T AX T BX 60° TBTB T BX T BY TBTB TBTB (1) 1,800 libras X Y TATA TBTB (2)

T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX TATA = 0 - Cos(60°) 1,800 Sen(60°) Cos(60°) - Cos(60°) Sen(60°) TBTB = Cos(60°) 0 Sen(60°) 1,800 Cos(60°) - Cos(60°) Sen(60°) Sen(60°)*T A + Sen(60°)*T B = 1,800 Cos(60°)*T A - Cos(60°)*T B = 0 Reformulamos las ecuaciones a modo que queden solamente los vectores incógnitos. Para ello empleamos la Primer Condición de Equilibrio: Un cuerpo se encontrará en equilibrio cuando la fuerza resultante que actúa sobre él sea igual a cero; para eso, las fuerzas componentes deben ser necesariamente coplanares y concurrentes. Empleamos el concepto de determinantes para resolver las ecuaciones. (3) (4) (1) (2) - = 0 (3) (4)

T BY = Sen(60°)*T B T BX = Cos(60°)*T B T AY = Sen(60°)*T A T AX = Cos(60°)*T A 1,800 libras X Y 60° TBTB T BX T BY TATA T AY T AX TATA = 0 - Cos(60°) 1,800 Sen(60°) Cos(60°) - Cos(60°) Sen(60°) TBTB = Cos(60°) 0 Sen(60°) 1,800 Cos(60°) - Cos(60°) Sen(60°) Sen(60°)*T A + Sen(60°)*T B = 1,800 Cos(60°)*T A - Cos(60°)*T B = 0 Resolvemos los determinantes y encontramos los valores de TA y TB. T B = 1,000 libras T A = 1,000 libras (3) (4) (1) (2) (5)

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Créditos  Profesores:  José Antonio Chávez  Edwin Antonio Morales  Diseño Gráfico, Animaciones y Programación  Roberto Portillo Echániz  Coordinador  Magdiel Guardado