PROGRAMACIÓN LINEAL

Objetivos Conocer la utilidad de la programación lineal en problemas de optimización. Dominar el lenguaje propio de la programación lineal. Encontrar y representar regiones factibles y soluciones óptimas mediante el método gráfico. Utilizar el comando solver para la resolución de problemas de programación lineal.

Conocimientos Previos Las clases estarán dirigidas a alumnos correspondientes al 5to año de educación media o 1er año universitario con orientación en Administración de empresas, que contengan los siguientes saberes previos: Representación gráfica de rectas y de desigualdades en el plano cartesiano. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante regla de Cramer.

Introducción a la programación lineal, método gráfico de optimización CLASE 1 Método del punto esquina, comando Solver. CLASE 2

CLASE 1 Contenidos: Introducción a la Programación Lineal Lenguaje de Programación Situación Inicial Método Gráfico

¿De dónde proviene el término Programación Lineal? La parte de “programación” del nombre proviene de la terminología militar de la era de la segunda guerra mundial. Cada programa era una solución a un problema de asignación de recursos, como por ejemplo ¿Qué programa de distribución de combustible contribuirá mejor a la victoria global? La programación entendida de esta manera es una gran herramienta de investigación de operaciones y el término “lineal” hace referencia a que un problema se pueda describir utilizando ecuaciones y desigualdades lineales.

¿Para que sirve la programación lineal?

Lenguaje de Programación Función Objetivo Es la función por maximizar o minimizar Son las limitaciones existentes sobre las variables. Constituyen un sistema de desigualdades. Restricciones Soluciones Factibles Son las infinitas soluciones para el sistema de restricciones. Es una de las soluciones factibles que le da valor máximo o mínimo a la función objetivo. Solución Óptima

... Recordemos un poco … ¿Cuál de los siguientes regiones coloreadas en el gráfico corresponde a la desigualdad ?

¿Cuál es la opción correcta? Región Violeta Región Celeste

INCORRECTO!!! Debés revisar algunos conceptos previos antes de continuar…Volvé a pensarlo… CONTINUAR

MUY BIEN!!! Ya estás en condiciones de comenzar a ver de qué se trata la programación lineal …

SITUACIÓN INICIAL Un fabricante produce dos tipos de corbatas, Old Smokey y Blaze Away. Para su producción, las corbatas requieren del uso de dos máquinas de coser A y B. El número de horas necesarias para ambas esta indicado en la siguiente tabla: Máquina A Máquina B Old Smokey 2 h 4 h Blaze Away Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades en los modelos son de $4 y $6 respectivamente. ¿Cuántas corbatas de cada tipo deben producirse por día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?

Planteo del problema Función Objetivo Restricciones Es la función de utilidades que debo maximizar Restricciones Condiciones de no negatividad Limitaciones horarias de las máquinas A y B

Pasos a seguir para encontrar la cantidad de artículos que deben venderse, de ambos modelos, para que la utilidad sea máxima: Graficar las desigualdades que indican las restricciones del problema en el plano cartesiano. Indicar la intersección de dichas regiones, o sea, la solución al sistema de inecuaciones planteado (Región de soluciones factibles). Encontrar en el interior de esa región, cuál es el punto para en el cual la función de utilidades (Función objetivo) es máxima.

¿Cómo encontramos la región de soluciones factibles? A continuación graficaremos paso a paso las restricciones del problema.

Condición de no negatividad: Solución Recta incluida en la solución Región excluida

Primera Restricción: Recta excluida de la solución

Segunda Restricción: Región de soluciones factibles

Para encontrar la solución óptima podemos utilizar Método gráfico Para encontrar la solución óptima podemos utilizar Método del punto esquina Comando Solver

Método Gráfico La recta se llama recta de isoutilidad debido a que todos sus puntos tienen la misma utilidad, su pendiente es -2/3 y su ordenada al origen varía según el valor de la utilidad Z. El método gráfico consiste en buscar cuál de estas rectas de isoutilidad cumple con dos condiciones: Tiene puntos en común con la región de soluciones factibles. Tiene ordenada al origen máxima.

Buscá la recta de isoutilidad máxima en Excel dándole diferentes valores a la variable Z (Utilidad): Microsoft Excel

A D B Ninguno de los anteriores C ¿En qué punto de la región de soluciones factibles la utilidad es máxima?

Volvé a excel e intentalo de nuevo … INCORRECTO!!! Volvé a excel e intentalo de nuevo … VOLVER Microsoft Excel

MUY BIEN!!! Veamos entonces el gráfico que contiene a la región de soluciones factibles y a la recta de utilidad máxima …

Cualquier recta de isoutilidad con una utilidad mayor no contendrá puntos en la región factible. Recta de Utilidad Máxima A B D C

Encontremos las coordenadas del punto B … Resolvé el sistema de ecuaciones en excel mediante la regla de Cramer utilizando determinantes Microsoft Excel

Interpretemos el resultado … ¿Cuál de las siguientes conclusiones sería la correcta? Cuando se produzcan 40 unidades de cada producto la utilidad será máxima y será de $4 por unidad. Cuando se produzcan 4 unidades de corbatas Old Smokey y 4 unidades de corbatas Blaze Away la utilidad será máxima y será de $40. Cuando se produzcan 40 unidades de cada marca a un precio unitario de $4 la utilidad será máxima.

INCORRECTO!!! Volvé a pensarlo … VOLVER

MUY BIEN!!! Las ganancias serán máximas y serán de $40 cuando se produzcan 4 corbatas Old Smokey y 4 corbatas Blaze Away. B FIN

CLASE 2 Contenidos: Método del punto esquina. Minimización en una región factible no acotada. Comando Solver.

Método del Punto Esquina Como pudimos observar en el método gráfico la recta de utilidad máxima encontrada contiene a un vértice de la región factible (punto esquina). Por lo tanto podemos deducir que: Una función lineal definida sobre una región factible acotada no vacía, tiene un valor máximo (mínimo) que puede hallarse en un vértice (punto extremo, esquina)

Para mostrarlo recurriremos a la situación problemática de la clase anterior, te invito a Excel a buscar el valor máximo en los cuatro puntos esquina: A, B, C y D. Microsoft Excel

¿En cuál de los puntos la función objetivo encuentra su máximo valor? Ninguno de los anteriores C ¿En cuál de los puntos la función objetivo encuentra su máximo valor?

INCORRECTO!!! Volvé a pensarlo … VOLVER

MUY BIEN!!! El resultado coincide con el obtenido B en la clase anterior. B

Veamos otro ejemplo … … Pero esta vez en una región factible no acotada. Es decir que la región no estará encerrada por una figura como en el ejemplo anterior …

Costo Mínimo Un agricultor va a comprar fertilizante que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los mínimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80 unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizantes en el mercado. Crece Rápido cuesta $8 la bolsa, contiene 3 unidades de A, 5 unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fácil cuesta $6 cada bolsa y contiene 2 unidades de cada nutrimento. Si el cultivador desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrimentos, ¿Cuántas bolsas de cada marca debe comprar? A B C Costo / Bolsa Crece Rápido 3 u 5 u 1 u $ 8 Crece Fácil 2 u $ 6 Unidades Requeridas 160 200 80

Planteo del Problema Función Objetivo Restricciones Es la función de costo que debo minimizar Restricciones Condiciones de no negatividad

Región de Soluciones Factibles

Encontremos los puntos Esquina … Para poder aplicar el método del punto esquina debemos encontrar todos los vértices, observando el gráfico: A = (0,100) y D = (80,0) Te invito a Excel a resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mediante la regla de Cramer: Punto B Punto C Microsoft Excel

Ahora vamos nuevamente a Excel a reemplazar los cuatro puntos esquina en la función objetivo: A = (0,100) B = (20,50) C = (40,20) y D = (80,0) Microsoft Excel

¿En cuál de los puntos la función objetivo encuentra su mínimo valor? Ninguno de los anteriores C ¿En cuál de los puntos la función objetivo encuentra su mínimo valor?

Volvé a Excel e intentalo de nuevo … INCORRECTO!!! Volvé a Excel e intentalo de nuevo … VOLVER Microsoft Excel

MUY BIEN!!! Veamos entonces el gráfico que contiene a la región de soluciones factibles y a la recta de costo mínimo …

Recta de isocosto mínimo Respuesta al Problema de Minimización de Costos El agricultor deberá comprar 40 bolsas de la marca “Crece Rápido” y 20 bolsas de la marca “Crece Fácil” para lograr minimizar los costos en $440. A Recta de isocosto mínimo B C D

Otro método para resolver problemas de programación lineal utilizando Excel “Comando Solver” Microsoft Excel

Situación a Resolver Madera Plástico Aluminio Silla 1 u 2 u Mecedora Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio como se muestra en la siguiente tabla: La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 500 unidades de plástico y 1450 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y sillón se vende en $21, $24 y $36, respectivamente. Suponiendo que todos los mubles pueden venderse determine, utilizando el método simplex, la producción para que el ingreso total sea máximo. ¿Cuál es el ingreso máximo? Madera Plástico Aluminio Silla 1 u 2 u Mecedora 3 u Sillón 5 u

Vamos a Excel a ingresar estos datos Planteo del problema Función Objetivo Restricciones Vamos a Excel a ingresar estos datos

¿Cuáles de los siguientes resultados es el correcto?

Volvé a Excel e intentalo de nuevo … INCORRECTO!!! Volvé a Excel e intentalo de nuevo … VOLVER Microsoft Excel

Has alcanzado los objetivos de esta unidad!!!! MUY BIEN!!! Has alcanzado los objetivos de esta unidad!!!!

Integración y Fijación Resolveremos el mismo problema de optimización mediante todos los métodos aprendidos … Una compañía de cargas maneja envíos para dos compañías A y B. La empresa A envía cajas que pesan 3 kg cada una y tienen un volumen de 2 m3, mientras qie la B envía cajas de 1 m3 con un peso de 5 kg. Tanto A como B hacen envíos a los mismos destinos y el costo de transporte de la caja de A es $ 0,75 y para B de $ 0,50. La compañía transportadora tiene un camión con espacio de carga para 2.400 m3 y capacidad máxima de 9.200 kg. En un viaje, ¿Cuántas cajas de cada empresa debe transportar el camión para que la compañía de transportes obtenga el máximo de ingresos? ¿Cuál es este máximo?

¿Cuál de los siguientes planteos es correcto?

INCORRECTO!!! Volvé a leer el problema y pensá bien cuáles son las variables principales … Volvé a pensarlo

¡¡¡Muy Bien!!!! Ahora debemos graficar el problema para ver que tipo de región de soluciones factibles obtenemos

¿Es una región acotada? SI NO Región de soluciones factibles

Ahora volvé a pensarlo … INCORRECTO!!! Recordá que … Ahora volvé a pensarlo …

¡¡¡Muy Bien!!!! Ahora debemos encontrar los cuatro vértices de esa región …

Puntos Esquina B = (0,1840) C = ¿? D = (1200,0) A = (0,0)

Coordenadas del punto C Vamos a Excel a resolver el correspondiente sistema de ecuaciones para encontrar las coordenadas de C y luego a buscar en cuál de los puntos es máxima la función objetivo … Microsoft Excel

Ahora verifiquemos si esa solución coincide con la que nos brinda el comando Solver … Microsoft Excel

¿Cuál de las siguientes respuestas es correcta? El camión debe transportar 1100 cajas de la empresa A y 1600 cajas de la empresa B para que los ingresos sean máximos, y el máximo es de $ 400. El ingreso máximo es de 1100 + 400 + 1600 = 3100. El camión debe transportar 400 cajas de la empresa A y 1600 cajas de la empresa B para que los ingresos sean máximos, y el máximo es de $ 1100. Ninguna de las anteriores.

INCORRECTO!!! Volvé a pensarlo … VOLVER

¡¡¡Muy Bien!!! ¡¡Has finalizado las clases de Programación Lineal con éxito, Felicitaciones!! FIN