Método de Igualación y Método de Reducción ESPAD III * DÍA 16 Método de Igualación y Método de Reducción

Método de Igualación Es una variante del método anterior de sustitución. Este método se emplea cuando es muy fácil despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. Ejemplo_1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = 2 (2) Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: x = 4 – 3y (1) x = ( 2 + y ) / 3 (2) Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales: 4 – 3y = ( 2 + y ) / 3

Operando en la proporción resultante … 12 – 9y = 2 + y 12 – 2 = y + 9y 10 = 10y y = 1 Sustituyendo ese valor en la ecuación (1): x = 4 – 3.1 x = 4 – 3 = 1 O sea x = 1 La solución del sistema es x = 1 , y = 1 Las soluciones son las mismas que nos había dado al aplicar el M. de Sustitución. No importa el método empleado.

Ejemplo_2 Sea el sistema: 2x + 3.y = 12 (1) 3x - 4y = 1 (2) Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: 2.x = 12 – 3.y 3.x = 1 + 4.y x = (12 – 3y) / 2 (1) x = ( 1 + 4y ) / 3 (2) Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales 12 – 3.y 1 + 4.y ------------ = -------------- 2 3

Operando en la proporción resultante, para lo cual se multiplica en cruz, resulta … 36 – 9y = 2 + 8y 36 – 2 = 8y + 9y 34 = 17y y = 34 / 17 y = 2 Sustituyendo ese valor en la ecuación (1): x = (12 – 3.2) / 2 x = (12 – 6 ) / 2 x = 6 / 2 = 3 , o sea x = 3 La solución del sistema es: x = 3 , y = 2

Ejemplo_3 Sea el sistema: x + 3.y = - 8 (1) 3x - 4y = 15 (2) Despejamos “x” en ambas ecuaciones, quedando: x = (- 8 – 3y) (1) 3.x = 15 + 4.y x = ( 15 + 4y ) / 3 (2) Como x = x , las dos expresiones resultantes deben ser iguales 15 + 4.y - 8 – 3.y = ------------ 3

Operando en la proporción resultante, para lo cual el 3 que divide pasa multiplicando, quedando … - 24 – 9y = 15 + 4y - 24 – 15 = 4y + 9y - 39 = 13y y = - 39 / 13 y = - 3 Sustituyendo ese valor en la ecuación (1): x = - 8 – 3.(- 3) x = - 8 + 9 = 1 , O sea x = 1 La solución del sistema es x = 1, y = - 3 Que se puede comprobar.

Método de Reducción Se empleará cuando coincidan los coeficientes numéricos de una cualquiera de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Si no coinciden, podemos hacerles coincidir multiplicando una o las dos ecuaciones por el factor o factores adecuados. Ejemplo_1 Sea el sistema: x + 3.y = 4 (1) 3.x - y = 2 (2) Multiplicamos la ecuación (1) por 3, resultando otra EQUIVALENTE, pero teniendo el mismo coeficiente en x. 3.x + 9.y = 12 (1) 3.x - y = 2 (2)

A la ecuación (1) la resto la (2), quedando: 3.x + 9.y = 12 (1) 3.x - y = 2 (2) 3.x – 3.x + 9.y – ( - y ) = 12 – 2 10 y = 10 y = 1 Sustituyendo el valor de “y” en la ecuación (1) , tenemos: x + 3.1 = 4 x = 4 – 3 x = 1 La solución del sistema es: x = 1 , y = 1 La solución es la misma que por los otros Métodos.

Ejemplo_2 Sea el sistema: 2.x + 3.y = 12 (1) 3.x – 4.y = 1 (2) Multiplicamos la ecuación (1) por 4 y la ecuación (2) por 3 , resultando otro sistema de ecuaciones EQUIVALENTES, con el mismo coeficiente en las y: 8x + 12y = 48 (1) 9x - 12y = 3 (2) A la ecuación (3) la sumo la (4), quedando: 8x + 12y = 48 (1) 9x - 12y = 3 (2) 8x + 9x + 12y – 12y = 48 + 3 17 x = 51  x = 51 / 17  x = 3

Sustituyendo el valor de “x” en la ecuación (1) , tenemos: La solución del sistema es: x = 3 , y = 2 Que se puede comprobar. Como se ve, la solución es la misma que por los otros Métodos.

Ejemplo 3 Sea el sistema: x + 3.y = - 8 (1) 3x - 4y = 15 (2) Multiplicamos la ecuación (1) por 4 y la ecuación (2) por 3 , resultando otro sistema de ecuaciones EQUIVALENTES. 4x + 12y = - 32 (1) 9x - 12y = 45 (2) A la ecuación (3) la sumo la (4), quedando: 4x + 12y = - 32 (1) 9x - 12y = 45 (2) 4x + 9x + 12y – 12y = - 32 + 45 13 x = 13  x = 1

Sustituyendo el valor de “x” en la ecuación (1) , tenemos: La solución del sistema es: x = 1 , y = - 3 Que se puede comprobar. La solución es la misma que por los otros Métodos.