Ley de Gauss Clase 5 05/02/13

Ley de Gauss Este ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan de distribuciones simétricas de la carga, tales como una corteza esférica o una línea infinita. Además se entiende por superficie cerrada aquella que divide el espacio en dos regiones diferentes, la interior y la exterior a dicha superficie como se denota a continuación.

Ley de Gauss Dipolo eléctrico encerrado en una superficie de forma arbitraria. El numero de líneas que abandonan la superficie es exactamente igual al número de líneas que entran en ella sin que importe donde se dibuje la superficie, siempre que se encierren dentro de ella ambas cargas del dipolo.

Ley de Gauss Para superficies que encierran otras distribuciones de carga, como el que se muestra en la figura, el numero neto de líneas que sale por cualquier superficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie. Este es un enunciado cualitativo de la ley de Gauss.

Ley de Gauss Nota. Para contar el numero neto de líneas que salen de la superficie, cuéntese cualquier línea que cruce desde el interior como +1 y cualquier penetración desde el exterior como -1. Así pues para la superficie indicada el balance total de las líneas que cruzan al superficie es cero.

Flujo eléctrico Las unidades del flujo son 𝑁∙ 𝑚 2 /𝐶 . Como el campo eléctrico es proporcional al número de líneas por unidad de área, el flujo eléctrico es proporcional a número de líneas de campo que atraviesan el área. Líneas de campo correspondientes a un campo eléctrico uniforme que E que atraviesa un área A perpendicular al campo. El producto EA es el flujo 𝜙 a través del área.

Flujo eléctrico La superficie del área 𝐴 2 no es perpendicular al campo eléctrico E. Sin embargo, el numero de líneas que atraviesan el área 𝐴 2 es el mismo que atraviesa el área 𝐴 1 , que es perpendicular a E. Las áreas están relacionadas por : 𝐴 2 𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝐴 1 Líneas de campo correspondientes a un campo eléctrico uniforme perpendicular al área 𝐴 1 , pero que forma un ángulo 𝜃 con el vector unitario 𝑛 normal al área 𝐴 2 . Cuando E no es perpendicular al área es 𝐸 𝑛 𝐴, siendo 𝐸 𝑛 =𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 la componente de E perpendicular al área. El flujo que atraviesa 𝐴 2 es el mismo que pasa por 𝐴 1

Flujo eléctrico En donde 𝜃 es el ángulo existente entre E y el vector unitario 𝑛 perpendicular a la superficie 𝐴 2 . Por lo tanto el flujo de una superficie viene definido por : En donde 𝐸 𝑛 =𝐸∙ 𝑛 es la componente de E perpendicular, o normal, a la superficie.

Flujo eléctrico La figura siguiente muestra una superficie de forma arbitraria sobre el cual el campo E puede variar. Si el área ∆ 𝐴 𝑖 del elemento de área que elegimos es suficientemente pequeño podemos considerarle como un plano y la variación del campo eléctrico a través del elemento puede despreciarse. Por lo tanto el flujo eléctrico a través de ese elemento es:

Enunciado cuantitativo de la Ley de Gauss La siguiente figura muestra una superficie esférica de radio 𝑅 con su centro en la carga puntual 𝑄. El campo eléctrico en un punto cualquiera de la superficie perpendicular a la superficie se denota de la siguiente manera: Una superficie esférica puntual que incluye la carga puntual 𝑄. (a) El mismo numero de líneas de campo eléctrico que pasa a través de esta superficie que incluya 𝑄. (b) El flujo se calcula fácilmente para una superficie esférica. Es igual al producto de 𝐸 𝑛 por el área superficial, es decir 𝐸 𝑛 4𝜋 𝑅 2

Enunciado cuantitativo de la Ley de Gauss Por lo tanto el flujo neto de E a través de esta superficie esférica es: 𝜙 𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑆 𝐸 𝑛 𝑑𝐴= 𝐸 𝑛 𝑆 𝑑𝐴 En donde 𝐸 𝑛 puede salir de la integral por ser constante en todos los puntos. La integral de 𝑑𝐴 extendida a toda la superficie es precisamente el área total, igual a 4𝜋 𝑅 2 . Con este valor y sustituyendo 𝑘𝑄/ 𝑅 2 por 𝐸 𝑛 se obtiene: 𝜙 𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑆 𝐸 𝑛 𝑑𝐴=4𝜋𝑘 𝑄 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

Enunciado cuantitativo de la Ley de Gauss Por lo tanto el flujo neto a través de cualquier superficie es igual a 4𝜋𝑘 veces la carga neta dentro de la superficie.: 𝜙 𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑆 𝐸 𝑛 𝑑𝐴=4𝜋𝑘 𝑄 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 Esta propiedad del campo eléctrico es la que ha hecho posible dibujar un numero fijo de líneas de fuerza desde una carga y conseguir que la densidad de líneas se a proporcional a la intensidad del campo.

Enunciado cuantitativo de la Ley de Gauss Es costumbre escribir la constante de Coulomb 𝑘 en función de otra constante 𝜖 0 , denominada permitividad del espacio libre (permitividad del vacío): Por lo tanto el valor de 𝜀 0 en unidades del SI es

Por lo tanto al ley de Gauss es válida para todas las superficies y distribuciones de carga. Puede utilizarse para calcular el campo eléctrico en algunas distribuciones espaciales de carga con altos grados de simetría. En los campos eléctricos que resultan de distribuciones de carga estática, la ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes. Sin embargo la ley de Gauss es mas general, pues también puede aplicarse a distribuciones de carga no estáticas.

Problemas Problema 1 Cuando se mide el campo eléctrico en cualquier parte sobre la superficie de un cascarón esférico delgado con 0.750 m de radio, se ve que es igual a 890 N/C y apunta radialmente hacia el centro de la esfera? a) ¿Cuál es la carga neta dentro de la superficie de la esfera? b) ¿Qué puede concluir acerca de la naturaleza y distribución de la carga dentro del cascarón esférico?

Problemas Solución inciso a De acuerdo a la siguiente figura tenemos que: Datos 𝐸 𝑟 =890𝑁/𝐶 𝑟=0.750 𝑚

Problemas 𝜙 𝐸 = 𝐸 𝑟 ∙𝑑𝐴= 𝐸 𝑟 ∙𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠 180° = 𝑄 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝜀 0 ⇒ Por la ley de Gauss tenemos: 𝜙 𝐸 = 𝐸 𝑟 ∙𝑑𝐴= 𝐸 𝑟 ∙𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠 180° = 𝑄 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝜀 0 ⇒ ⟹− 𝐸 𝑟 𝑑𝐴 = 𝑄 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝜀 0 ⟹− 890 4𝜋 0.750 2 = 𝑄 𝑛𝑒𝑡𝑎 8.85× 10 −12 ∴ 𝑄 𝑛𝑒𝑡𝑎 =55.7× 10 −9 =−55.7𝑛𝐶

Problemas Solución Inciso b Que la carga neta que actúa dentro de la superficie de la esfera esta cargada negativamente.

Problemas Problema 2 Cuatro superficies cerradas, 𝑆 1 𝑎 𝑆 4 , junto con las cargas −2𝑄, 𝑄 𝑦 −𝑄 se dibujan en la siguiente figura. Encuentre el flujo eléctrico a través de cada superficie.

Problemas Solución Nos piden: 𝜙 𝐸 a través de cada superficie = ? 𝜙 𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆 1 = 𝐸∙ 𝑑 𝐴 = 𝑄 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝜀 0 por la ley de Gauss ∴ 𝜙 𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆 1 = −2𝑄+𝑄 𝜀 0 = −𝑄 𝜀 0

Problemas Solución Nos piden: 𝜙 𝐸 a través de cada superficie = ? 𝜙 𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆 2 = 𝐸∙ 𝑑 𝐴 = 𝑄 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝜀 0 por la ley de Gauss ∴ 𝜙 𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆 2 = +𝑄−𝑄 𝜀 0 =0

Problemas Solución Nos piden: 𝜙 𝐸 a través de cada superficie = ? 𝜙 𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆 3 = 𝐸∙ 𝑑 𝐴 = 𝑄 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝜀 0 por la ley de Gauss ∴ 𝜙 𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆 3 = −2𝑄+𝑄−𝑄 𝜀 0 = −2𝑄 𝜀 0

Problemas Solución Nos piden: 𝜙 𝐸 a través de cada superficie = ? 𝜙 𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆 4 = 𝐸∙ 𝑑 𝐴 = 𝑄 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝜀 0 por la ley de Gauss ∴ 𝜙 𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆 4 = 0 𝜀 0 =0

Problemas Problema 3 Consideremos un campo eléctrico uniforme 𝐸= 2𝑘𝑁/𝐶 𝑖. (a) ¿Cuál es el flujo de este campo que atraviesa un cuadrado de 10 cm de lado cuyo plano es paralelo al plano 𝑦𝑧? (b) ¡Cual es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano forma un ángulo de 30° con el eje 𝑥?

Problemas Solución inciso a La definición del campo eléctrico es 𝜙= 𝑆 𝐸 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 . Nosotros podemos aplicar esta definición para encontrar el flujo eléctrico. Por lo tanto aplicando esta definición tenemos que: 𝜙= 𝑆 2𝑘𝑁/𝐶 𝑖 ∙ 𝑖 𝑑𝐴= 2𝑘𝑁/𝐶 𝑆 𝑑𝐴 𝜙= 2𝑘𝑁/𝐶 0.1𝑚 2 =20𝑁∙ 𝑚 2 /𝐶 𝑧 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧 𝑦 𝑥 𝐿=10𝑐𝑚

Problemas Solución inciso b Procedemos de la misma forma que el inciso a, tenemos que: 𝑖 ∙ 𝑛 =𝑐𝑜𝑠30° 𝜙= 𝑆 2𝑘𝑁/𝐶 𝑖 ∙ 𝑛 𝑑𝐴= 2𝑘𝑁 𝐶 𝑐𝑜𝑠30°𝑑𝐴 𝜙= 2𝑘𝑁/𝐶 0.1𝑚 2 𝑐𝑜𝑠30°=17.3𝑁∙ 𝑚 2 /𝐶 𝑧 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧 𝑦 𝑥 𝐿=10𝑐𝑚