Escalamiento Multidimensional No-Métrico

Rasgos generales Busca las mejores posiciones de n objetos en un espacio de k dimensiones que se asemejen más a las posiciones de los objetos según sus distancias originales. Es iterativo, pues repite intentos con posiciones diferentes hasta alcanzar el mejor arreglo. No supone que existan relaciones lineales entre las variables. Utiliza el orden de distancias (“ranked distances”) como criterio principal, por eso se le llama no-métrico. –Debido a lo anterior, su interpretación es diferente a los algoritmos métricos (e.g., PCA)

Rasgos generales (continuación) Permite utilizar cualquier medida de distancia. Como es iterativo y no-métrico, cada corrida puede resultar en ordenaciones un tanto diferentes. Requiere muchos recursos de computación, particularmente con muchos datos (aunque ya esto no es un asunto importante). Es posible que encuentre una solución subóptima (pero las capacidades de computación actual reducen esta limitación).

Procesamiento Calcular matriz de distancias ecológicas Δ entre muestras (disimilaridades)matriz de distancias ecológicas Δ Asignar muestras en una configuración inicial de k dimensionesconfiguración inicial de k dimensiones Calcular la matriz D de distancias Euclidianas en el espacio de k dimensionesmatriz D de distancias Euclidianas Ordenar los elementos de Δ en orden ascendenteelementos de Δ en orden ascendente

Procesamiento (continuación) Ordenar los elementos de D en el mismo orden de Δelementos de D en el mismo orden de Δ Calcular Ď (matriz en la que se sustituyen las distancias no-monotónicas d con distancias monotónicas d’)distancias no-monotónicas d con distancias monotónicas d’ Calcular la tensión S (“stress”) del arreglo inicial a base de la suma de las diferencias (d-d’) 2.tensión S (“stress”)

Procesamiento (continuación) Minimizar la tensión S mediante la modificación del arreglo de muestras en el espacio de k dimensiones. El parámetro α (“initial step length”) indica la velocidad inicial de modificación de tensión. Iterar (regresar al paso 3) hasta que: –Se completen un número máximo de iteraciones. –O se obtenga un nivel de estabilidad predeterminado.

Analogía Paisaje con varias lomas y valles de distintas profundidades NMS intenta encontrar el valle más profundo (mínimo global) En ocasiones encuentra un valle menos profundo (mínimo local) Los mínimos locales pueden evitarse: –Haciendo varias corridas con arreglos iniciales al azar –Corriendo NMS con arreglo inicial producido por otro método de ordenación

La mejor solución Seleccionar un número de dimensiones k apropiado Buscar tensión S baja Utilizar una prueba de Monte Carlo Evitar soluciones inestables

Número de dimensiones Graficar tensión final vs k –Gráfica “scree”Gráfica “scree Seleccionar numero de ejes mas alla de los cuales hay poca reduccion en tension

Buscar tensión baja Regla general:

Prueba de Monte Carlo Prueba de significacia de un arreglo de muestras en espacio de ordenacion Se rearreglan las especies de la matriz de datos un numero x de veces al azar Precaución con: –Rezagados muy influyentes –Especies super abundantes –Con pocas muestras la prueba puede ser conservadora –Si la data tiene muchos ceros puede haber problema con ciertas medidas de distancia

Evitar soluciones inestables Graficar tension vs iteraciones

s1s2s3s4 s s s s Matriz de distancias originales Δ

Matriz D s1s2s3s4 s23.6 s343.6 s s

Elementos de matriz Δ Elementos de matriz Δ ordenados