FUNCIONES BÁSICAS Tema : Ciclo 2006-02 UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADA TÓPICOS DE MATEMÁTICA 1 (E. P. E.) SISTEMAS Ciclo 2006-02 Tema : FUNCIONES BÁSICAS

FUNCIÓN Una función es una regla o correspondencia que asigna a cada número de entrada un único número de salida. Al conjunto de número de entrada se llama dominio de f y se denota por Dom(f). Al conjunto de números de salida se llama rango de f y se denota por Ran(f).

f(x) = x + 2 Si x= 1 ==> f( 1) = 3 x= -4 ==> f(-4) = -2 Entrada PROCESO Entrada Salida Por ejemplo: f(x) = x + 2 Si x= 1 ==> f( 1) = 3 x= -4 ==> f(-4) = -2

Una variable que representa los números de entrada para una función se llama variable independiente. La que representa los números de salida es una variable dependiente. Ejemplo Variable independiente A(r) =  r2 Variable dependiente

Dominio no especificado Considere una función: y = f(x) x: se denomina variable independiente (toma cualquier valor del dominio) y: se denomina variable dependiente (porque su valor depende de x) Si Dom(f) no se especifica, entonces, el Dom(f) es el conjunto más grande de valores de x para los que f(x) existe.

Ejemplo Determine el dominio de: a) b) c) d)

FUNCIONES BASICAS

-2 -1 0 1 2 4 3 c 2 1 Función Constante f(x) = c

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 3 2 b 1 -1 -2 -3 Función Afín f(x) = ax + b

Función Cuadrática -2 -1 0 1 2 4 3 2 1 f(x) = x2

-3 -2 -1 0 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 Función Cúbica f(x) = x3

Función valor absoluto 4 3 2 1 -1 -2 -1 0 1 2 f(x) = |x|

Función raíz cuadrada 4 3 2 1 -1 -1 0 1 2 3 4 f(x) = x

3 2 1 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 Función Recíproca f(x) = 1/x

ECUACIÓN CUADRÁTICA Si: ax2+bx+c=0 , entonces: Resolver: 5x2-2x-7=0 (x-2)2+(x+1)2=(x+3)2

La función exponecial natural y = ex y la función logaritmo natural y = ln x 1 y = ex y = ln x x y

i) epeq=e p+q ii) iii) (ep)r=epr Definición: Si x es cualquier número real, entonces ln y = x si y sólo si e x = y Teorema Si p y q son números reales y r es un número racional,entonces i) epeq=e p+q ii) iii) (ep)r=epr

ECUACIÓN EXPONENCIAL Resolver: e 3x-1=e2 e3x-1=5 3e 3x-1=2ex+1 e2x+5 = 1

ECUACIÓN LOGARITMICA Resolver: Log2(2x-1)=4 Log(3x+5)=-2 Ln(x-2)=5

Funciones Seno y Coseno Ecuaciones trigonométricas

Introducción Puente Tacoma en el estado de Washington. El puente fue terminado y abierto al público en el año de 1940 y rápidamente se observó que se inducían grandes oscilaciones en la calzada cuando el viento soplaba a través del puente. Se le llamó puente galopante. El 07 de noviembre del mismo año el puente se derrumbó completamente debido a las grandes oscilaciones.

Conceptos previos 60° 187 m Determina la altura de la torre Eiffel, si los elementos que se conocen son el ángulo de elevación  y la longitud de la sombra proyectada sobre el piso.

Razones trigonométricas Conceptos previos Razones trigonométricas   sen() = cos() = tan() = Hipotenusa Cateto opuesto Cateto adyacente 

Triángulos rectángulos notables Conceptos previos L 45° Triángulos rectángulos notables 45° 30° 60° 2L  30° - 60°

Conceptos previos Ejercicio1 Si  es un ángulo agudo y cos() =3/4 , calcular los valores de las seis funciones trigonométricas de . Ejercicio 2 Calcular los valores de las funciones trigonométricas de 30°, 45° y 60°.

Circunferencia unitaria Conceptos Circunferencia unitaria La circunferencia unitaria es la circunferencia radio 1 centrado en el origen del plano xy. Su ecuación es: 1

Conceptos Definición de función Periódica. Una función f es periódica si existe un número T real positivo, tal que f(x+T)=f(x), para todo x del dominio de f. El mínimo número real positivo T, si existe se llama periodo de f.

La gráfica de la función y = sen(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2 1

La gráfica de la función y = cos(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2 1

¿Qué relación podemos observar entre las gráficas de la función sen(x) y cos(x)? Podemos observar que la gráfica de la función sen(x) tiene un desfase de , con respecto a la gráfica de la función cos(x), es decir:

¿Cómo varía la gráfica de la función sen(x), al cambiar los valores de los parámetros A , , ? Donde: |A| = Amplitud T = Periodo = f = Frecuencia = = Desfasamiento

¿Cuál es el cambio que sufre la gráfica de la función y = sen(x), al variar parámetros tales como A, >0, ?

A = 1

A = 1.2

A = 1.8

A = 2

A = 1.8

A = 1

A = 0.8

A = 0.4

A = 0.6

A = 1

1. A partir de la grafica de la función trigonométrica, trace la grafica de la función, sin localizar puntos.

2. Determine la amplitud y el período de la función f(x) = 2sen(x/2). 3. Determine la amplitud, el período y trazar la gráfica de f(x) = 2sen(-3x).

Ecuaciones trigonométricas: Son aquella que contiene expresiones de trigonometría. Solución: Son los valores que puede tomar x para la cual la ecuación se convierte en una identidad. Nota: tener en cuenta el signo de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.

4. Determine las soluciones de la ecuación sen(x)=1/2 4. Determine las soluciones de la ecuación sen(x)=1/2. En el intervalo [0, 2pi). 5. Determine las soluciones de cos(2x)=0 6. Resolver la ecuación sen(t)*tan(t)=sen(t)

Combinación de una suma en la cual intervienen las funciones sen(x) y cos(x). Sean a y b números reales y a>o. Entonces la función f(x) = a.sen (Bx)+b.cos(Bx), se puede escribir en términos del coseno de x, como sigue f(x) = A.cos(Bx-C) Donde

7. Si f(x) = sen(x) + cos(x), utilizar la formula f(x) = A 7. Si f(x) = sen(x) + cos(x), utilizar la formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación trazar la gráfica de f. 8. Si , utilizar la formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación trazar la gráfica de f. 9. Si , utilizar la formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación trazar la gráfica de f.