SEMEJANZA

La idea de la “misma forma” aparece en las ampliaciones o reducciones. Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma” aparece en las ampliaciones o reducciones.

¿ Qué observas ? 10 cm 5 cm 4 cm 8 cm

¿Cómo expresamos matemáticamente esta idea de la “ misma forma”? La respuesta es comparando el largo y el ancho de ambas fotografías : Las razones entre el ancho y el largo de cada foto son iguales; es decir: las dos fotografías son: Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 10 x 4 = 8 x 5 ¿IDÉNTICAS O SEMEJANTES ?

Dos figuras son semejantes porque: 1º Tienen la misma forma, por ampliación o por reducción. 2° Tienen diferente tamaño, porque los lados de la figura mayor son una ampliación en forma proporcional de los lados de la figura menor, manteniéndose constante los ángulos.

No son figuras semejantes

¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?

¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras? Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman “homólogos”.

Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m. B C 18m 15m 12m P Q R Multiplica cada uno de los lados por 3. x 3 Los lados del triángulo se han triplicado.

Identificamos algunos elementos : RAZÓN DE SEMEJANZA : 3 AB BC AC PQ QR PR LADOS HOMÓLOGOS 11

Criterios de semejanza de triángulos Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos

Existen tres criterios de semejanza de triángulos AA ( ángulo-ángulo) LLL (lado-lado-lado) LAL (lado-ángulo-lado)

Primer criterio : AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C a´ a b´ b g´ g Es decir: Si a = a´ , b = b´ de lo anterior se deduce que g = g´ Entonces, D ABC semejante con D A´B´C´

¡SI! Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? 65° 25° Q 25° 65° P R 65° 25° A B C ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA

Segundo criterio: LLL Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C a a´ El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. Es decir: = b b´ c c´ =K

Ejemplo : Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes A B C P 1,5 3,5 5 P Q R 3 7 10 Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales 1,5 3 3,5 7 5 10 = = = 0,5 Efectivamente , así es, ya que los productos la razón entre los lados correspondientes es constante Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Tercer criterio:LAL y a = a’ Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A’ B’ C’ A B C Es decir: a a’ = c c’ y a = a’ a´ Entonces D ABC semejante a D A’B’C’

Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales Ejemplo : ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales A B C 4 3 D E F 9 12 3 4 = 9 12 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Aplicaciones de la semejanza de triángulos Mediante la semejanza de triángulos se pueden calcular distancias inaccesibles. Por ejemplo, para calcular la altura de un árbol se hace lo siguiente: C Los triángulos ABC y ADE son semejantes, lo cual se denota así: E A D B

Al separar los triángulos de la figura anterior se tiene lo siguiente: C B A A E D En ellos se tiene: E Dado que las longitudes en el piso y la longitud en el asta se pueden medir, entonces usando una de las proporciones anteriores se obtiene la altura del árbol. Observe:

En la semejanza de triángulos; la igualdad de las medidas de los ángulos, define una correspondencia entre los vértices, los ángulos y entre los lados de los triángulos. Dichas correspondencias se denotan con una flecha de doble punta , lo cual se lee “se corresponde con”. Observe: Supóngase que Entonces, se tiene F E D C B A Dos triángulos son semejantes, si sus ángulos correspondientes tienen la misma medida y si sus lados correspondiente son proporcionales. F

La sombra que una persona proyecta al alejarse de un farol es 1/3 de su distancia al poste del farol. Si la persona mide 1.70 m y la punta de la sombra dista de dicho poste 12 m, ¿qué altura tiene el farol y qué longitud tiene la sombra? Un topógrafo desea medir el ancho de una montaña, por donde se pretende hacer un túnel desde un punto A hasta un punto B, opuesto a ella y visibles ambos desde un punto C en la llanura, como se muestra en la figura adjunta. Para ello él localiza los puntos D y E de modo que Calcule la longitud del túnel.

Se dispone de dos tirantes, uno de 30 m y otro de 25 m, para contener un puente de 33 m de largo como se muestra en la figura adjunta, en donde . Entonces: ¿A qué distancia está el punto C de las bases de los postes ? Si , ¿cuánto mide el poste ?. 3 1 D C B A ¿Cuál de los segmentos de la figura mide ?

Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos de uno miden lo mismo que dos ángulos del otro. C B A E Si , ¿son semejantes los triángulos ABC y DEC ? Si la razón de los lados correspondientes es uno, los triángulos son congruentes. D C B A E F El símbolo de congruencia es y se lee “ es congruente con”. porque:

D C B A O Si y O es punto medio de , ¿son congruentes los triángulos AOB y COD ?