Magnitudes Escalares y Vectoriales 2015

Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: Demostrar que cumple las expectativas matemáticas: análisis de unidades, álgebra, notación científica y trigonometría de triángulo recto. Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y vectoriales. Determinar los componentes de un vector dado. Encontrar la resultante de dos o más vectores.

Expectativas Debe ser capaz de convertir unidades de medición para cantidades físicas. Convierta 40 m/s en kilómetros por hora. 40--- x ---------- x -------- = 144 km/h m s 1 km 1000 m 3600 s 1 h

Expectativas (cont.): Se supone manejo de álgebra universitaria y fórmulas simples. Ejemplo: Resuelva para vo

Expectativas (cont.) Debe ser capaz de trabajar en notación científica. Evalúe lo siguiente: (6.67 x 10-11)(4 x 10-3)(2) (8.77 x 10-3)2 F = -------- = ------------ Gmm’ r2 F = 6.94 x 10-9 N = 6.94 nN

Expectativas (cont.) Debe estar familiarizado con prefijos del SI metro (m) 1 m = 1 x 100 m 1 Gm = 1 x 109 m 1 nm = 1 x 10-9 m 1 Mm = 1 x 106 m 1 mm = 1 x 10-6 m 1 km = 1 x 103 m 1 mm = 1 x 10-3 m

Expectativas (cont.) sen y R q = Debe dominar la trigonometría del triángulo recto. sen y R q = y x R q y = R sen q x = R cos q R2 = x2 + y2

La física es la ciencia de la medición Peso Tiempo Longitud Comience con la medición de longitud: su magnitud y su dirección.

Existen cantidades físicas que quedan totalmente determinadas por su magnitud o tamaño, indicada en alguna unidad conveniente. Dichas cantidades se llaman: ESCALARES Son ejemplos de cantidades escalares; el tiempo, la masa, la energía, la carga eléctrica, la rapidez (no velocidad), entre otras.

Instituto de Fisica Universidad Católica de Valparaíso Otras cantidades físicas requieren para su completa determinación, que se añada una dirección y sentido a su magnitud. Dichas cantidades se llaman VECTORES. Dentro de las cantidades vectoriales tenemos; el desplazamiento, la velocidad, aceleración, fuerza, el peso, entre otras. Instituto de Física Universidad Católica de Valparaíso

EJEMPLOS MAGNITUDES ESCALARES 20 (m) 50 (km/hr) 3 (kg) MAGNITUDES VECTORIALES 20 (m) al sur-este 50 (km/hr) al sur 3 (kg) hacia abajo

Gráficamente, un vector es representado por una flecha Gráficamente, un vector es representado por una flecha. La magnitud o módulo del vector es proporcional a la longitud de la flecha. El vector de la figura sería . La magnitud o módulo del vector se indica por , o simplemente A. Un vector se acostumbra a denotar por una letra con una flecha sobre ella.

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR ||A|| ES LA MAGNITUD , MÓDULO O NORMA EL ANGULO  DA LA DIRECCIÓN LA CABEZA DE FLECHA DA EL SENTIDO Y LA COLA , EL PUNTO DE APLICACIÓN A 

Distancia: cantidad escalar Distancia es la longitud de la ruta tomada por un objeto. A B Una cantidad escalar: Sólo contiene magnitud y consiste de un número y una unidad. (20 m, 40 mi/h, 10 gal) s = 20 m

Desplazamiento-Cantidad vectorial Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección especificada. Una cantidad vectorial: Contiene magnitud Y dirección, un número, unidad y ángulo. (12 m, 300; 8 km/h, N) A B D = 12 m, 20o q

Distancia y desplazamiento Desplazamiento es la coordenada x o y de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W. Desplazamiento neto: D 4 m, E D = 2 m, W ¿Cuál es la distancia recorrida? 6 m, W x = -2 x = +4 ¡¡ 10 m !!

Coordenadas geográficas Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo.) E W S N Longitud = 40 m 40 m, 50o N del E 60o 50o 40 m, 60o N del W 60o 60o 40 m, 60o W del S 40 m, 60o S del E

Coordenadas geográficas Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste, norte. E W N 50o S E W S N 45o 500 S del E 450 W del N Clic para ver las respuestas...

Coordenadas Polares En coordenadas polares el ángulo siempre debe ser medido desde la parte positiva del eje x.

Coordenadas polares 90o 180o 0o 270o Las coordenadas polares (R, q) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 500 N del E. 0o 180o 270o 90o q 0o 180o 270o 90o R 40 m 50o R es la magnitud y q la dirección.

Coordenadas polares Se dan coordenadas polares (R, q) para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes: 0o 180o 270o 90o (R, q) = 40 m, 50o 120o 60o 210o 50o (R, q) = 40 m, 120o 3000 60o 60o (R, q) = 40 m, 210o (R, q) = 40 m, 300o

Coordenadas rectangulares de un Vector El vector de la figura está representado en su forma rectangular, o sea por un par de coordenadas que corresponden a sus componentes en x y y respectivamente. (R, q).

Coordenadas rectangulares de un Vector El vector de la figura está representado en su forma rectangular, o sea por un par de coordenadas que corresponden a sus componentes en x y y respectivamente. (R, q). x = R .cos q y = R .sen q x y R q

Coordenadas rectangulares de un Vector Para convertir de coordenadas polares a rectangulares o viceversa pueden usarse las fórmulas que se presentan en el cuadro a continuación.

Coordenadas rectangulares de un Vector ¿Cuáles son las coordenadas rectangulares de un vector de magnitud 10 y de dirección 125°?

Coordenadas rectangulares de un Vector  ¿Cuáles son las coordenadas polares de un vector cuya proyección en x es 15 y cuya proyección en y es -20?

El componente x (E) es ADY: x = R cos q Ejemplo: Una persona camina 400 m en una dirección 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento al este y cuánto al norte? x = ? y = ? 400 m 30o E N x y R q N E El componente x (E) es ADY: x = R cos q El componente y (N) es OP: y = R sen q

Nota: x es el lado adyacente al ángulo de 300 Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? x = ? y = ? 400 m 30o E N Nota: x es el lado adyacente al ángulo de 300 ADY = HIP x cos 300 x = R cos q El componente x es: Rx = +346 m x = (400 m) cos 30o = +346 m, E

Nota: y es el lado opuesto al ángulo de 300 Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? x = ? y = ? 400 m 30o E N Nota: y es el lado opuesto al ángulo de 300 OP = HIP x sen 300 y = R sen q El componente y es: Ry = +200 m y = (400 m) sen 30o = + 200 m, N

Los componentes x y y son cada uno + en el primer cuadrante Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? Rx = +346 m Ry = +200 m 400 m 30o E N Los componentes x y y son cada uno + en el primer cuadrante Solución: La persona se desplaza 346 m al este y 200 m al norte de la posición original.

Signos para coordenadas rectangulares Primer cuadrante: R es positivo (+) 0o > q < 90o x = +; y = + R + q 0o + x = R cos q y = R sen q

Signos para coordenadas rectangulares Segundo cuadrante: R es positivo (+) 90o > q < 180o x = - ; y = + R + q 180o x = R cos q y = R sen q

Signos para coordenadas rectangulares Tercer cuadrante: R es positivo (+) 180o > q < 270o x = - y = - q 180o - x = R cos q y = R sen q R 270o

Signos para coordenadas rectangulares Cuarto cuadrante: R es positivo (+) 270o > q < 360o x = + y = - q + 360o R x = R cos q y = R sen q 270o

Resultante de vectores perpendiculares Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares. R y q x R siempre es positivo; q es desde el eje +x

Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y una de 40 lb hacia el este actúan sobre un burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza NETA o resultante sobre el burro? Dibuje un esquema Elija una escala Ej: 1 cm = 10 lb 30 lb 40 lb 40 lb 30 lb Nota: La fuerza tiene dirección tal como la longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar como si se tuvieran vectores longitud para encontrar la fuerza resultante. ¡El procedimiento es el mismo! 4 cm = 40 lb 3 cm = 30 lb

Cómo encontrar la resultante (cont.) Encontrar (R, q) a partir de (x, y) dados = (+40, -30) Rx 40 lb 30 lb f q 40 lb 30 lb Ry R R = (40)2 + (30)2 = 50 lb R = x2 + y2 tan f = -30 40 q = 323.1o f = -36.9o

Cuatro cuadrantes (cont.) f 40 lb 30 lb R q Ry Rx 40 lb 30 lb R q Ry Rx R = 50 lb 40 lb 30 lb R f q Ry Rx 40 lb 30 lb R f q Ry Rx f = 36.9o; q = 36.9o; 143.1o; 216.9o; 323.1o