Ecuaciones de Maxwell Maxwell demostró la existencia de ondas electromagnéticas a partir de las leyes generalizadas de la electricidad y el magnetismo, introduciendo el concepto de corriente de desplazamiento. Se podrá apreciar cómo Maxwell generalizó la Ley de Ampere al introducir éste concepto. pudiendo demostrar la existencia de ondas electromagnéticas a partir de las leyes generalizadas de la electricidad y el magnetismo.

Desarrollo de las ecuaciones de Maxwell Se supone que existe una distribución de cargas positivas y negativas que generan un campo eléctrico E en cierta región del espacio. En esta región se construye una superficie gaussiana que puede o no encerrar cargas. La ley de Gauss relaciona el flujo de total a través de esta superficie con la carga neta encerrada por ella expresada por la siguiente ecuación: Luego, aplicando el Teorema de la Divergencia se deduce esta expresión equivalente: ρ: densidad volumétrica de carga También se sabe que:

Dado que las integrales tienen el mismo recinto de integración se pueden igualar los integrandos obteniendo así la primera ecuación de Maxwell El campo eléctrico asociado a una carga nace en ella, si es positiva, o muere en ella si es negativa. En una superficie cerrada, las integrales de superficie de los campos magnético y eléctrico son cero porque el flujo entrante es igual al saliente Se aplica el Teorema de la Divergencia y se obtiene la siguiente expresión Según la Ley de Faraday-Lenz la variación del flujo respecto al tiempo genera una fuerza electromotriz inducida definida por:

Donde , , entonces: Por el Teorema de Stokes se puede afirmar que luego Debido a que el recinto de las integrales es el mismo se pueden igualar los integrandos La Ley de Ampère calcula la circulación de un campo magnético a través de las líneas de campo.

Nos referimos a como la corriente encerrada por un campo magnético que se calcula como el flujo de la corriente circulante, entonces Utilizando el teorema de Stokes Como en los cálculos anteriores se pueden igualar los integrandos Como la ley de Ampere vale sólo para corrientes constantes, la anterior ecuación es válida si el vector J es estacionario. Maxwell corrigió la ecuación de modo que pueda emplearse para casos generales. Se basó en el siguiente razonamiento: Se basa en el Principio de conservación de la carga, por lo cual se acepta que la carga neta total del universo permanece constante. En consecuencia, si en un volumen dado la carga neta cambió, ello indica que ha salido o entrado carga desde el exterior al volumen elegido, implicando corrientes durante el cambio.

Calculando el flujo a través de una superficie cerrada, siendo el segundo miembro la carga neta en el volumen V Aplicando el Teorema de la Divergencia En los puntos en los que el volumen permanece en reposo los límites de integración no dependen del tiempo por lo que se puede conmutar la derivada con respecto al tiempo con el integrando. Como la densidad de carga en un punto está dada por la divergencia de en dicho punto, lo que permite la siguiente relación:

Ahora queda la Ley de Ampere-Maxwell: Así queda enunciada la hipótesis de Maxwell, que comprueba la existencia de las ondas electromagnéticas

dV = ET ds = T /σ ds = I /kσ ds La ley de Ohm Una de las aplicaciones más importantes del electromagnetismo lo constituyen los circuitos eléctricos, formados por una red de cables conductores por los que se hace circular una corriente eléctrica. En su forma general puede enunciarse así: si aplicamos un campo eléctrico E a un conductor, la densidad de corriente en cada punto vendrá dada por = σE, donde σ es una constante que depende del conductor y recibe el nombre de conductividad. Definimos la caída de tensión  entre los extremos del cable como la circulación de E a través del mismo, o sea: dV  = ET ds = T /σ ds = I /kσ ds

2vu = ∂2u/∂t2 – v2 ∆u = ∂2 u/∂t2 – v2 (∂2 u/∂x2 + ∂2 u/∂y2 + ∂2u/∂z2) La ecuación de ondas En esta sección abordamos el problema matemático de resolver las ecuaciones en derivadas parciales que determinan los potenciales y los campos electromagnéticos. Se define el operador d’alembertiano(tridimensional) de constante v > 0 como el que a cada función u en las variables x, y, z, t de clase C2 le hace corresponder la función 2vu = ∂2u/∂t2 – v2 ∆u = ∂2 u/∂t2 – v2 (∂2 u/∂x2 + ∂2 u/∂y2 + ∂2u/∂z2) Si llamamos c = 1/ , las ecuaciones de onda equivalen a las siguientes: 2cV  = C2ρ/ 2cA = µc2 2cE = - C2/ ∇ρ - C2µ d /dt 2cH = C2 rot

La constante c depende del medio La constante c depende del medio. Una simple comprobación muestra quelas unidades de son C2/Nm2 y las de µ son Ns2/C2, con lo que las unidades de c son metros por segundo, es decir, corresponde a una velocidad. En el vacío vale: Esta es aproximadamente la velocidad de la luz.

( , Ejercicio En el seno de un campo , en la posición y en la dirección del eje x, se inyectan un electrón y un protón, ambos con la misma energía de 1 KeV. Haga un esquema de las trayectorias, determine las ecuaciones de las mismas.

Solución Se considera un campo magnético dependiente del tiempo que puede variar brusca o gradualmente y en el que está atrapada una carga que gira alrededor de una de sus líneas. Según el caso, se superpone un campo eléctrico constante paralelo al anterior. En general, las ecuaciones de movimiento son Toman la forma Las cargas partirán del origen con una velocidad inicial determinada.

Para realizar las gráficas pueden adoptarse dos modalidades: - Si modalidad = 1, B aumenta bruscamente en magnitud para t=15. El campo eléctrico es nulo, por lo que . - Si modalidad = 0, B aumenta gradualmente según la ley . Se superpone un campo eléctrico constante que acelera a la carga uniformemente en la dirección z. La velocidad inicial se toma como nula. Ahora se realiza una representación bidimensional de las funciones {x(t), y(t), z(t)} en función del tiempo

Conclusión   Las ecuaciones de Maxwell permitieron ver en forma clara que la electricidad y el magnetismo son dos manifestaciones de un mismo fenómeno físico, el electromagnetismo. Maxwell logró demostrar, a partir de sus ecuaciones matemáticas, que la luz es una onda electromagnética que consiste en oscilaciones del campo electromagnético Así quedaba establecida, más allá de cualquier duda, la naturaleza ondulatoria de la luz.